2018, Vol. 33
2. 空军工程大学 航空航天工程学院，西安 710038
2. Aeronautics and Astronautics Engineering College, Air Force Engineering University, Xi'an 710038, China
一般而言, 包含故障诊断环节的主动容错控制技术由于能够处理更多的故障类型, 得到了研究人员广泛的关注.对于主动容错控制而言, 系统在实际运行中会遭受不确定性、干扰等未知特性的影响, 同时考虑到故障诊断误差, 因而容错控制器实际应用的前提是鲁棒性.应该指出, 主动容错控制的鲁棒性主要关注两点[1]:一是故障诊断的鲁棒性; 二是容错控制律重构期间的鲁棒性.为了实现这个目标, 在主动容错控制器的设计方法中, 一体化的主动容错控制, 既考虑到故障诊断的鲁棒性指标, 又能兼顾控制律重构期间的鲁棒性要求, 是鲁棒容错控制研究的热点.
采用一体化的主动容错控制设计策略, 为了实现系统的鲁棒性指标, 要求故障诊断环节具有快速性和有效性.对于主动容错控制而言, 较大的故障诊断误差, 使得系统在出现故障情形时, 控制器的作用并不能保证满意的控制性能, 因而主动容错控制中有效的故障诊断策略十分重要.滑模观测器鲁棒性强, 对未知输入具备强跟踪能力, 在故障诊断领域得到了广泛应用.近年来, 基于滑模观测器的故障重构技术在线性系统中成果较多[2-6], 而在非线性系统中进展缓慢.这主要是因为各种不同非线性项的存在, 使得观测器的状态估计误差发散, 因而滑模观测器设计的一个重点是状态估计误差收敛.另外, 采用滑模观测器实现的故障重构方法, 能够实现对包含干扰在内的未知输入信号实现有效的在线估计, 但无法区分干扰和故障, 因而鲁棒性依然是基于滑模观测器故障重构研究关注的重点.近年来, 国内外鲁棒故障重构研究也取得了一系列成果. Yan等[7]针对一类干扰上界已知、含Lipschitz非线性项的不确定系统, 采用LMI技术使得观测器增益矩阵设计方法转化为一类优化问题, 保证了状态估计误差的收敛性, 同时给出了一种干扰完全解耦的故障重构方法, 这种处理非线性项的方法通用性较好, 但是所提的鲁棒性算法在实际应用中有一定的限制; 之后又提出了结合自适应律和滑模观测器的方法, 实现了干扰分布矩阵变化系统的鲁棒故障重构[8].文献[9-11]均结合H∞滤波器设计了鲁棒滑模观测器, 且文献[9, 11]中所研究的系统同时包含输出干扰, 这进一步拓展了采用滑模观测器鲁棒故障重构的应用范围, 但这些方法不适用于故障上界未知的系统. Habib等[12]结合滑模和未知输入观测器设计了连续重构观测器, 对非线性项采用自适应补偿的方法实现了未知输入的在线重构.文献[13]采用线性变换及降阶滑模观测器实现了非线性Lipschitz系统执行器故障重构.国内的进展基本与国外同步.朱芳来等[14-15]基于全维和降维滑模观测器并结合数值解法实现了非线性系统执行器故障的鲁棒重构.文献[16]提出了采用多故障重构的滑模观测器设计方法.于金泳等[17]通过构建增维状态设计滑模观测器, 并基于L2增益优化方法实现了车辆电子稳定性控制系统的传感器鲁棒故障重构, 但这种方法难以推广到故障信息未知的非线性系统.
应该指出, 采用鲁棒性设计策略可以提高基于滑模观测器故障重构的有效性, 但在实际系统中, 故障诊断环节在故障信息未知的情形下, 由于诊断时延及技术不完善等因素, 必然会引起诊断误差.因此, 为实现一体化容错控制的鲁棒性指标, 除了设计有效的鲁棒故障诊断策略, 还应采用一定的设计方法以实现容错控制律重构期间的鲁棒性.为此, 本文将故障重构误差引入容错控制器设计中, 提出一体化的鲁棒容错控制器设计方法.首先在故障信息未知的前提下, 设计包含自适应律的滑模状态观测器, 采用线性变换实现未知信息故障与干扰分离, 确保观测器状态估计误差收敛, 同时引入H∞控制以实现故障重构的鲁棒性, 并将观测器增益解算方法转化为LMI约束下的凸优化问题, 以实现有效的鲁棒故障重构.在此基础上, 考虑系统状态不完全可测的情形, 以状态估计、故障重构值为控制输入量, 结合鲁棒性指标设计一体化的容错控制器, 并通过LMI给出控制器解算方法.最后通过算例验证所提出方法的有效性.
