2. 安徽工业大学 数理科学与工程学院,安徽 马鞍山 243032
2. School of Mathematics and Physics, Anhui University of Technology, Ma'anshan 243032, China
在观察世界时, 由于人们的认知能力有限以及技术条件的制约往往难以获得"完全信息", 这便使得不确定性系统处处存在.处理不确定问题的方法有很多, 模糊集理论就是最有效的工具之一[1].随着研究的深入, 在使用模糊集处理问题时渐渐地产生了一些弊端, 为此一些学者对其进行了拓展[2-5].作为模糊集的一种拓展形式, Torra提出了犹豫模糊集[5], 允许元素的隶属度可以是[0, 1]中多个不同的值, 并讨论了犹豫模糊集与其余拓展形式的区别和联系, 开辟了一种处理不确定性问题的新视角[6].它既可以反映决策者的不同意见, 又能体现项目所处的真实水平[7].在犹豫模糊集中隶属度的表示是随机的, 因而在某种程度上犹豫模糊集在表示模糊性和不确定性时更加灵活自然[8].
目前, 关于犹豫模糊集的研究已经引起了国内外学者的广泛关注[9-13].文献[14]定义了犹豫模糊集的海明距离、欧氏距离、豪斯道夫距离等, 将其应用到多属性决策中取得了良好效果; 文献[15]定义了犹豫模糊熵与交叉熵, 创造性地提出了几种求解犹豫模糊多属性决策问题的方法; 文献[16]针对属性权重不完全确定, 专家权重具有相关性的犹豫模糊多属性群决策问题, 提出了一种灰关联决策方法; 文献[17]将离差最大化方法拓展到犹豫模糊环境下, 并依据TOPSIS对方案进行排序; 文献[18]定义了犹豫模糊偏好关系, 并针对具有偏好关系的犹豫模糊多属性决策问题提出了两种决策方法.在这些研究过程中, 犹豫模糊元个数的统一化处理是较为关键的一个问题.不同的犹豫模糊元所含元素个数可能存在差异, 不同的处理方法有不一样的结果.一种较为有效的方法是在含有元素少的犹豫模糊元中人为添加元素[14-20], 但不足之处是会影响到方案的排序.为克服此缺陷, 文献[21]等提出了一种新的犹豫模糊距离测度, 做到了较好的应对, 但是该方法计算量较大, 在一些情况下未能反映决策者或决策群体的犹豫程度[19-20, 22-23].鉴于此, 本文在现有文献研究的基础上, 针对犹豫模糊元中元素个数和偏差构造一种新的犹豫度, 可以很好地反映决策者或决策群体的分歧程度; 基于犹豫度提出的新符号距离测度, 具有计算简便、区分度高, 且运算时无需在元素个数少的犹豫模糊元中添加元素的特点.最后将该方法应用于犹豫模糊多属性决策中, 表明了所提出方法的合理性和有效性.
1 基本概念定义1[12] 给定集合X={x1, x2, ..., xm}, 从X到[0, 1]的某个子集的函数称为犹豫模糊集, 记为
(1) |
其中hA(x)为区间[0, 1]中几个数的集合, 表示x∈X属于集合A的隶属度.为便于讨论, 称hA(x)为犹豫模糊元[12].
犹豫模糊元h(x)中的元素体现了决策者(或决策群体)的分歧或犹豫程度, 偏差越大, 犹豫程度越高.文献[22]定义了犹豫模糊元的犹豫度, 用以衡量决策者(或决策群体)的这种犹豫程度.
定义2[22] 设h={γi|i=1, 2, ..., lh}为犹豫模糊元, γi为其中第i小的元素, lh为h中元素个数, 则称
(2) |
为犹豫模糊元h的犹豫度, 其中
基于犹豫度, 文献[22]定义了犹豫模糊符号距离测度.
定义3[22] 设h={γi|i=1, 2, ..., lh}为犹豫模糊元,
(3) |
称为由h到
基于符号距离, 文献[22]定义了犹豫模糊元比较方法.
定义[22] 设h1, h2为犹豫模糊元,
1) 若dS(h1,
2) 若dS(h1,
3) 若dS(h1,
对于犹豫模糊多属性决策问题, 设Y={Y1, Y2, ..., Ym}为方案集, G = {G1, G2, ..., Gn}为属性集, 其权重向量为W=(w1, w2, ..., wn)T, wj∈[0, 1],
(4) |
犹豫模糊信息体现了决策者的不同意见, 具有很大程度的不确定性.决策者的这种分歧加大了群体决策的难度.为了有效度量决策者的分歧程度, 本文基于决策信息特征提出一种新的群体犹豫度, 并构造一个新的犹豫模糊距离公式应用于犹豫模糊多属性决策问题.
