2. 武汉大学 测绘遥感信息工程国家重点实验室,武汉 430070
2. State Key Laboratory of Information Engineering in Surveying, Mapping and Remote Sensing, Wuhan University, Wuhan 430070, China
多目标优化问题(Multi-objective optimization problem, MOP)是一类求解同时使多个目标最优化的解集问题, 相对于单目标优化问题(Single-objective optimization problem, SOP)而言, MOP一般不存在一个使得其在所有目标维度都最优的最优解.这是因为, MOP问题中各个目标函数通常是相关而且互相矛盾的, 即调整决策向量, 使目标向量的某一维度的值减小, 往往意味着另外一个或多个维度的值会增大.如目标权重法这一类传统的多目标优化方法, 是通过将MOP转化成SOP以达到简化求解的目的, 但这类方法需要较多的先验知识, 往往需要针对不同的问题及需求调整参数, 且容易导致搜索向某一特定目标进行, 产生遗传漂移现象, 在实际运用中效果不好[1].由此, 人们引入Pareto最优概念来解决MOP.
所谓Pareto最优解, 是指不受决策空间中其他任何解支配的解, 一个解如果是Pareto最优解, 则意味着没有任何一个其他解能够在全部目标维度上都比这个解更优. MOP的解就是Pareto最优解集.为了解决MOP, 研究者们提出了诸多经典算法[2], 如VEGA(Vector evaluated genetic algorithms)和MOGA (Multi-obiective genetic algorithm), Corne等[3]提出的PESA(Pareto envelope-based selection algorithm), Zitzler等[4]提出的SPEA(Strength Pareto evolutionary algorithm)以及在其基础上提出的改进SPEA2[5], Sendhoff等[6]提出的PAES(Pareto archived evolution strategy), Hom等[7]提出的NPGA(Niched Pareto genetic algorithm), Srinivas等[8]提出的NSGA (Nondominated sorting in genetic algorithms)以及改进后的NSGA-II[9]等, 这些算法统称为多目标进化算法(Multi-objective evolutionary algorithms, MOEAs).这些算法原理不同, 但共同的目标包括以下几点: 1)进化结果尽可能地接近Pareto最优前沿; 2)收敛速度尽可能快; 3)进化结果尽可能分布均匀; 4)进化结果尽可能分布在整个Pareto最优前沿上, 而不是集中在某一块或多块区域[10].
在上术诸多算法中, NSGA-II算法以其较好的收敛性、分布性, 较低的时间复杂度, 成为基于非支配排序算法中的经典算法[11]. Li等[12]提出的NSGA-II-DE算法是NSGA-II算法的改进版本, 该算法使用DE (Differential evolution)算法的变异和交叉算子替换原NSGA-II算法中的模拟二进制杂交[13](The simulated binary crossover, SBX)算子, 降低了交叉算子对参数的敏感程度, 提高了算法的收敛性和收敛速度.然而, 该算法在提高NSGA-II算法的解群分布性方面却没有太大的进步.因此本文基于NSGA-II-DE算法进行改进, 提出一种基于种群扩张与稀疏化策略的改进型NSGA-II-DE算法, 即NSGA-II-DEES算法.实验表明, 该算法在解群分布性方面, 相对于NSGA-II-DE算法具有很大的提高.
1 NSGA-II与NSGA-II-DE算法NSGA-II和NSGA-II-DE都是解决MOP的算法, 后者对前者的改进之处主要在于结合了差分进化(DE)算法[14]. DE算法由Rainer等[15]于1995年提出, 具有较强的全局收敛能力和鲁棒性, 是一种高效的并行搜索算法[16].由于其在进化问题中具有优良表现, DE算法得到了学术界和工程界的广泛关注.下面先对MOP进行数学描述, 再介绍NSGA-II, 然后介绍NSGA-II-DE对前者的改进部分.