1 问题描述考虑一类不确定非线性系统
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(1) |
其中: x∈Rn、u∈Rm、y∈Rp分别为系统状态、控制输入及可测输出; A∈Rn× n、B∈Rn × m、C∈ Rp× n、E∈Rn× q、F ∈Rn× l，且n>p≥ q, l; g(x)为Lipschitz非线性项, 满足||g(x1)-g(x2)||≤ψg||x1-x2||, ψg为Lipschitz常数; fa(t)为执行器故障向量; ξ(t)为未知扰动向量.
假设1 定义矩阵D=[F E], 系统(A, C, D)是最小相位的[18], 即系统(A, C, D)的不变零点均在左半开复平面内, 或若rankD=q +l, 则有
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假设2 执行器故障fa(t)、干扰ξ(t)均有界, 且||ξ(t)|| ≤β, β已知, 故障fa(t)的上界值未知.
假设3 系统系数矩阵满足滑模观测器匹配条件, 即rank(E, B)= rank(B)[18].
假设4 系统系(A, B)可控.
对于满足假设1~假设4所述的系统(1), 当正常工作时, 即fa(t)=0, 在状态估计反馈控制的作用下, 系统能够鲁棒渐近稳定.当系统出现执行器故障时, 采用一体化的容错控制设计方案, 通过设计滑模观测器得到故障重构值
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图 1 一体化鲁棒容错控制器设计框图 |
由上文可知, 为实现一体化容错控制的鲁棒性指标, 必须确保故障重构环节的鲁棒性, 因此, 本节将提出鲁棒滑模状态观测器的设计方法, 以便于一体化容错策略的设计.对于式(1)所描述的非线性系统, 通过设计滑模状态观测器, 可以得到系统的状态及故障估计值, 在此基础上设计容错控制律.针对式(1)所示的非线性系统, 设计形如下式所示的滑模观测器:
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(2) |
其中:“^”代表与原系统相对应的观测向量; Gl为观测器增益矩阵, 设计方法将在后文中给出; Gn=[-LT Ip]T C2-1; L=[L1 0], L1∈ R(n-p)×(p-q), L的设计方法将在后文中给出; C2为线性变换降维后的系统矩阵, 详见下文; ν(t)为滑模变结构控制输入信号, 表达式如下:
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(3) |
式(3)中: D2为线性变换降维后的系统矩阵, 详见下文; 
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(4) |
式(4)中: ρ为大于零的自适应常数, P2为待设计矩阵, 将在后文中给出.系统的滑模面定义为s={ey:ey=0}.
定义状态误差向量
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(5) |
为便于滑模观测器设计, 确保实现故障重构的鲁棒性, 引入线性变换矩阵T0∈Rn × n, 将原系统(1)变换为如下式所示的形式(证明过程见文献[19]):
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(6) |
其中矩阵A1、A2、A3、A4及E1、E2、D2、C2变换方法详见文献[19].另外, 定义线性变换矩阵T2=T0T1, 其中
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设计观测器增益矩阵Gl使得下式成立:
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(7) |
其中: Λs=diag{μi}且μi为具有负实部的常数,
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若按式(7)设计观测器增益矩阵Gl, 状态误差方程(5)经线性变换T2作用, 并令T2e=T0T1e=e=[e1 eyT]T, 则式(5)变为
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(8) |
由式(8)可以看出, 经过线性变换T2, 状态误差方程e1中不包含故障项, 便于观测器设计.进一步, 为实现鲁棒故障重构, 令干扰与估计误差e之间的传递函数为H, 其中
定理1 对于系统(1), 考虑执行器故障上界未知的情形, 设计如式(2)所示的滑模观测器, 若存在对称正定矩阵
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(9) |
其中包含*的矩阵为对称矩阵(如第4行第1列的表达式为P1T).则状态误差向量渐近稳定, 即滑模状态观测器(2)状态能渐近跟踪原系统(1), 且观测器矩阵设计方法为L=P1-1W.