2.2 犹豫模糊符号距离改进方法作为一种模糊测度, 符号距离在多属性决策中得到了应用[22, 24].文献[22]提出了一种犹豫模糊符号距离, 然而, 在某些情形下利用该符号距离对犹豫模糊元进行比较时, 所得结果与直观认识不符.
例1 设h1={0.6, 0.7}和h2={0.6, 0.8}为两个犹豫模糊元, 直观上
其中γ1i为h1中第i(i=1, 2)小元素, γ2i为h2中第i小元素, 因而h1<h2.若利用犹豫模糊符号距离, 则由式(3)可得
因此h1>h2, 矛盾.
文献[23]基于标准差定义犹豫模糊元的犹豫度为
(5) |
则犹豫模糊符号距离可表示为
(6) |
然而, 式(6)仍然无法克服上述缺陷.
此时可得h1=h2, 与直观认识不符.
另一方面, 文献[19]基于元素个数定义犹豫模糊元的犹豫度, 即犹豫模糊元中元素越多, 犹豫度越大, 但忽视了元素间的偏差, 从而当元素个数相同时, 其犹豫度也相同.为克服上述缺陷, 本文提出一种新的犹豫度.
定义5 设h={γi|i=1, 2, ..., lh}为犹豫模糊元, γi为其中第i小的元素, lh为h中元素个数, 则称
(7) |
为犹豫模糊元h的犹豫度.
事实上, 式(7)基于元素的方差及个数定义犹豫度, 即偏差越大, 元素个数越多, 犹豫度越大.与文献[19]、文献[22]、文献[23]中的犹豫度相比, 本文定义的犹豫度, 既考虑了元素间的偏差又考虑了元素的个数, 因而包含的信息更多, 区分度也更高.
犹豫度H(h)具有如下性质[22]:
性质1 设h={γi|i=1, 2, ..., lh}为犹豫模糊元,
1) 0≤ H(h)≤ 1;
2) H(h)=H(hc).
容易验证式(7)满足性质1.
证明 1)
2)
基于式(7), 可得新的犹豫模糊符号距离.
定义6 设h={γi|i=1, 2, ..., lh}为犹豫模糊元, γi为其中第i小的元素, lh为h中元素个数, 则称
(8) |
为犹豫模糊元h的符号距离.
犹豫模糊符号距离具有如下性质[22].
性质2 设h, h1, h2为犹豫模糊元,
1) 0≤ dS(h,
2) h=
3) h1比h2离
容易验证, 式(8)满足性质2.
证明 1)
2) 当h=
3) 显然成立.
式(8)在犹豫度上同时考虑了元素间偏差和元素个数, 因而比现有犹豫包含的信息更多, 在对犹豫模糊元进行比较时, 区分度也更高.如例1中
因此h1<h2, 与直观认识一致.
2.3 基于符号距离的属性权重确定方法由于决策情形的复杂性, 属性权重信息常常难以确定, 主要有主观、客观及主客观结合法, 每种方法各有其特点.本文基于离差最大化思想[25], 即方案Yi在属性Gj下的属性值差异越大, 属性Gj对方案的排序所起的作用越大, 此时对属性Gj赋予较大权重, 根据符号距离建立属性权重确定模型
定理1 模型(M-1)的解w=(w1, w2, ..., wn)存在.
证明 为求解上述模型, 构造拉格朗日函数
(9) |
分别关于λ, w求偏导, 并令
求解得属性权重向量为
(10) |
将wj归一化, 得
(11) |
综上, 定理1得证.
最后, 计算各方案Yi的加权符号距离
(12) |
Dw(Yi,
对于某犹豫模糊多属性决策问题, 设
如前所述, 分别表示方案集、属性集及属性权重向量.基于符号距离的犹豫模糊多属性决策过程如下:
1) 决策者对各方案在每个属性下进行测度, 获得犹豫模糊决策矩阵M=(hij)m×n;
2) 根据(M-1)建立属性权重确定模型, 并依据式(11)求属性权重;
3) 根据式(12)计算各方案Yi(i=1, 2, ..., m)的加权符号距离Dw(Yi,
本文基于离差最大化思想与新的犹豫模糊符号距离, 建立属性权重确定模型, 并通过各方案的加权犹豫模糊符号距离实现方案的择优排序.利用犹豫模糊符号距离对犹豫模糊元进行运算时, 无需在含有元素少的犹豫模糊元中添加元素, 从而可以避免人为添加元素对决策结果的影响.
