控制与决策  2018, Vol. 33 Issue (1): 157-162  
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张友安, 张雷, 刘京茂, 孙玉梅. 基于状态可行域约束的极值搜索系统预设性能控制[J]. 控制与决策, 2018, 33(1): 157-162.
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ZHANG You-an, ZHANG Lei, LIU Jing-mao, SUN Yu-mei. Prescribed performance control of extremum seeking system based on state feasible region constraint[J]. Control and Decision, 2018, 33(1): 157-162. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2016.1551.
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基金项目

国家自然科学基金项目(60674090)

作者简介

张友安(1963−), 男, 教授, 博士, 从事非线性控制、智能控制等研究;
张雷(1988−), 男, 博士生, 从事非线性控制、极值搜索控制的研究。

通讯作者

张雷, E-mail: zhanglei090@aliyun.com

文章历史

收稿日期:2016-12-06
修回日期:2017-03-29
基于状态可行域约束的极值搜索系统预设性能控制
张友安1, 张雷2, 刘京茂3, 孙玉梅1    
1. 烟台南山学院 电气与电子工程系,山东 烟台 265713;
2. 海军航空工程学院 控制工程系,山东 烟台 264001;
3. 山东南山国际飞行有限公司,山东 烟台 265713
摘要:针对极值搜索系统在稳定状态存在可行域约束情况下的预设性能控制问题, 首先利用罚函数构造新型目标函数并设计极值参考轨迹; 然后, 通过性能函数和误差转换函数构建系统等效模型, 利用反演控制方法进行预设性能控制器设计; 最后, 设计不确定参数自适应估计律.系统在实现极值搜索的同时能够满足预先设定的性能指标.数值仿真验证了所提出方法的有效性.
关键词可行域约束    极值搜索系统    不确定参数    预设性能    反演控制    
Prescribed performance control of extremum seeking system based on state feasible region constraint
ZHANG You-an1, ZHANG Lei2, LIU Jing-mao3, SUN Yu-mei1    
1. Department of Electrical and Electronic Engineering, Yantai Nanshan University, Yantai 265713, China;
2. Department of Control Engineering, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China;
3. Shandong Nanshan International Flight Co LTD, Yantai 265713, China
Abstract: For prescribed performance control problems of extremum seeking systems based on stable state feasible region constraint, firstly, a new objective function is constructed by using the penalty function, and the extremum reference trajectory is designed. Then, the system equivalent model is constructed by using performance functions and error transformation functions, and the prescribed performance controller is designed by backstepping control. Finally, the uncertain parameter's adaptive estimation law is designed. Extremum seeking is realized and the prescribed performance index is satisfied. Numerical simulation verifies the effectiveness of the proposed method.
Key Words: feasible region constraint    extremum seeking systems    uncertain parameters    prescribed performance    backstepping control    
0 引言

在实际系统信息不完整或参数不确定的情况下, 极值搜索方法能够使得系统的输出轨迹自适应地收敛并稳定于输出量的最优值处, 从而使得控制过程中期望的控制目标最优化[1].经过近几十年的发展, 极值搜索方法的研究范畴已经形成了基于激励信号的极值搜索方法、滑模极值搜索方法、神经网络极值搜索方法和随机极值搜索方法等多种方法, 解决了许多实际问题[2].文献[3]首次针对含未知参数的极值搜索系统利用自适应控制方法进行了控制器设计; 文献[4]针对一类含不确定参数的多变量极值搜索系统利用反演控制[5]方法进行了控制器设计, 保证了系统的稳定性; 文献[6]针对系统含未建模动态和未知扰动的情况设计了数值优化控制器、状态估计器和鲁棒控制器, 但设计过程比较复杂; 文献[7]针对传统极值搜索方法构造罚函数对状态含不等式约束的情况进行了控制器设计.

在实际系统控制器设计时, 往往会对收敛速度及超调量等性能指标进行预先设定.预设性能控制方法利用性能函数和函数变换构造等效模型, 针对等效模型进行控制器设计, 以保证跟踪误差、收敛速度、超调量等指标满足预先设定的关于准确性、快速性和稳定性的要求[8].文献[9]针对多输入多输出非线性系统进行预设性能控制器设计, 放宽了该控制方法的研究范围.文献[10]针对未知纯反馈非线性系统进行了状态反馈控制器设计.文献[11]针对严格反馈系统的输出约束控制问题, 构造基于障碍Lyapunov函数, 并进行了滑模反演控制器设计.文献[12]针对严格反馈型非线性系统, 引入了罚函数, 结合反演控制方法进行了自适应反演控制器设计.文献[13]针对一类目标函数受预设性能函数限定的极值搜索系统的控制问题进行了反演控制器设计.已有文献大多针对系统无约束的情况进行控制器设计, 并未涉及到系统稳定状态存在不等式约束的情况[14-17].