1.1 问题描述不失一般性, MOP可以描述成以下形式:
(1) |
其中: x=(x1, x2, ..., xn)∈ X⊂ Rn, x为决策向量, X为决策空间; y=(y1, y2, ..., yk)∈ Y, y为目标向量, Y为目标空间; e(x) ≤0为约束条件.本文仅讨论无约束条件的MOP, 即求解使得目标向量f(x)整体最优的解集.
1.2 NSGA-IINSGA-II由NSGA改进而来, 其采用快速非支配排序及精英策略, 以较低的时间复杂度提高了原算法的收敛性, 同时采用拥挤距离(Crowding-distance)排序机制, 提高了解群的分布性[17]. NSGA-II的整体算法流程如下[9].
Step 1:初始化.随机生成初始种群Rt, Rt的种群规模为2N, 其中t = 0表示代数.
Step 2:快速非支配排序.根据Rt中各个体的目标向量, 将种群按照个体之间的支配情况进行快速排序, 排序完成后个体即被分配到不同的非支配面Fi(i为非支配序).
Step 3:拥挤距离计算.定义一个空的集合Pt+1, 按i值从小到大的顺序计算各Fi内个体的拥挤距离, 并入集合Pt+1, 直到|Pt+1| + |Fi | > N(|P|表示集合P中元素个数).
Step 4:对Fi中的个体, 按照拥挤距离从大到小进行排序, 最后取前N - |Pt+1|个个体, 并入到集合Pt+1中.若t + 1 ≥ MaxGen(最大迭代代数)或满足算法退出条件, 则返回Pt+1, 否则继续Step 5.
Step 5:对Pt+1中的个体使用锦标赛选择算法、模拟二进制杂交算法和多项式变异算法, 得到新的大小为N的种群Qt+1.
Step 6:t = t+1, Rt = Pt ∪ Qt, 转到Step 2.
NSGA-II由于使用快速非支配排序和拥挤距离排序机制, 其解的收敛性和分布性都比较好.但由于使用了效率较低的模拟二进制杂交算法, 收敛速度较慢, 对于一些复杂问题, 如论文中提到的ZTD4, 在收敛速度和收敛性方面表现都不是很理想.
1.3 NSGA-II-DE针对NSGA-II在复杂问题中收敛速度和收敛性问题, NAGA-II-DE使用DE算法的变异、杂交和选择算子代替原算法中的模拟二进制杂交算子, 对算法作出了改进.由于利用了DE算法在收敛速度上的优异表现, 改进后的算法提高了原算法的收敛速度和收敛性. NSGA-II-DE算法与NSGA-II算法在其他方面基本相同, 这里着重介绍NSGA-II-DE中结合DE算法改进的部分.
从种群的N(N ≥ 4)个个体中随机选择4个不同的个体, 记为xi, xp1, xp2, xp3.首先进行变异, 令
其中:xp2 - xp3为差分向量; F为缩放因子, 调整F的大小可以控制差分向量的影响力.然后进行交叉, 交叉操作可以增加种群的多样性, 方法如下:
(2) |
其中cr ∈[0, 1]为交叉概率, rand(0, 1)为[0, 1]上服从均匀分布的随机数.最后进行选择, 即根据评价函数选择vi或是xi作为xi+1:
(3) |
反复进行变异、交叉和选择操作, 直至获得N个下一代个体.
2 NSGA-II-DEES虽然NSGA-II-DE对原算法的收敛速度和收敛性的提高做出了很大贡献, 但在解群分布均匀性上没有很大提高, 因此本文在NSGA-II-DE的基础上继续改进, 采用种群扩张(Expansion)与稀疏化(Sparsity)策略, 提出一种改进的NSGA-II-DEES算法.
2.1 算法思想无论是NSGA-II还是NSGA-II-DE, 在维持种群分布的均匀性上都只是依赖于拥挤距离排序算子.以NSGA-II为例, 在种群进化后期, 快速非支配排序使得几乎全部的2N个解都集中在了第一非支配面F1上, 因此F1中的个体将会直接进行拥挤距离排序, 即计算全部个体的拥挤距离, 然后按照排序算法, 对F1中的全部个体按拥挤距离从大到小排序, 取前N个个体并入到Pt+1中, 若满足退出条件(如达到最大迭代次数), 则返回Pt+1作为最终解集.由上面的分析过程可知, 最终解集的均匀程度取决于最后一次从F1中取出个体的方法优劣.