3 算例分析 3.1 算例为便于比较, 本文采用文献[14, 17]的例子.能源是社会经济发展不可缺少的重要因素, 能源政策的正确与否会直接影响到社会经济发展.现对5种能源项目Yi(i=1, 2, 3, 4, 5)进行投资, 考虑以下指标:技术G1, 环境G2, 社会政策G3, 经济政策G4.一个决策小组对项目Yi(i=1, 2, 3, 4, 5)按各指标Gj(j=1, 2, 3, 4)进行测度, 获得犹豫模糊决策矩阵M=(hij)m×n(见表 1), 如h111={0.3, 0.4, 0.5}表示在技术方面决策小组有3种不同观点, 即方案Y1满足属性G1的程度有0.3、0.4和0.5三种, 表明决策小组中成员有不同意见.
具体决策过程如下:
1) 决策小组对方案Yi(i=1, 2, 3, 4, 5)按各属性Gj(j=1, 2, 3, 4)进行测度, 获得犹豫模糊决策矩阵M=(hij)5×4, 见表 1.
2) 根据模型(M-1), 获得属性权重
结果显示, 环境G2最重要, 这也表明目前的能源项目投资更加关注环境的可持续发展.
3) 根据式(12)计算各方案的加权符号距离Dw(Yi,
因此Y5
文献[14]、文献[17]对上述问题进行了研究.文献[14]假设属性权重已知, 并利用方案与主理想方案Y*={1}之间的广义犹豫加权距离对方案进行排序, 距离越小, 方案越优.文献[17]假设属性权重未知, 利用离差最大化方法确定属性权重, 并基于TOPSIS方法对方案进行排序.
1) 文献[14]假设属性权重为(0.15, 0.3, 0.2, 0.35)T, 基于广义犹豫加权距离对方案进行排序, 有
(13) |
不失一般性, 取λ=1.为了计算方案与主理想方案的距离, 需根据决策者的风险态度对元素少的犹豫模糊元添加元素[14-20]:喜好风险的添加其中最大值, 厌恶风险的添加最小值, 风险中立型的则添加最大值与最小值的算术平均值.根据决策者的不同风险态度, 获得的决策结果如表 2所示.
根据本文方法, 计算各方案符号距离Dw(Yi,
风险偏好时, 添加其中最大的元素, 此时
而利用本文符号距离方法, 无需考虑决策者的风险态度, 从而可以避免人为添加元素对决策结果的影响.
2) 文献[17]利用离差最大化法确定属性权重, 并依据TOPSIS方法对方案进行排序.根据决策者的风险态度, 获得的决策结果如表 3所示.本文利用符号距离确定属性权重及对方案排序, 与文献[17]相比, 最优方案一致(见图 2).文献[17]根据决策者的风险态度添加不同元素, 不仅会影响到属性权重(见表 3), 更会影响方案的排序.如方案Y4, 随着决策者风险态度的变化(即元素少的犹豫模糊元中添加的值不同)时, 其排序也随之变化, 而本文方法无需考虑决策者的风险态度在元素少的犹豫模糊元中添加元素, 直接根据犹豫模糊决策信息确定属性权重、排序, 因而更加合理可靠.
3) 文献[21]提出了一种新的犹豫模糊距离测度, 无需在元素少的犹豫模糊元中添加元素.不失一般性, 采用其中的犹豫加权海明距离
(14) |
为便于比较, 采用本文方法确定的属性权重
则各方案与理想点的犹豫加权海明距离为
因此, Y5
4) 为减少计算量, 文献[26]提出了一种调整的犹豫模糊加权平均算子(AHFWA), 同时利用文献[12]中的犹豫模糊元得分函数进行比较, 所得到的方案的排序结果如表 4所示.由表 4中的结果可以看出, 采用AHFWA, 仍需根据决策者风险态度在含有元素少的犹豫模糊元中添加元素, 同样会影响到方案排序, 甚至影响最优方案.
本文提出了一种新的犹豫模糊符号距离, 并对属性权重完全未知的犹豫模糊多属性决策问题进行了研究.主要做了以下工作:
1) 基于犹豫模糊元中元素的方差与个数定义犹豫度, 以反映决策者或决策群体的分歧程度, 并基于犹豫度定义一种区分度较高的犹豫模糊符号距离.
2) 基于离差最大化思想, 利用新的犹豫模糊符号距离建立属性权重优化模型, 并对其解的存在性进行了证明.
3) 针对犹豫模糊环境下的方案排序问题, 提出了一种加权符号距离方法.无论是在属性权重确定, 还是方案排序上, 本文方法都无需人为添加元素, 因而结果更加合理、可靠.
当然, 在应用犹豫模糊符号距离时, 主要基于决策者提供的信息与数据, 而决策者的判断可能存在主观性.为得到较为客观的决策信息、降低决策者主观随意性对决策结果的影响, 下一步应考虑对决策信息进行适度修正, 以提高决策效果与质量.同时, 将本文方法应用到模式识别与市场预测等领域也值得探讨.
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