0 引言

随着科学技术的发展, 移动机器人在农业^[1]及工业^[2]等领域已得到广泛应用, 这也促进了对其运动控制问题的广泛研究.

移动机器人系统是一类典型的非完整系统, 其跟踪控制器设计一直是难点^[3-5].已有的研究成果主要是假设系统的参数已知, 采用基于模型的非线性控制方法设计跟踪控制器, 如反步法^[6-7]、反馈线性化方法^[8]、滑模控制方法^[9]等.在实际应用过程中, 由于移动机器人本体受负载变化以及轮胎磨损的影响, 轮胎半径会发生变化.另外, 在不同平台间, 轮胎间距也不同, 且测量往往存在测量误差.因此, 为了进一步提高移动机器人的运动控制精度, 研究人员针对移动机器人的参数不确定性, 提出了基于不确定参数在线辨识的自适应控制器设计方法.目前的方法主要基于系统的动力学模型展开研究.文献[10]采用自适应模糊滑模控制方法设计了轨迹跟踪控制律.文献[11]采用Backstepping积分方法, 通过逐步递推选择适当的Lyapunov函数, 设计了基于状态反馈的自适应控制器.文献[12]结合运动学控制器和自适应模糊控制器设计了轨迹跟踪控制律.文献[13]基于神经网络技术, 设计了鲁棒自适应Backstepping控制器.该类方法将轮胎半径等不确定参数引入到移动机器人执行器的动力学模型中, 进而利用执行器动力学模型设计估计器在线辨识不确定参数, 该方法的优点是能够绕开运动学模型中的非完整约束, 比较容易实现.但是, 现有的移动机器人开发平台(如先锋机器人、新松机器人)中控制输入为驱动电机的转速, 因此, 只能基于运动学模型设计跟踪控制器和在线辨识不确定参数.文献[14]基于运动学模型设计了考虑参数不确定性的自适应控制器, 该方法无法保证自适应参数的有界性, 且无法证明系统跟踪偏差的渐近收敛性.由于受到运动学模型中非完整约束的限制, 基于运动学模型的自适应控制器的设计与分析有较大难度, 该方面的研究文献较少.综上, 研究基于运动学模型的移动机器人自适应跟踪控制器设计方法具有明确的工程意义和重要的学术价值.

本文基于移动机器人运动学模型, 考虑轮胎半径等参数不确定性, 设计自适应轨迹跟踪控制器, 并采用Lyapunov方法证明跟踪误差系统的渐近稳定性.仿真和实验表明, 所提出方法能够通过在线学习, 估计出参数真实值, 使得实际运行轨迹收敛到参考轨迹, 同时表明所提出方法能够抑制系统参数不确定性对控制系统的影响.

1 问题描述与面向控制的模型推导 1.1 问题描述

本文以Unicycle型移动机器人为研究对象, 主要由两个独立驱动轮和一个万向随动轮组成.假设驱动中心与质心重合, 定义其在大地坐标系下的坐标为(x, y), 驱动轮直径为r, 间距为2b. θ为机器人的位姿角, ω为以垂直轴Z为转动中心轴的转动角速度, υ为机器人运动过程中的瞬时线速度.轮式移动机器人运动学方程可以描述^{[4, 15]}为

(1)

对于移动机器人系统, 通常将υ, ω作为虚拟的控制输入进行控制器设计.上述移动机器人运动学方程需要进行矩阵变换, 将虚拟的控制输入转换为移动机器人系统的真实控制输入, 即左右轮驱动电机转速, 其对应关系可表示为

(2)

利用轮式移动机器人的运动学方程(1)和矩阵变换(2)可以进行控制系统的设计, 但是, 在实际应用过程中, 当轮式移动机器人的负载或轮胎胎压发生变化时, 会使轮胎产生不同程度的变形, 导致轮胎半径r发生变化, 即矩阵变换中轮胎半径r存在不确定性.另外, 矩阵变换中轮胎间距b也存在不确定性, 例如在多机器人编队控制中, 不同机器人的轮胎间距会存在差异等.综上所述, 本文针对轮式移动机器人系统轮胎半径和轮胎间距离存在不确定性的问题, 通过对不确定性参数进行在线辨识, 设计了自适应轨迹跟踪控制器, 使得移动机器人能够跟踪参考轨迹, 即

(3)

其中x_r, y_r, θ_r为参考轨迹, 且满足

(4)

υ_r, ω_r为参考线速度和角速度.

