0 引 言

滑模变结构控制是现代非线性控制领域中的一种重要方法,具有鲁棒性强、构造过程简单、物理含义清晰、实用范围广、设计灵活等特点,适用于电机^[1]、飞行器^[2]、混沌系统^[3]、电力电子^[4]等各个行业,且都有较为理想的应用. 其控制原理可以分为系统状态在滑模面上向原点滑动的阶段和在趋近律作用下向滑模面趋近的阶段. 因此,趋近律的优劣对系统的稳定性、稳态精度和收敛时间等性能都有直接影响,是滑模变结构控制设计的重要内容.

最早期滑模变结构控制采用符号函数趋近律 - λ sgn (s),λ > 0. 其优点是简单且具有极强的鲁棒性,收敛速度快,特别是在靠近滑模面的区域也不会降低收敛速度,所以从任意有限初始点出发都能在有限时间内收敛到滑模面. 这些优点得益于在滑模面两边结构切换的符号函数,这也正是滑模控制发展成为滑模变结构控制的关键因素. 但遗憾的是符号函数趋近律最大的缺点(甚至是唯一缺点)也正是在于原点附近不连续,反复高频切换而造成控制器抖振,进而间接引起滑模面抖振和被控状态抖振^[5-6],这是理论和工程都不允许的. 在后续的几十年间,研究者花了很大精力设计无抖振而又兼顾快速性的趋近律. 高为炳院士^[7]在1996年出版的著作中总结了几种趋近律,除了符号函数对应的等速趋近律外,还有:指数趋近律 - λ sgn (s) - ks,λ > 0,k > 0;幂次趋近律 - k| s |^β sgn (s),β ∈ (0,1);一般趋近律 - ksgn (s) - f(s),f(0) = 0,sf(s) >0. 这3种趋近律奠定了后续所有趋近律改进的基础,而且又衍生出:快速幂次项趋近律 - ks - λ | s |^β sgn (s),β ∈ (0,1)^[8],可加快远离滑模面阶段趋近速度,保证有限时间收敛到滑模面且无抖振,趋近律中两项分别主导远离和靠近滑模面阶段的收敛,且具有一定的自适应调节趋近速度的能力;双幂次趋近律 - k| s |^α sgn (s) - λ | s |^β sgn (s),α >1,在快速幂次趋近律的基础上进一步加快远离滑模面阶段的趋近速度^[9],但仍然采用固定的指数和固定的增益. 文献[10]研究了一种新型快速滑模面 - k| s |^f(s)sgn (s) - λ | s |^g(s)sgn (s),f(s) > 1,g(s) ∈ (0,1),并给出了两种f(s)、g(s)的具体结构,保证滑模面具有固定时间收敛的能力,即收敛时间上界与初始误差无关. 文献[11]在文献[10]的基础上提出了一种相似结构的快速滑模面. 从动力学角度看,滑模面与趋近律并无区别,因此,可将文献[10]和文献[11]提出的新型滑模面推广到趋近律设计,得到固定时间收敛的新型趋近律且无抖振,这将是在文献[8-9]这一系列有限时间收敛趋近律基础上的一次提升. 但目前尚无文献开展相关研究和应用(文献[10]和文献[11]中仍采用快速幂次项趋近律).

在最新的文献中,文献[12]采纳fal函数作为趋近律,其优点包括: fal函数第1项因β ∈ (0,1),所以当s ∈ (0,1)时有s^β > s,因此,比一般的指数趋近律在该区间内具有更快的趋近速度,且s越小,相对速度差s^β - s越大. 又因1 - β ∈ (0,1),故δ^{1 - β} 虽然大于δ 但仍然远小于1,所以第2项s/δ^{1 - β} δ^{1 - β} > s,也起到了加快趋近速度的作用. 特别是当δ 较小时,对s的放大作用十分明显. 其次,这两项均为连续函数,特别是当s → 0 时有,因此在原点不存在间断点,也就不会引起抖振. 另外,fal函数的第1、第2项在s=δ 点分别为δ^β 和δ/δ^{1 - β} δ^{1 - β} ,显然这两项在该点的值是相等的. 因此,对于s ∈ (0,∞)区间内任一点,采用fal函数的趋近律是连续的,所以既能加快趋近速度又不存在抖振. 但fal函数存在一些问题,其中最大的问题在于第2项虽然相对于线性项加快了收敛速度,但相对于第1项,收敛速度却更慢,所以是不必要的. 而仅含第1项的fal函数趋近律则与普通的幂次趋近律没有区别. 文献[13]在双幂次趋近律和指数趋近律的基础上提出了含有一个线性项和3个幂次项的多幂次趋近律,其中最大的特色是变指数的幂次项具有极强的自适应能力. 目前大多数趋近律都可以看成它的一种特例,且它具有更快的收敛速度,同时也是有限时间收敛的趋近律. 然而,多幂次趋近律最大的问题是原点处蜕化为符号函数趋近律,该点不连续从而引起滑模面抖振. 最后,以上所有趋近律设计,均假设控制器输入是不受限的,因此,所得结论仅在控制器输入能量无限大的理想前提下成立. 这一点与所有工程系统输入受限的实际情况均有不同.