一般而言, 最后一次从F1中取值时, F1中个体的数量|F1|大于N而接近或等于2N, 若小于N, 则说明进化代数可能不够, 算法还未收敛.要从|F1|个个体中选出N个个体, 并使这些个体在目标空间中分布尽可能均匀, 首先可以考虑提高候选解的数量, 即F1的种群规模.若F1中的个体数量较少, 比如略大于N, 则最终解集的均匀程度就基本取决于F1中个体的均匀程度, 这样最终解集的均匀性就带有一定的随机性.而且随着迭代的继续, 均匀性的提高是有限度的, 当|F1|等于2N时均匀性在理论上达到上限. 图 1表示在SCH问题中, 采用NSGA-II-DE算法迭代到最大代数100代时, F1和Pt+1中个体分布情况(N=100).
图 1(a)是对SCH问题的某次实验得到的F1在目标空间的分布情况.从图 1(a)中可以看出, F1中的个体分布并不均匀, 存在着有些地方过于密集而有些地方过于稀疏的情况.实验表明, 随着进化代数的增加, 这种不均匀的现象并不会消失或减弱, 而是呈现出一种随机变化状态.
为了得到较为均匀的最终解集Pt+1, F1中过于密集的地方可以通过减少一些个体来使其均匀, 但过于稀疏的地方则无法“插入”个体, 只能任由这种稀疏的情况保留到提取后的种群Pt+1中, 这样无疑会影响Pt+1的均匀性. 图 1(b)为提取出来的N个个体, 可以看出, 这些个体虽然大致上分布均匀, 但在一些细节地方分布情况还不够理想, 依然存在着部分区域密集部分区域稀疏的问题.
|F1|并不是一定要限制在2N以下, 之所以会有此限制, 是因为参与非支配排序的种群规模为2N.可以考虑在种群进化到超过最大代数后继续迭代GenExp代, 在这一段进化过程中将每一代Pt中的个体全部保存到P_Exp中, 进化结束后, 对P_Exp中的Gen_Exp × N个个体进行去重、快速非支配排序操作, 再取其中的第一非支配面中的个体作为新的F1, 此时的F1中的个体数量上限为Gen_Exp× N, 这样就达到了扩充F1的种群规模的目的. 图 2(a)为继续迭代50代后扩充F1的分布情况, 此时F1中的个体数量为973, 分布密度大大增加.
在扩充种群后的F1中选择N个个体, 使其在目标空间中的分布尽可能均匀, 这一过程本文称之为稀疏化.对于稀疏化, 如果采用原NSGA-II中的先进行拥挤距离排序、再取拥挤距离最大的前N个个体的方法, 则得到的N个个体的分布均匀程度并不高.因此本文采取另一种更直接的方法:将F1中的个体按各目标向量值的大小排序, 计算相邻个体间的欧氏距离, 对这些距离求和, 然后计算将要抽取出来的N个个体的预期个体距离的均值dexpect, 再从排好序的全部个体一端开始, 按照优先抽取端点和使抽取出来个体相邻距离最接近dexpect的原则, 逐个计算需要抽取出来的个体. 图 2(b)为从F1中抽取出来的N个个体, 从图 2(b)可看出, 最终结果分布的均匀性很好.
因为种群扩张与稀疏化的策略直接以解群分布的均匀性为目标, 思想简单直接, 方法易于操作, 因此在提高均匀性方面具有很好的效果.但是此方法也有一些不足之处, 具体包括增加了时间与空间复杂度和难以适应高于二维的目标空间等问题.