1.2 面向控制的模型推导

上一节给出了本文控制问题的具体描述, 下面针对移动机器人的欠驱动特性, 通过模型变换推导适合基于运动学模型进行自适应控制器设计的误差模型.为了方便进行控制器设计, 将惯性坐标系下定义的跟踪误差转换到车身坐标系, 转换关系为

(5)

由此得到误差方程为

(6)

移动机器人具有欠驱动特性, 对于文献中广泛采用的误差方程(6), 当(x_e, θ_e)收敛到0时, y_e将不可控.因此, 基于误差模型(6)进行控制器设计过程中, 必须通过x_e或θ_e证明y_e能够收敛到0, 这增加了自适应控制器设计的难度.为了克服该不足, 定义新的误差变量^[16-17]为

(7)

其中: k(t)=λ₁υ_r, λ₁为大于零的常数, 满足λ₁|υ_r|_max≤1, |υ_r|_max为|υ_r|的最大值.由此可以保证k(t) ≤ 1.

由等式变换(7), 首先求解出sinθ_e和cosθ_e的表达式, 进一步将cosθ_e代入方程(6)的第1式, 将sinθ_e代入第2式进行推导, 并在此基础上, 对式(7)两边求导, 整理可得变换后的模型为

(8)

其中

(9)

由式(9)可知, 由于在误差系统y_e中引入了, 可以保证当(x_e, θ_e)收敛到0时, y_e是可稳的.同时, 由式(7)可知, 当y_e, ϕ_e收敛到0时, 有θ_e收敛到0.进而, 将式(6)的控制器设计与分析问题转化为式(8)的控制器设计与分析问题.如果矩阵变换(2)中参数r, b可以精确测量或计算, 则可以直接利用矩阵变换(2)和虚拟控制输入获得系统真实的控制输入u_r, u_l.但是, 由于参数r, b存在不确定性, 需要对其进行在线估计以确定矩阵变换.

令1/r=α, b/r=β, 定义表示参数的估计偏差, 表示α、β的估计值, 有

(10)

其中υ_f, ω_f表示当矩阵变换中α, β用表示时对应的虚拟控制输入.

进一步, 对式(10)进行变换可以得到

(11)

将式(11)代入(8), 整理得到

(12)

综上, 通过上述等式变换和变量替换, 系统(1)、(2)含有不确定参数的轨迹跟踪控制器设计问题可以转化为系统(12)中自适应更新率和虚拟控制输入υ_f, ω_f的设计问题, 以及闭环系统的稳定性分析问题.

2 移动机器人自适应跟踪控制器设计

本节主要设计不确定参数的自适应更新率和虚拟控制输入, 以保证闭环系统的稳定, 进而得到真正的控制输入.

首先, 设计不确定参数的自适应更新率.为了保证估计参数的有界性, 给出以下映射:

(13)

其中P_max, P_min分别为参数估计值的最大值和最小值.

给定如下自适应更新率:

(14)

其中: Γ为自适应增益; 参数P既可以表示α, 也可以表示β.得到

(15)

根据定义(13)容易证明式(15)的第1式成立.下面证明另一个不等式也成立.

1) 如果和·_i=Γ_iiτ_i＞0成立, 则得到≥0, 且

2) 如果和·_i=Γ_iiτ_i＜0成立, 则得到≤0, 且

3) 否则, 则得到且

根据以上分析, 可以得到

对以上不等式进行线性组合, 得到

因此上述结论成立.

由式(15)可见, 估计参数是有界的, 且式(15)将有助于后文的稳定性分析.