由定理1可知, 当式(9)有解时, 一体化滑模观测器的状态估计误差收敛, 同时为了实现故障重构过程中的鲁棒性, 必须使得一体化滑模观测器的滑模运动在有限时间内到达, 为此提出如下定理.
定理2 对于发生未知故障的非线性系统(1)设计如式(2)所示的鲁棒滑模观测器, 按照式(4)所示的形式设计滑模增益自适应律, 且式(9)所示的LMI优化问题有解, 若滑模增益{η0取值满足
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其中τ为任意小的正实数, 则输出误差的滑模运动经有限时间到达并维持在滑模面s={ey:ey=0}上.
在定理1和定理2成立的前提下, 考虑发生未知故障的非线性系统(1), 建立如式(2)所示的鲁棒滑模观测器, 若定理1中的LMI有解, 且按照定理2设计滑模增益, 则根据滑模运动的等效控制输出误差注入原理, 可以得到执行器故障的重构值为
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(10) |
定义
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(11) |
进一步可知
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(12) |
由式(12)可以看出, 最小化λ值, 使得扰动对状态估计误差的鲁棒性最强, 可以得到有效的故障重构结果, 从而为一体化容错控制的鲁棒性指标实现奠定了基础.
3 基于LMI解算的一体化鲁棒容错控制器设计针对式(1)所描述的非线性系统, 在建立故障重构滑模观测器的基础上, 以故障及状态联合估计值为输入量, 设计一体化鲁棒容错控制器, 形式如下:
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(13) |
其中L2和L3为待设计的容错控制器增益矩阵.此时将式(13)代入原系统(1), 且将
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(14) |
由假设可知, 存在矩阵使得E=BG, 设计反馈控制器增益为L3=-G, 此时有E+BL3=0.定义e0=[eT efT]T, 于是式(14)变为
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(15) |
对于式(15)描述的系统, 设计一体化的鲁棒容错反馈增益矩阵L=[L2 L3], 使得容错控制律重构期间, 当系统存在状态估计及故障重构误差时, 系统状态渐近稳定, 且对于给定的标量λ, 满足||x||2 < λ||ξ (t)||2, 最小化λ值为一体化容错控制器的鲁棒性指标值.基于这一目标, 本文提出一体化鲁棒容错控制器设计方法.
定理3 对于式(1)所描述的系统, 若如式(9)的LMI有解, 且按照定理2的方法设计滑模增益, 进而提出如式(13)的一体化鲁棒容错控制器, 此时存在对称正定矩阵Y、矩阵Φ以及可行的标量λ, 使得以下LMI约束的优化问题有解:
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(16) |
则按照式(13)形式设计的一体化容错控制器能够使得系统在执行器故障的情形下状态渐近稳定, 且一体化鲁棒容错控制器的增益矩阵解算方法为L2=ΦY-1, 最小化λ的优化值λopt为一体化容错控制器的鲁棒性指标.
4 数值仿真为验证一体化鲁棒主动容错控制器设计方法的有效性, 本文以由发动机引擎和客车厢组成的火车系统[20]为例开展仿真研究, 其中系数矩阵如下:
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假设系统分别发生间歇和缓变两种故障类型, 其中缓变故障类型fa1(t)及间歇故障类型fa2(t)的表达式如下:
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当系统发生缓变故障类型fa1(t)时, 设置系统干扰为幅值为1的白噪声.此时H1=0.4, H2=0.4I3, 其中I3为3阶单位矩阵, 可以按照式(9), 运用Matlab里的LMI工具箱, 解算求得鲁棒滑模故障重构观测器的增益矩阵, 有L=[51.26-63.62].在此基础上, 设计滑模增益η0=5, 自适应律ρ=0.1, 于是可以按照式(2)设计鲁棒自适应滑模观测器, 得到观测器的状态估计误差, 如图 2所示.在得到状态估计误差的基础上, 按照式(10)可以得到故障的重构值, 如图 3所示.