针对上述问题,本文首先详细讨论和证明fal函数趋近律、多幂次项趋近律存在的缺陷;然后,受已有趋近律的启发设计一种新型的变幂次趋近律,并证明它能连续无抖振、有限时间收敛,在输入受限约束下快于现有的5种趋近律,并给出参数选择所需的充分条件和收敛时间的解析解;最后,通过仿真验证所提出方案的优越性.

1 问题陈述

在最新的滑模趋近律设计的文献中,所使用的fal函数改进指数趋近律,其表达形式如下:

(1)

其中: β ∈ (0,1),0 < δ ≪ 1. 考虑到趋近律在负半轴与正半轴分析证明的过程类似,因此下文仅给出s为正的分析及证明过程.

fal函数的优点如引言所述,而fal函数的缺点同样明显: 1)在s ∈ (0,δ ]区间,对s的放大倍率是固定的,即,不具备自适应能力. 但趋近律在原点附近需要较高的收敛速度,所以应用中总是希望对s的放大倍率随着s的减小而逐步增大,同时又满足趋近律f(s) = 0,s = 0这一约束以避免抖振. 2)虽然第2项相比线性项s的确起到了加快速度的作用,但相比第1项 | s |^β sign(s),在s ∈ (0,δ)区间内,收敛速度反而变慢了. 于是有如下结论成立:

引理 1 对于任意常数δ ∈ (0,1)和β ∈ (0,1),fal函数(1)中的第2项收敛速度在s ∈ (0,δ)范围内慢于第1项s^β 的收敛速度.

证明  设比较函数g(s) = s^β - s/δ^{1 - β} = s(1/s^{1 - β} -1/δ^{1 - β} ),代表fal函数趋近律的第1项与第2项在状态s处的速度差值. 因为s > 0,s < δ ,s^{1 - β} <δ^{1 - β} ,所以有g(s) > 0在s ∈ (0,δ)范围内对任意δ ∈ (0,1)和β ∈ (0,1)均成立,即fal函数第2项在给定范围内慢于第1项.

取参数β = 0.5,δ = 0.1,则fal函数第1项、第2项在区间x ∈ [0,δ ]内的趋近速度如图 1所示.

图 1中除了s = 0和s =δ 两点外,fal函数第1项趋近速度均快于第2项的趋近速度. 这一缺陷被现有文献忽视了. 根据引理1,fal函数趋近律实际上只需要第1项即可,第2项反而降低了s ∈ (0,δ)区间的趋近速度. 但若用第1项代替第2项,即全论域内仅含fal函数的第1项,则与普通的幂次趋近律无异,并未起到改进的作用.

相对于fal函数趋近律,多幂次趋近律具有更佳的动态性能,其表达式为

(2)

其中: k₁ > 0,k₂ > 0,k₃ > 0,k₄ > 0,α > 1,0 < β < 1. γ 作为变参数指数其取值由下式给出:

(3)

但多幂次趋近律也存在两个问题,分别由如下引理2和引理3给出.

引理 2 多幂次趋近律(2)存在抖振.

证明  式(2)中第1项、第2项、第4项均是s的连续函数,所以这3项在滑模面上s = 0是连续的,不会引起抖振. 但第3项,变指数项k₃| s |^γ sgn (s)在滑模面上的极限是

(4)

所以变指数项k₃| s |^γsgn (s)会产生抖振,从而使得多幂次趋近律(2)存在抖振.

变指数项在[ - 1,1]区间的曲线如图 2所示,其中参数取为k₃ = 1,β = 0.5. 曲线在原点处存在不连续跳变,将引起抖振.