针对式(10), 设计不确定参数的自适应更新率为

(16)

其中

(17)

为了保证矩阵可逆, 设置参数估计值下界大于0.下面设计虚拟的控制输入, 并证明闭环系统及不确定参数估计误差系统的稳定性.定义如下形式的Lyapunov函数:

(18)

其中: Γ_α＞0, Γ_β＞0.对式(18)求导, 得到

(19)

其中

对于式(19)中的, 存在常数δ₁∈(0, 1)和δ₂∈(0, 1), 使得

(20)

下面证明式(20)成立.有

其中

由于

其中δ₁∈(0, 1).只需证明存在常数κ, 使得下式成立:

定义函数

其中: a₁=Γ₂/Γ₁, a₂=k(t)y_e/Γ₁, 0＜|a_i|＜1, i=1, 2.为了证明不等式(34), 首先证明对于x∈[0, ∞), 存在常数κ使以下不等式成立:

定义函数

其中f₄(x)为周期函数, 且在点取得最大值.由于f₄(0)=0, f₅(0)=0, 且f₄(x)在x∈[0, ϕ]上单调递增, 只需证明对于x∈[0, ϕ], 满足

由于

容易选择κ使得在x∈[0, ϕ]上满足

例如可以选择κ为(1+a₂²)³.令δ₂=δ₁^-1κ, 则不等式(20)成立.同理可以证明, 对于x∈(-∞, 0), 不等式(20)同样成立.

将不等式(20)代入(19), 整理得

(12)

为了证明系统的稳定性, 根据以上自适应更新率的形式, 对不等式(21)右端的后4项进行变换, 可以得到

(22)

式(21)变为

(23)

设计虚拟控制输入

(24)

将式(24)代入(23), 整理可得

(25)

当选择k₁, k₂, δ₁, δ₂的数值满足k₁＞0, λ₁＞δ₁, k₂＞λ₂时, 有

(26)

由式(26)可知, 闭环误差系统和不确定参数的估计误差系统是稳定的.同时, 不等式(26)只在误差x_e, y_e, ϕ_e为0时等号成立, 因此闭环误差x_e, y_e, ϕ_e具有渐近稳定性, 即

(27)

根据ϕ_e的定义可知, 当|y_e|和|ϕ_e|收敛于0时, |θ_e|收敛于0, 即

(28)

由此证明了闭环误差x_e, y_e, ϕ_e的渐近收敛性以及估计参数α, β的稳定性.综上, 结合式(10)和(24), 可以得到真实的控制输入为

(29)

注1  由以上证明过程可以发现, 由于在误差模型(8)中引入了这一项, 在稳定性分析过程中, 可以直接证明y_e的渐近收敛性.

3 仿真及实验验证

为了验证本文算法的有效性, 分别设计了Matlab数值仿真实验和实物实验对所提出算法的控制效果进行验证.首先通过仿真实验给出在系统参数r和b发生一定变化时, 未考虑参数不确定性问题的控制效果; 然后验证加入自适应算法前后的对比控制效果; 最后基于Pioneer 3-dx机器人实验平台进行实物验证实验.受实验条件的限制, 无法改变该机器人的系统参数r和b, 另外, 也没有具有不同系统参数r和b的多种型号机器人, 所以本文实物实验部分对控制器(29)中参数r和b的初始值进行了修改, 以此验证本文算法的有效性.

仿真及实验平台模型参数分别为r=0.096 m, b=0.165 m.

3.1 数值仿真实验 3.1.1 本文工作意义

首先对比文献[3]给出的较为经典的控制器, 在系统参数发生一定变化时跟踪原参考轨迹的控制效果.轨迹表达式如下:

(30)

对于仿真模型中轮胎半径和车轮间距参数变化范围说明:

1) 轮胎半径参数变化说明.对于车轮半径, 在实际运行过程中, 其变形程度与负载量、车轮内气体压强和环境温度均有关系.本文参照文献[18]中的测算方法, 当汽车处在轻载及低压状态下, 车轮半径同标称值相比较, 变化范围可以达到8%, 因此将轮胎半径的变化范围设定为10%, 以验证所提出的控制方法的有效性.

2) 车轮间距参数变化说明.对于不同移动机器人平台, 其车轮间距存在着差异, 本文提出的自适应方法能够对不同移动机器人平台的轮胎间距参数进行在线估计, 进而实现精确的轨迹跟踪控制.该方法能够减小同一控制方法应用于不同移动机器人平台时, 控制参数重新标定和设定的工作量.