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图 2 状态估计误差 |
由图 2可以看出: e1、e3、e4的数值从一开始就迅速减小; e2的数值刚开始增大, 经过不到0.1 s的时间便开始减小; 4个状态估计误差大约经过0.5 s后趋于渐近稳定.说明采用本文方法设计的鲁棒滑模观测器, 在系统存在故障和干扰时, 能够保证状态估计误差有界稳定, 确保重构状态能够跟踪上系统状态值, 从而实现有效的故障重构.
由图 3可以看出:刚开始时, 故障重构的误差值较大, 这主要是由状态估计误差造成的; 2 s以后, 重构值就能迅速跟踪上故障值.说明当系统存在白噪声扰动时, 采用本文方法设计的故障重构观测器, 可以得到比较准确的故障重构值, 从而为一体化主动容错控制的鲁棒性指标的实现奠定了基础.
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图 3 执行器故障fa1(t)及重构仿真结果 |
在故障重构的基础上, 针对执行器故障类型1, 采用本文方法设计主动容错控制器, 通过求解式(16)所示的LMI问题, 可以得到容错控制器的参数矩阵, Lx
=[-497.075 3, -113.683 4, -188.908 3, -35.363 9],
Lf=-1, 同时可以得到一体化容错控制的鲁棒性指标值λopt=0.501 3, 进而得到系统的容错控制输入u, 结果如图 4所示.由图 4可以看到, 控制输入在20 s时突然发生跳变, 以后大致呈正弦形状, 这主要是由于在20 s时突然发生故障, 控制输入中的
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图 4 鲁棒容错控制器输入u |
另外, 为了进一步检验控制器的容错性能, 将本文提出的容错控制器设计方法与PI控制器设计方法进行对比, 得到以下结果.以系统的第1个输出为例, PI控制器和容错控制器作用下的系统输出如图 5、图 6所示.
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图 5 PI控制器作用下的系统输出y1(缓变故障) |
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图 6 鲁棒容错控制器作用下的系统输出y1(缓变故障) |
由图 5和图 6可以看出:采用本文方法设计的鲁棒容错控制器可以确保系统输出渐近稳定, 同时可以抑制干扰对系统输出的影响; 而在PI控制器作用下, 当系统发生故障时, 输出会出现振荡不稳定的现象, 破坏了系统的控制性能.
对比图 5和图 6的仿真结果可以发现, 采用本文方法设计的容错控制器可以确保系统出现未知故障时其输出能够渐近稳定.相似的结果还有, 向系统注入间歇故障类型, 分别对比容错控制器和PI控制器作用下的系统输出.同样仍以系统的第1个输出为例进行对比, 结果如图 7和图 8所示.
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图 7 PI控制器作用下的系统输出y1(间歇故障) |
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图 8 鲁棒容错控制器作用下的系统输出y1(间歇故障) |
图 7、图 8的结果进一步表明:采用本节方法设计的容错控制器, 当系统出现故障时可以确保输出渐近稳定; 而在PI控制器的作用下系统输出不稳定.从而验证了本文所提出的一体化鲁棒容错控制器设计方法的有效性.
5 结论本文研究了执行器故障情形下一体化鲁棒主动容错控制器的设计方法.容错控制的鲁棒性指标通过故障重构及控制律重构期间的鲁棒性来实现.本文的主要结论有:
1) 采用本文方法设计的滑模观测器(2), 可以确保当系统发生未知故障时, 观测器重构的状态能够跟踪上系统状态, 从而确保了故障重构值是有效的.
2) 解算式(9)所示的LMI约束不等式, 能够求出观测器的增益矩阵, 简化了观测器设计方法.
3) 通过解算2个LMI约束不等式, 可以得到一体化控制器增益矩阵的数值, 从而实现系统的鲁棒性.
本文提出的一体化鲁棒容错控制器设计方法, 针对的是系统发生执行器故障的情形, 但是实际系统不仅会发生执行器故障, 还可能出现传感器故障.当系统同时出现执行器和传感器故障时, 如何设计控制器以实现容错控制的鲁棒性指标, 这是下一步的研究内容.
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