由于有 - k₃| s |^γ sgn (s) = - k₃sgn (s),在原点附近的足够小邻域内,整个多幂次趋近律蜕变为符号函数趋近律. 该问题无法通过定义 s^s≜ = 0解决,因为此时尽管原点处变指数项连续,但在0 ± Δ 处仍存在不连续点,其中Δ 为无穷小正数. 此时一个不连续点变为两个不连续点,抖振将更加严重.

另一方面,多幂次趋近律没有考虑实际控制输入均是有界的这一前提. 工程应用中不允许变指数项k₃| s |^γ sgn (s)任意大. 在考虑输入受限的情况下其快速性的优势不再成立,于是有如下结论:

引理 3 1)多幂次趋近律(2)中,对于任意给定的参数k₁ > 0,k₂ > 0,k₄ > 0,α > 1,β ∈ (0,1),在区间s ∈ (0,+ ∞)内某一点均存在参数k₃ > 0,使得变指数项 - k₃| s |^γ sgn (s)趋近能力与其他3项相当; 2)考虑输入受限的约束,多幂次趋近律(2)在空间s ∈ [β ,s₀],s₀ ≧ β 中任意点慢于幂次趋近律 = - k₅s^β sgn (s),k₅ > 0,0 < β < 1.

证明  1)只给出s > 0区间的证明即可. 记g₁(s) = k₃s^γ ,且记式(2)中其他3项为g₂(s) = k₁s^α + k₂s^β + k₄s. 当s ≪ 1时,g₂(s) ≈ k₂s^β . 若β > s,则g₁(s) = k₃s^s;若β < s,则g₁(s) = k₃s^β . 所以对于任意点s均存在k₃使得g₁(s) ≈ g₂(s). 当s ≈ 1时,g₂(s) ≈ (k₁ + k₂ + k₄)s,g₁(s) ≈ k₃s,取k₃ = k₁ + k₂ + k₄,有g₁(s) ≈ g₂(s). 当s ≫ 1时,g₂(s) ≈ k₁s^α . 若α ≧ s,则g₁(s) = k₁s^α ;若α < s,则g₁(s) = k₁s^s. 所以对于任意点s也存在k₃使得g₁(s) ≈ g₂(s).

2)将幂次趋近律记为g₁(s) = k₅s^β ,多幂次趋近律记为g₂(s) = k₁s^α + k₂s^β + k₃s^γ + k₄s,其参数取值仍同式(2). 由于输入u受限,记最大输入量为u_max > 0. 因为趋近控制是滑模控制的组成部分,所以趋近律与控制输入存在一定的映射关系,鉴于仅针对趋近律讨论,现假设趋近律的最大允许量为s_max > 0. 一般地,在初始状态s₀ > 0处,总是希望对应的趋近律取最大值,从而拥有最大的控制能力,所以存在如下约束:

(5)

这两种趋近律都是收敛的,因此s < s₀对于任意t > 0均成立. 由式(5)可设比较函数为

(6)

其中第2项恒为0. 剩下3项中因为α > β 及s₀ ≧ s一定成立,所以如下不等式组对于任意可能的α ,β ,s₀在s给定范围内均成立:

(7)

当s₀ ≧ β 时,对于任意s ∈ [β ,s₀]点均有g(s) > 0成立. 因为g₁(s)在s ∈ (0,s₀)上是s的增函数并有g₁(s₀) = s_max ,所以g₁(s) < s_max 对于s ∈ (0,s₀)内的任意点均成立. 再根据上述证明中已得结论g(s) > 0,所以g₂(s) < s_max 在s ∈ (β₀,s₀)内的任意点也均成立,即满足输入受限这一条件.

图 3给出了引理3中结论2)的仿真曲线. 其中: s_max = 100,s₀ = 5,k₁ = 0.1,k₂ = 0.1,k₃ = 0.031 4,k₄ = 0.1,k₅ = 44.721 4,α = 1.5,β = 0.5. 可以验证g₁(5) = g₂(5) = s_max .

仿真结果表明,在输入受限的约束下,区间(β ,s₀)中每一点处,g₁(s)的趋近速度均大于g₂(s)的趋近速度. 通过进一步分析可知,这两种趋近律都存在闲置量s_max - g_i(s),i = 1,2. 例如s = 2时,系统可以允许的最大趋近速度为100,这两种趋近律解算所得结果分别为g₁(2) = 63.245 6,闲置36.754 4; g₁(2) = 0.749 9,闲置99.250 1 . 下文设计的目的就是满足各种约束情况下,尽量减小各点处趋近能力闲置的量,从而最大程度提升趋近律的控制性能.