2.2 算法实现与分析按照算法的核心思想, NSGA-II-DEES对NSGA-II-DE的改进包括两方面:种群扩张和稀疏化.种群扩张策略的实现体现在算法主流程上的改进.下面给出改进后的算法流程.
Step 1:初始化.随机生成初始种群Rt, Rt的种群规模为2N, 其中t=0表示代数, 定义集合S为扩充种群, S初始值为空集, MaxGen、ExpGen分别为最大迭代代数和种群扩张的代数.
Step 2:快速非支配排序.根据Rt中各个体的目标向量, 将种群按照个体之间的支配情况进行快速排序, 排序完成后个体即被分配到不同的非支配面Fi (i为非支配序), 若t > MaxGen, 则将F1并入S中(从MaxGen+1代到迭代结束, 每次将生成的F1中的全部个体并入S, 即种群扩张).
Step 3:若t + 1 ≥ MaxGen +ExpGen, 则将S中的个体去重, 再进行快速非支配排序, 剔除S中第一非支配面F1以外的个体, 然后使用稀疏化操作对S中的个体进行稀疏化, 返回稀疏化结果, 否则继续.
Step 4:拥挤距离计算.定义一个空的集合Pt+1, 按i值从小到大的顺序计算各Fi内个体的拥挤距离, 并入集合Pt+1, 直到|Pt+1| + |Fi |>N (|P|表示集合P中元素个数).
Step 5:对于Fi中的个体, 按照拥挤距离从大到小进行排序, 最后取前N - |Pt+1|个个体, 并入到集合Pt+1中.
Step 6:对Pt+1中的个体使用差分进化算子进行杂交变异, 得到新的大小为N的种群Qt+1.
Step 7:t=t+1, Rt = Pt∪ Qt, 返回Step 2.
改进后的算法主流程与原NSGA-II-DE非常相似, 主要区别在Step 2和Step 3.在Step 2中, 使用集合S记录种群在最后MaxGen到MaxGen+ExpGen代的进化过程中产生的第一非支配面的个体, 即当前代中的最优个体. Step 3中, 迭代结束后首先对扩充种群S进行去重, 这是因为前面各次迭代中可能会存在一些个体被保留至下一代, 被重复记录.另外, S中的个体虽然是各代中的非支配解, 但实验发现, 这些个体放在一起后会出现新的支配关系, 因此在去重后需对S进行非支配排序, 剔除第一非支配面以外的个体, 之后对S进行稀疏化操作. 图 3是改进算法的流程图, 两处虚线框部分即相对NSGA-II-DE的主要改进部分.
假设需要进行稀疏化的种群为S, 稀疏化后的个体数量为M(M为稀疏化函数的形参, 若要将个体数量稀疏化成N, 则将N作为实参传入), 稀疏化操作的流程图见图 4.
下面是稀疏化操作的具体步骤.
Step 1:判断S中的个体数是否大于M, 若是则继续, 否则返回S.
Step 2:对集合S中的个体按照目标向量的任一维度进行排序, 升序或者降序都可以.
Step 3:计算相邻个体的目标空间欧氏距离di(i =1, 2, ..., |S|- 1), 记D为di组成的集合.
Step 4:对全部di求均值dmean和标准差dstd.
Step 5:查找di中是否存在明显过大的异常值dabnormal满足dabnormal > dmean + 12× dstd.若存在, 则定义m = 3, 否则定义m=9, m为标准差系数, 这里的12、3和9为多次实验得到的较合理的值, 后两个数分别对应目标连续和目标分段两种情况.
Step 6:定义空集Dsel, 将全部di中满足条件di < dmean + m× dstd的数并入集合Dsel, 定义k = |D| - |Dsel|, 代表未被选入的数的个数, 定义flag = 0, flag代表前一次迭代过程中得到的解集个体数|T|与期望值M的差.
Step 7:计算期望的平均距离
(4) |
Step 8:定义空集T, T中的元素为种群个体, 代表稀疏化后被保留的个体, 将S中的第一个个体并入T.