利用文献[3]的控制方法在不同轮胎半径和轮胎间距参数下的控制效果如图 1所示, 控制器参数分别为k_x=3, k_y=3, k_θ=5. 图 1中: Ⅰ线代表系统参数没有变化时的控制效果, 即系统参数为r=0.096 m, b=0.165 m; Ⅱ线和Ⅲ线代表系统参数发生变化时的控制效果, 点划线对应的系统参数为r=0.105 6 m, b=0.148 5 m, 虚线对应的系统参数为r=0.086 4 m, b=0.181 5 m.

由图 1可见, 当系统参数发生变化时, 系统位置偏差为8 cm, 方向误差|θ_e|为0.013 rad.由此可以看出, 当参数发生变化时, 控制系统存在较大的跟踪偏差, 因此需要设计自适应算法对不确定参数进行在线辨识并进行补偿.

3.1.2 自适应算法有效性验证

为了表明自适应算法的有效性, 针对式(30)给出的参考轨迹, 对本文控制器和文献[3]不包含自适应算法的控制器进行对比仿真.本文方法控制器参数为k₁=3, k₂=5, 自适应增益为Γ_α=30, Γ_β=21.文献[3]控制器参数为k_x=3, k_y=3, k_θ=5.仿真效果如图 2和图 3所示.

文献[3]方法在系统参数发生一定变化后, 存在较大的控制偏差, 但是本文算法由于能够在线辨识系统参数的真实值, 最终使得系统位置偏差l_e=和方向误差|θ_e|都收敛到0.

3.2 实物实验验证

为了验证所提出算法的有效性, 在Pioneer 3-dx实验平台上对该算法进行实验验证. Pioneer 3-dx机器人以客户端-服务器模式运行, 客户端用于运行基于C++编写的用户应用程序, 服务器端用于执行移动机器人底层控制, 包括速度控制和采集传感器信息.该移动机器人通过惯导组合定位系统(陀螺仪和编码器)进行定位, 对于惯导系统的累积偏差, 采用激光雷达进行实时校正.移动机器人主要参数如表 1所示.

由于该平台控制输入为左右轮的线速度, 无法对其轮胎半径r进行辨识, 本文只对轮胎间距参数b进行辨识.实验过程中, 控制器(29)中参数b的初始值设为0.1, 控制器参数为k₁=3, k₂=5, 自适应增益为Γ_β=9.

参考轨迹为

(31)

对于式(31)所示的参考轨迹, 本文设计方法的控制效果如图 4和图 5所示.由图 4和图 5可以看出, 本文方法能够在线辨识其系统参数, 系统位置偏差为3 cm, 方向误差|θ_e|为0.006 rad.

通过数值仿真可以看出, 在系统参数r和b发生变化时, 控制效果会变差.所以, 为了提高系统的控制效果, 在设计控制器过程中, 必须考虑其参数不确定性问题.同时, 通过仿真验证了所提出算法能够在线辨识参数r和b的真实值, 以此获得很好的控制效果.另外, 在实验过程中, 也获得了相似的效果, 由此验证了本文算法能够抑制参数不确定性对控制效果的影响.

5 结论

本文针对移动机器人运动学方程中轮胎半径和轮胎间距存在测量误差和不确定性问题, 提出了基于运动学模型的移动机器人自适应轨迹跟踪控制方法.推导了适合进行自适应控制器设计的运动学误差模型, 设计了自适应更新率对系统中轮胎半径和轮胎间距存在的不确定性进行在线估计, 并设计了虚拟的控制输入, 进而通过矩阵变换得到移动机器人真实的控制输入, 即驱动电机的左右轮转速.仿真和实验表明, 在轮胎半径和轮胎间距参数未知的情况下, 该方法能够通过在线学习估计出参数真实值, 使得位置偏差收敛到参考轨迹.由对比实验可以看出, 所提出的方法在参数存在不确定性的情况下, 能够对未知参数进行在线估计和更新, 进而能够抑制系统参数变化对控制系统的影响.