注 1 引理3的结论1)表明,式(2)的4项中,只有变指数项是必须的. 若取k₃ = k_i,i = 1,2,4,则变指数项在相当大的论域内将远优于其他3项. 例如x ≫ α ≫ 1时,k₃s^γ ≫ k₁s^α ≫ k₄s ≫ k₂x^β . 引理3的结论2)进一步说明,若考虑输入受限的约束,则在k₁| s |^α sgn (s),k₃| s |^γ sgn (s),k₄s这3项中任意一项的趋近律将慢于不含这些项的普通指数趋近律.

注 2 当s₀ < β 时,虽然g(s)的符号难以确定,但可知在原点附近的足够小邻域内,g₁(s)是s的增函数且g₁(0) = 0,g₂(s)是s的减函数且g₂(0) = k₃ > 0,所以对于任意一组给定参数k_i,i = 1,2,⋯ ,5,总会存在一个足够小的相关常数ξ (k_i,i = 1,2,⋯ ,5) > 0,使得任意点s ∈ [0,ξ (k_i,i = 1,2,⋯ ,5)]均有g(s) > 0成立. 这说明在这一足够小的区域内,多幂次趋近律是快于普通指数趋近律的. 然而,这一优势是伴随着抖振的,这一点已由引理2证明. 多幂次趋近律的优点和缺点均源自变指数项,这非常类似于符号函数趋近律.

注 3 由于快速幂次趋近律、双幂次趋近律都是多幂次指数趋近律的一种特例,引理3的结论也适合这两种趋近律.

在上述问题陈述基础上,本文趋近律设计的目标是:在有限时间稳定、无抖振、输入受限条件下,保证趋近速度快于fal函数趋近律、多幂次趋近律、指数趋近律、快速幂次趋近律和双幂次趋近律.

2 输入受限的新型无抖振有限时间稳定趋近律设计

首先给出下文所需的引理.

引理 4 ^[8] 对于方程s = + β | x |^γ sgn (x) = 0和s = + αx + β | x |^γ sgn (x) = 0,其中α ,β > 0,0 < γ < 1,从初始点x₀收敛到0的时间分别为

(8)

(9)

受文献[10]中新型快速Terminal滑模面启发,基于多幂次趋近律,下面的定理将给出在输入受限约束条件下无抖振有限时间稳定的新型趋近律.

定理 1 在输入受限条件| s | ≦ s_max 约束下,新型趋近律如下式所示(β ∈ (0,1)):

(10)

则有:

1) 该趋近律是连续无抖振的、稳定的,且可在有限时间T内从任意有限初始点s₀收敛到滑模面上. T的解析式由下式给出:

(11)

2) 当s₀ > 1或s₀ ∈ (0,δ)时,f(s)在(0,s₀)内每一点收敛速度快于fal函数趋近律;当s₀ ∈ [δ ,1]时在区间(0,δ ]内每一点收敛速度快于fal函数趋近律.

3) 对于任意给定的s₀ ∈ (0,1),总存在参数使得该趋近律在(0,s₀)内每一点均快于双幂次趋近律、快速幂次趋近律和由下式所示的与文献[10]快速Terminal滑模面相同结构的趋近律:

(12)

对于任意给定的s₀ ≧ 1,也存在参数β ∈ (0,1),同样有如上结论.

4) 在区间s ∈ [β ,s₀],s₀ ≧ β 内每一点,该趋近律均快于多幂次趋近律.

证明  1)因为sf(s) = - k| s |^{φ + 1} < 0,∀ s ≠ 0,所以到达条件满足. 又因为

(13)

本文所提出的趋近律在0点和 ± 1点均连续,而在其他任意点s^β 或者s也是连续的,所以趋近律f(s)在论域内处处连续,因此是无抖振的趋近律.