Step 9:从上一次在S中选出个体的位置i开始, 往后依次查找S中的个体, 直到找到位置j, 使得个体Si到个体Sj之间的距离段之和di, j与Si到Sj+1之间的距离段之和di, j+1满足关系di, j≤ dexpect ≤ di, j+1.
Step 10:计算ddi, j = dexpect - di, j, ddi, j+1 = di, j+1 - dexpect, 若ddi, j < ddi, j+1, 则将Sj并入集合T, 否则将Sj+1并入集合T.
Step 11:重复Step 9和Step 10, 直到S中的个体已全部找完.
Step 12:检查S的最后一个个体是否被并入集合T, 若没有并入则将其并入.
Step 13:检查集合T的大小|T|, 若|T|等于M, 则返回集合T, 算法结束, 否则继续.
Step 14:若flag < 0且|T| - M > 0, 则表示上一次迭代得到的个体数少于M而本次多于M, 若继续迭代则会产生振荡且无法终止, 此时对T中的个体进行拥挤距离从大到小排序, 将排在最后的|T| - M个个体从T中去除, 然后返回T, 算法结束, 否则继续.
Step 15:用|T| - M更新flag的值, 用k + |T|-M更新k的值, 转至Step 7.
算法Step 5中首先使用12倍标准差来检测是否存在异常值, 这里检测到的异常值并不一定是全部的异常值.因此定义标准差系数m, 当D中存在异常值, 即过大的值时, 为了尽可能多地剔除过大的值, 将m设置为较小数(m = 3), 即“筛选”较为严格; 而当D中未检测出异常值时, 说明D中的数比较平均, 此时标准差dstd会比较小, 为了防止把过多的正常值当异常值剔除掉, 将m设置为较大值(m = 9), 即“筛选”较宽松. Step 6中的|D| - |Dsel|表示从原个体间距离集合D中剔除的过大距离的数量, 这里考虑了目标分段情况.若目标分段, 则断开处的“缺口”会使得集合D中存在较一般值大很多的值, 这样的值如果不剔除的话, 会使得Step 7计算期望的平均距离偏大, 从而导致最终结果T的个体数相对于N偏小. 图 5为KUR问题的种群扩张后F1中个体分布情况, KUR问题就是一个目标分段问题.
算法的Step 13~Step 15保证了输出集合T的大小一定为N. Step 14中, flag <0代表上一次计算出来的T的个体数量小于M, 而|T| - M > 0代表本次计算出来的T的个体数量大于M, 这两个条件同时成立, 说明无法通过调整k值的大小, 使得T中的个体数量刚好等于M.在这种情况下采用拥挤距离排序的方法, 对T中的个体排序, 然后去除拥挤距离过小的多出来的个体.若Step 14中的条件不满足, 则进入到Step 15中, 对flag的值和k的值进行更新, 因为期望的平均距离与k的值有关, 所以调整k能影响到T中的个体数量, 更新k的值后转至Step 7, 可以使得T中的个体数量快速往M靠近.
3 仿真实验分析选取9个测试函数[9, 18]:SCH, FON, POL, KUR, ZDT1, ZDT2, ZDT3, ZDT4, ZDT6, 对NSGA-II-DE与NSGA-II-DEES两种算法进行实验对比.测试函数信息见表 1.
对于所有的测试函数, 初始种群大小N统一设为100, DE缩放因子F统一设为0.5, DE交叉概率cr统一设为0.3, 种群扩张的进化代数ExpGen统一设为50代, 由于最大迭代代数MaxGen与问题复杂程度有关, 对于不同的问题在大小设置上有些区别:对于SCH, FON, POL, KUR问题, 将MaxGen设为100;对于ZDT1, ZDT2, ZDT6问题, 将MaxGen设为500;对于ZDT3问题, 将MaxGen设为400;对于ZDT4问题, 将MaxGen设为600.实事上, 由于NSGA-II-DE算法本身具有较好的保持种群多样性的能力, 将MaxGen设置的大一些(例如所有测试函数的MaxGen都设为1 000)也不会使种群收敛过度, 从而出现聚集现象. NSGA-II-DE算法的进化代数为MaxGen + ExpGen.