本文针对稳定状态存在可行域约束的严格反馈型极值搜索系统的预设性能控制问题, 利用罚函数构造新型目标函数, 进行极值参考轨迹设计; 通过性能函数和误差转换函数构建等效模型, 进行预设性能反演控制器设计; 利用自适应方法设计不确定参数估计律, 使系统能够搜索到满足约束情况下的目标函数的极值, 同时满足预先设定的性能指标.

1 系统描述

考虑状态存在可行域约束的极值搜索系统

(1)

其中: xi=[x1, x2, ..., xi]TRi为由状态x1到状态xi构成的状态向量, 状态xi是可测的; uR为系统输入, yR为系统输出; θ=[θ1, θ2, ..., θn]TRn为有界不确定参数向量, y=J(x1, θ)为含不确定参数的目标函数; 函数fi(·), gi(·), ϕi(·)为已知光滑函数, i∈[1, 2, ..., n]; S(x1)为关于状态x1可行域约束的约束函数, 是已知光滑函数, 这里关于对状态x1进行的可行域约束是针对x1的最终稳定状态.

在控制器设计之前先给出如下假设.

假设1  存在常数fi0>0, 使得|fi(·)|>fi0成立, i∈ [1, 2, ..., n].

假设1限制fi(·)始终为严格正或严格负的, 以确保系统(1)满足可控性条件.不失一般性, 本文设定fi(·)>0.

假设2  目标函数y=J(x1, θ)存在唯一极值点J*(x1*, θ), 即系统状态x1*x1分别满足

(2)
2 基于状态可行域约束的极值参考轨迹设计

不同于以往的极值搜索方法, 本文利用目标函数构造Lyapunov函数, 设计极值参考轨迹.系统(1)中对状态x1的可行域约束即是对本文即将设计的极值参考轨迹的约束.设存在可行域约束时的状态x1的极值参考轨迹为, 针对极值参考轨迹, 引入经典对数型罚函数对满足S()≤ 0约束进行处理.当目标函数含唯一极大值时, 采用的对数型罚函数为

(3)

当目标函数含唯一极小值时, 采用的对数型罚函数为

(4)

引入如式(3)和(4)所示的罚函数构造新型目标函数, 代入系统(1), 则系统(1)转换为

(5)

其中为有界不确定参数向量θ的估计值.通过新型目标函数的建立, 将状态约束S(x1)≤ 0时搜索目标函数J(x1, θ)最值的问题转换为直接搜索新型目标函数JS(, θ)所对应的最值的问题.考虑到在约束情况下, 从系统(1)到系统(5)的转换是等效转换, 现仅需针对系统(5)设计极值参考轨迹即可.考虑因满足S()≤ 0而可能引起的可行域包含若干无交集区间的问题, 现给出如下补充假设.

假设3  极值参考轨迹初始值(0)满足S((0))<0.

针对系统(5), 定义状态x1跟踪极值参考轨迹的跟踪误差为e(t)=x1-, 控制目标为:

1) 在系统(5)搜索到新型目标函数的最优值(最大值或最小值)的有界邻域内, 跟踪误差e(t)=x1-满足预先设定的稳态和瞬态性能要求;

2) 闭环系统中的所有信号有界.

下面设计极值参考轨迹.不失一般性, 以目标函数含唯一极大值情况为例, 构造关于新型目标函数JS(, θ)与状态x1和极值参考轨迹的Lyapunov函数

(6)

对式(6)进行微分, 可得

(7)

由式(8)可得状态x1的参考轨迹应满足

(8)

其中kdR+为设计常数.

将式(8)代入(7), 可得

(9)

由式(6)可得VJS≥ 0成立, 当极值参考轨迹如式(7)所示时存在≤ 0成立.当状态x1准确跟踪极值参考轨迹时, 状态x1最终无限接近对应的最大点x1*(), 此时新型目标函数稳定在对应区间最值的有界邻域内, 即系统(1)中的目标函数搜索到状态满足约束情况下的最优值.

3 性能函数和函数变换

在预设性能控制器设计之前需引入性能函数对跟踪误差e(t)的瞬态和稳态性能进行设定.其中性能函数的定义如下.

定义  性能函数ϖ:R+R+是连续函数, 且满足以下条件:

1) ϖ(t)是正的且严格递减;

2)

在初始误差e(0)已知的前提下, 给出如下形式的不等式约束:

(10)

其中: t∈[0, ∞), 设计参数ς∈[0, 1].