当s₀ ≦ 1时,由式(10)可知在(0,s₀)整个区间内趋近律f(s)为 - ks^β . 由引理4可知从s₀ 收敛到滑模面s = 0的时间为

(14)

当s₀ > 1时,由式(10)可知在[1,s₀)区间趋近 律f(s)为 - ksgn (s),则根据简单的动力学知识可知,从初始点s₀收敛到1的时间为一有限值T₁ = (s₀ - 1)/s_max . 同样由式(10)知,在(0,1)区间内f(s) = - s_max | s |^β sgn (s),所以根据引理4,其收敛时间为T₂ = 1/s_max (1 - β). 总的收敛时间为

(15)

2) 令fal函数趋近律为

设比较函数为g(s) = f(s) - f₁(s). 因为这两种趋近律都是s的单增函数,所以在初始点应有最大趋近速度. 当s₀ > 1 > δ 时,有约束条件k = s_max = . 因此在区间(1,s₀)内,有

其中. 所以,从而有g(s) > 0. 在区间(δ ,1]内,有

在区间(0,δ ]内,根据第2节引理1,有

所以s₀ > 1 > δ 时,在整个(0,s₀)区间均有g(s) > 0. 再考虑1 ≧ s₀ ≧ δ 的情况. 此时初始约束条件为 ks₀^β = s_max = ,即k = . 在区间(δ ,s₀]内g(s) = ks^β - ks^β = 0. 在区间(0,δ ]内根据引理1有. 所以综合考虑,本文所提出的趋近律仍然更优,总的收敛时间仍然小于fal函数趋近律. 最后考虑s₀ < δ 的情况,初始条件为,在(0,s₀)区间内,有

3) 令比较函数为g(s) = f(s) - f₃(s). 若s₀ ≦ 1,则初始约束条件为,且有

(16)

因g(0) = g(s₀) = 0,令G(s) = arctan s₀s^β - s₀^β arctan s,也有G(0) = G(s₀) = 0. 其导数为

(17)

式(17)分母必大于0,令分子为

其极限满足

(18)

(19)

只要参数β 满足,则有h(s₀) < 0. 又因为,所以取

(20)

则必有h(s₀) < 0. 再考虑

所以当β 满足时,有(s) < 0. 又因,故β 应满足

(21)

若β满足式(21),则必然满足式(20). 所以满足式(21)即可保证(s) < 0,∀ s ∈ (0,s₀). 结合式(18)和(19)可知h(s)单调减小,也即(s) < 0,∀ s ∈ (0,s₀). 再考虑G(0) = G(s₀) = 0及式(15)可知g(s) > 0,∀ s ∈ (0,s₀). 综上,对于任意给定的s₀ < 1,总是存在满足式(21)的参数β ,使得区间(0,s₀)内任意点处,本文提出的趋近律快于基于文献[10]的趋近律f₃(s).

当s₀ ≧ 1时,初始约束条件为

在区间s ∈ [1,s₀]内f(s) = s_max ,有f₃(s) < f₃(s₀) = f(s₀) = f(s) 成立. 该结论的一个推论是f₃(1) ≦ f(1),等号仅在s₀ = 1时成立. 再根据上述s₀ < 1时的证明可知,在区间s ∈ (0,1)内每一点处均有f₃(s) < f(s).

另外,由文献[10]的结论可知,双幂次趋近律、快速幂次趋近律也是f₃(s)的一个特例. 所以本文提出的趋近律也快于双幂次趋近律和快速幂次趋近律.

4) 不论s₀ ≧ 1还是s₀ < 1,均有| f(s) | ≧ ks^β . 再由引理3可知该结论成立.

注 4 由于滑模面和趋近律在数学层面并无本质不同,本文提出的新型趋近律也可以推广用于输入受限约束下的有限时间稳定的滑模面设计.

注 5 若不考虑输入受限的约束,将所提出的趋近律改进为

其中 k 为任意大的正数. 则不仅可以保留本文提出趋近律的所有优点,而且成为固定时间收敛趋近律. 限于篇幅,不再详细展开论述.

注 6 s₀和s_max 为客观已知条件,而β 是可选参数,分析定理1式(11)可知,β 越小,对应的收敛速度越快,收敛时间越短,其上界为s₀/s_max .

3 应用及仿真

仿真1  在输入受限约束下考虑趋近律最大允许值为s_max = 100,初始点s₀ = 10. 考虑包含本文所提出趋近律的如下6种趋近律的速度对比仿真. 为保证客观合理地比较,6种趋近律中的β 均取为0.1,且假设在初始点处,趋近律速度均为允许的最大值.

本文趋近律为

fal函数趋近律为

多幂次项趋近律为

基于文献[10]新型快速Terminal滑模面的趋近律为

双幂次项趋近律^{[9, 14]}为

快速幂次项趋近律^[6]为

所得仿真结果如图 4所示. 横坐标代表[0,s₀]区间内的某一点 ,纵坐标是6种趋近律在该点处的趋近速度.