表 2显示了各问题解群的分布度的均值与方差结果.由实验结果可以看出, 整体上NSGA-II-DEES在维持解群的分布性方面相比于NSGA-II-DE有很大提升, 而且对结果分段情况的效果一样好.
表 2中的分布度Δ由Deb[9]等提出, 是衡量解群分布性的一个指标, 其均值越小, 说明种群的分布性越好.
在某些情况下, 类似图 2(b)的目标分布图上会有一个较为明显的“缺口” (非目标分段处, 两相邻个体间距离大概等于平均值的两倍), 这种局部性分布不均匀的现象, 是由稀疏化过程的最后剔除多余点的操作造成的.在稀疏化过程中, 有时通过调整k值的大小不能使解群大小正好变为N(会在N的附近上下浮动).出现这种情况时, 为了使解群大小严格等于N, 这里首先将解群大小调整到略大于N, 再按照拥挤距离从解中剔除多余的个体, 这就会导致“缺口”的出现.事实上, 如果对解群的大小要求不是十分严格, 即只要求在N左右或略大于N, 就不需要剔除操作, 这种局部性分布不均匀的现象就能消除.要完全消除缺口, 一种可能的解决方法是:当无法通过调整k值来使解群大小成为N时, 就不再调整k值, 而是使用二分法调整dexpect的值, 由于dexpect为实数, 理论上总能找到合适的dexpect, 使得解群的大小刚好为N, 但可能对于某些特殊的情况, 需要调整很多次才能找到, 因此本文没有使用这种方法.
从理论上分析, 算法有两点不足之处:
1) 对于目标维数超过2维的情况不太容易实现稀疏化.在稀疏化过程中, 需要预先估计各个目标点之间的欧氏距离, 再根据此距离进行目标点的选取, 当目标维数超过2维时, 很难再采用2维情况时先计算总距离再预测各个目标点之间的欧氏距离的方法, 因为高维情况下总距离不容易计算.
2) 算法时间复杂度与空间复杂度都有所增加.由于算法要求在原NSGA-II-DE进化结束后继续进化若干代, 而且需要将后面进化过程中新产生的个体记录下来, 算法时间和空间复杂度都有所增加, 增加的幅度与后续进化的代数成正比.
在实际使用算法时, 为了尽可能将算法的劣势减小, 发挥算法的优势, 应该尽量减小种群扩张的代数, 降低算法运行过程中对时间和空间的消耗, 使算法的时间和空间复杂度上的劣势尽量避免.因此选取不同的种群扩张代数, 对SCH和KUR问题进行实验, 实验结果见表 3.
从表 3可以看出, 实验结果与预期相符:使用种群扩张与稀疏化策略后, 解群的分布均匀性明显得到提高, 而种群扩张代数越多, 解群的分布均匀性提高得越显著.从结果可以看到, 对原NSGA-II-DE在MaxGen的基础上多进化50代, 其解群分布性甚至不如NSGA-II-DEES扩张10代的结果, 说明新算法在提高解群分布性上效果显著.新算法的时间和空间消耗与种群扩张代数相关, 因此使用此算法时, 需要使用者根据自己需要进行权衡, 是选择较多的种群扩张代数以提高解群分布性, 还是选择较少的种群扩张代数以降低时间和空间消耗.
4 结论本文对NSGA-II及NSGA-II-DE的分布性保持策略进行了深入研究, 针对其不足之处, 提出了一种基于种群扩张与稀疏化策略的改进NSGA-II-DEES算法.仿真结果表明, 相比于原算法, 所提出的算法大大提高了最终解群的分布均匀性, 在分布性上具有明显的优势.但是算法也存在不足之处: 1)需要针对高维情况对稀疏化方法进行改进; 2)需要尽量降低算法的时间与空间复杂度.未来将针对这两方面进行改进和优化.
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