如果式(10)所示的不等式约束满足, 不失一般性, 考虑e(0)<0的情况, 则误差曲线将始终被限制在下界函数-ϖ(t)和上界函数ςϖ(t)所包围的区域之中, 结合性能函数ϖ(t)的递减特性及参数ς∈[0, 1]可知, 误差e(t)将在函数-ϖ(t)和ςϖ(t)的共同夹逼作用下按预先设定指标收敛到零的某个邻域内.

针对性能函数先作如下假设.

假设4  初始误差|e(0)|=|x1(0)-(0)|有界且上界已知.

下面引入误差转换函数概念.在系统设计过程中, 很难对不等式约束(10)直接进行处理.这里考虑利用转换函数将不等式约束转换为等式约束再进行处理, 设计误差转换函数ftran(·)为

(11)

其中: ε为转换误差. ftran(ε)满足以下条件:

1) ftran(ε)光滑且严格递增.

2)

3)

由上述条件知, 当e(0)>0时, 存在-ςftran(ε)<1.由定义1可知ϖ(t)>0, 则可以得到-ςϖ(t)<ftran(ε)ϖ(t)<ϖ(t), 结合式(10)可得-ςϖ(t)<e(t)<ϖ(t)成立.同理可得, 当e(0)<0时, 存在-ϖ(t)<e(t)<ςϖ(t).因此, 不等式约束(10)得以满足.

此外, 由函数ftran的性质可知, ftran是可逆的, 其逆转换为

(12)

显然, 当ε(t)能够满足ε(t)∈(∀t∈ [0, ∞))时, 可以推出不等式约束(10)是成立的, 进一步可以确保跟踪信号满足预先设定的性能要求.结合性能函数ϖ(t)的衰减特性, 系统稳定后的跟踪误差将被限制在区域Θ={eR:|e(t)|≤ϖ}内.

对式(12)两边同时求微分并代入(5), 可得

(13)

其中: , 两式均包含与跟踪的预设性能相关且可直接用于控制器设计的性能函数.由转换函数ftran(·)的性质1)可知, ε(t)∈(∀t∈[0, ∞))时r>0, 且v是有界的.针对系统(5)中的状态x1进行约束转换可得到式(13), 再用(13)替换(5)中关于状态x1的方程, 可得转换后的整体模型为

(14)

此时, i∈ [2, ..., n].

考虑系统(5), 经误差转换函数(11)进行误差转换后得到等效约束系统(14), 以下结果成立: 1)系统(5)经误差转换函数转换到系统(14)的变换是等效变换; 2)当系统(14)渐近稳定时, 系统(5)也渐近稳定.

4 预设性能控制器设计

采用反演控制方法进行预设性能自适应控制器设计, 为不确定参数θ的估计误差, 利用自适应方法对不确定参数进行估计, 具体设计过程如下.

Step 1  考虑系统(14)中的第1个子系统, 构造Lyapunov函数, 求微分可得

(15)

针对式(15), 设计x2的虚拟轨迹

(16)

其中k1>0为设计参数.

由式(14)~(16), 可得

(17)

其中:定义z2=x2-x2, d, 当x2能够准确跟踪x2, d时, z2趋近于零.

Step 2  考虑系统(14)中的第2个子系统, 构造Lyapunov函数, 对V2求微分并代入式(17), 可得

(18)

针对式(18), 设计x3的虚拟轨迹

(19)

其中k2>0为设计参数.

定义z3=x3-x3, d, 由式(18)和(19), 可得

(20)

Step i  考虑系统(14)中的第i个子系统, 构造Lyapunov函数, 其中zi=xi-xi, d, 对Vi求微分并代入式(20), 可得

(21)

针对式(21), 设计xi+1的虚拟轨迹

(22)

其中ki-1>0为设计参数.

定义zi+1=xi+1-xi+1, d, 由式(21)和(22)可得

(23)

Step n  考虑系统(14)中的第n个子系统, 为了消除不确定参数的影响, 引入不确定参数与其估计值的误差项其中G=diag{g1, g2, ..., gn}, 其每个元素都为正值常数.构造Lyapunov函数

Vn求微分, 代入式(21)、(22)和(23), 可得

(24)

参考式(24), 设计控制量和参数估计律分别为

(25)
(26)

其中kn>0为设计参数.

将式(25)和(26)代入(24), 可得

(27)

其中k=min{2k1, 2k2, ..., 2kn}.

对式(27)两边沿(0, t)进行积分, 可得

(28)

此时, Lyapunov函数Vn满足Vn≥ 0, 且其微分形式满足≤0.