分析图 4可知: 1)所有趋近律的值均小于等于s_max ,满足输入受限这一约束; 2)本文趋近律的趋近速度在(10 ^{- 13},10)内任意点均快于多幂次项趋近律,而在整个(0,10)区间内任意点快于其他4 种趋近律,这与定理1的理论结果一致; 3)本文趋近律在每一点处连续,是无抖振的; 4)f_i(s)(i = 2,3,4,5)均含有| s |^α sgn (s),α > 1,该项数值随着s 趋向于原点而急剧减小,从而造成在输入受限约束下性能急剧下降.

仿真2  二阶系统是工程中最常见的一种对象,包括永磁同步电机、Buck变换器、近空间飞行器等对象^[1-4]. 不失一般性,仿真中考虑如下二阶非线性系统:

(22)

其中: f₁(x) = x₁x₂,g₁(x) = 1 + ,f₂(x) = x₁ + ,g₂(x) = 1为已知函数,d(t) = 1.5cos 0.5t为系统受到的未知干扰. 设计滑模面为

其导数为

设计滑模控制器为

其中f_r(s)为趋近律. 假设输入受限且最大值为u_max = | u(x₀) | = 30,初始状态为x₁ = 1,x₂ = 2,则s₀ = 7,s_max = 40.757 4. 因为s_max > (x₁ + 1 + )| d(t) |,t = 0,所以在该滑模控制器作用下,可以保证滑模面到达条件s < 0,s ≠0成立,滑模面及系统状态收敛. 所有带终端吸引项的趋近律中,β 均取为0.1. 再根据初始约束条件f_i(s₀) = s_max 可以确定6种不同趋近律的系数. 该约束的目的是使得各趋近律的趋近能力在初始点达到最大允许值,即不会存在 “闲置” 的趋近能力. 由于所有趋近律的系数都是根据该等式解算得到,从而保证了公正客观地比较. 若系数是任意选择的,则总可以通过选择系数使这6种趋近律任意一种成为 “最优” 的趋近律或者 “最差” 的趋近律,而这种比较是没有意义的. f_r(s)分别取为

6种趋近律作用下的被控系统状态曲线如图 5、图 6所示.

由图 5和图 6可知,本文所提出方案作用下的系统状态收敛速度最快,且稳态误差非常小,对扰动的抑制能力较为理想,表现出较强的鲁棒性能. 而其余几种趋近律由于控制能力不足,不仅被控系统状态收敛更加缓慢,而且在扰动作用下,收敛过程超调较大,出现大幅振荡. 由于这6种滑模控制的滑模面完全相同,区别仅是趋近律部分,根据仿真结论可知,本文趋近律具有更优的性能,且对于更大的扰动也具有较好的控制能力,即具有一定的控制余量. 当这几种趋近律用于更高阶系统时,由于子系统间的耦合作用更加复杂,这样的区别将会更将明显.

仿真中出现的这6种滑模趋近律,几乎涵盖了目前所有的无抖振趋近律和新涌现的一大批快速趋近律. 在输入受限约束下,本文趋近律具有最优的控制性能. 这并非物理控制能力的区别,而取决于趋近律控制算法对最大允许控制能力的利用.

4 结 论

本文的出发点是结合工程实际的限制,不再假设控制输入可以任意大,而在给定的输入受限约束条件下设计趋近律. 首先分析并证明了现有两种最新趋近律存在的缺陷,说明了其在收敛速度和存在抖振方面的问题;进而在输入受限这一约束前提下,在现有趋近律方法的基础上,提出一种新的变指数趋近律,目标是有限时间收敛的、无抖振的、具有比现在的指数趋近律、fal函数趋近律、多幂次趋近律更快的趋近律. 因为趋近速度直接正比于鲁棒性能而反比于稳态误差和收敛时间,所以本文提出的趋近律具有更短的收敛时间和更小的稳态误差. 在仿真中,与现有各种趋近律进行了对比,并检验了在扰动影响下的控制能力. 采用相同的滑模面、初始状态、最大输入能力以及终端吸引子指数β ,使得控制效果的区别仅取决于趋近律的不同结构. 仿真结果显示了本文所提出方案的有效性和优越性. 另外一个贡献是,由于趋近律和滑模面在数学结构上的相同,所得结论也适用于对应的滑模面设计.