下面对系统(14)中每一个子系统进行分析.对于第1个子系统, 由于ε, 由误差转换函数的性质可知, 状态x1满足预设的瞬态和稳态性能要求, 并且e(t) = (x1-) ∈ , 进一步可知x1; 虚拟控制量x2, d中的每一项都是有界的, 因此得到x2, d.以此类推, 对于第i(i∈[3, 4, ..., n])个子系统, zi=(xi-xi, d)∈, 得到xi.对于第n个子系统, 由于zn = xn-xn, d, 由上一步可得xn, d, 进而得到xn, 由控制量u的表达式(28)可进一步得到u.

综上所述, 可得状态x1的跟踪误差满足预先设定的瞬态和稳态性能要求且闭环系统中所有信号有界.考虑系统(5)是系统(1)的约束转换形式, 而从系统(5)经误差转换函数转换到系统(14)的变换是等效变换, 则根据Lyapunov稳定性理论可得到如下定理.

定理1  考虑如式(1)所示的一类稳定状态存在可行域约束的极值搜索系统, 在假设1~假设4成立的前提下, 构造新型目标函数如式(3)或(4)所示, 采用极值参考轨迹如式(8)所示, 定义e(t)=x1-, 性能函数如式(10)所示, 误差转换函数如式(11)所示, 虚拟控制器设计如式(22)所示, 实际控制输入量如式(25)所示, 自适应估计律如式(26)所示, 则可以得到如下结论:

1) 系统(1)搜索到如式(3)和(4)所示的新型目标函数的最优值(最大值或最小值)的有界邻域内, 即x1的稳定状态满足不等式约束, 跟踪误差e(t)=x1-满足设定的稳态和瞬态性能要求;

2) 系统(1)是局部渐近稳定的且闭环系统中的所有信号有界.

5 仿真分析

针对如式(1)所示的系统进行数字仿真.考虑当状态x1存在可行域约束S(x1)=x12 -1≤ 0的情况, 数学模型为

(29)

其中θ1=1, θ2=2为不确定参数.当状态x1无可行域约束时, 目标函数在x1 = 2处取得极值J*(x1*, θ) = 8.当状态x1的可行域区间为[-1, 1], (0)满足(0)∈[-1, 1]时, 采用本文设计方法可使x1最终稳定在x1=1处, 此时目标函数无限趋近于状态在区间[-1, 1]内对应的最大值J*(x1*, θ)=7的有界邻域内.

分别采用本文方法针对状态约束的情况设计极值参考轨迹和预设性能反演控制器, 采用文献[17]方法针对无状态约束的情况设计极值参考轨迹和反演控制器, 控制参数选取一致进行对比仿真分析.系统的状态变量初始值分别为x1(0)=1.5, x2(0)=0;参数估计初始值为; 极值参考轨迹初始值为x1, d(0)=(0)=0.控制器参数如下: g1=1, g2=4, kd=5, k1=5, k2=5, δ= 0.01.选取性能函数为ϖ(t)=(1.7-0.02)e-0.3t+0.02, 参数ς=0.3, 误差转换函数, 仿真结果如图 1~图 6所示.

图 1 目标函数J(x1, θ)仿真结果
图 2 状态x1仿真结果
图 3 状态x1跟踪误差e(t)仿真结果
图 4 不确定参数θ1仿真结果
图 5 不确定参数θ2仿真结果
图 6 控制输入u仿真结果

图 1可知, 采用本文方法, 目标函数收敛至满足约束情况下的最大值J*(x1*, θ)=7处; 由图 2可知, 采用本文方法时, 状态x1最终收敛至约束情况下对应的最优状态值x1*=1处, 即本文设计的极值参考轨迹可以有效处理不等式约束的情况; 由图 3可知, 采用本文预设性能控制方法时, 状态x1跟踪误差收敛速度、超调量和稳态误差都能满足性能函数的约束要求, 而无预设性能控制情况下, 状态x1跟踪误差不能满足要求; 由图 4图 5可知, 本文设计的自适应估计律能够准确估计不确定参数, 且效果较之对比方法更好; 由图 6可知, 本文方法设计的控制输入u平滑有界, 满足控制目标要求.

通过以上仿真分析可知, 本文设计的新型目标函数可有效处理稳定状态存在不等式约束的问题, 极值参考轨迹和预设性能反演控制方法可以实现控制目标, 自适应估计律可有效估计不确定参数值, 与传统反演控制方法相比, 效果较好.

6 结论

本文针对状态存在可行域约束的极值搜索系统的预设性能控制问题, 利用罚函数构造新型目标函数, 进行了极值参考轨迹设计; 通过性能函数和误差转换函数构建系统等效模型, 进行了预设性能反演控制器设计; 利用自适应方法设计不确定参数估计律, 初步解决了此类极值搜索系统的预设性能控制问题.本文的创新之处在于构造了新型目标函数, 并设计了极值参考轨迹, 同时针对此情况进行了预设性能控制器设计, 以实现控制目标.

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