滑模变结构控制是一类特殊的非线性控制, 可以根据系统的当前状态动态地变化系统结构, 迫使系统按照预定的状态轨迹滑动.由于滑动模态可以被设计且与对象参数及扰动无关, 使得变结构系统具有对参数及扰动不敏感、快速响应、鲁棒性强和物理实现简单等优点[1-2].因此, 滑模控制被广泛应用于高速和高精度控制系统[3-7].
近年来, 终端滑模(Terminal sliding mode, TSM)因在滑模面中引入非线性项, 提高了系统的收敛速度而成为研究热点[8].但是, TSM存在奇异性问题[9], 对此, 文献[10]提出了一种非奇异终端滑模(Non-singular terminal sliding mode, NTSM)方法, 克服了奇异问题. NTSM越远离平衡状态, 其收敛速度越快, 而当系统接近于平衡状态时, 非线性滑模的收敛速度比线性滑模的收敛速度慢, 因此NTSM的收敛时间未必是最优的.为了使收敛时间最优, 文献[11]提出了一种非奇异快速终端滑模控制(Non-singular fast terminal sliding mode, NFTSM).控制律中始终包含不连续的符号函数切换项会引起抖振现象, 在实际应用中, 抖振现象可能引起高频响应, 导致执行器损坏.为了抑制抖振, 一些学者提出了高阶滑模控制的思想[12-14].文献[12, 15]提出了super twisting二阶滑模控制算法, 将不连续符号函数隐藏在积分项里, 可实现系统误差稳定收敛到零, 并且有效地抑制了抖振; 文献[16]在控制律中引入了等效控制来估计外界干扰; 文献[17-18]基于相同的思想, 提出了类super twisting算法的二阶滑模控制算法; 文献[19-20]基于super twisting算法设计的二阶滑模观测器能够快速稳定地估计出外界干扰, 从而削弱抖振; 文献[21]采用Lyapunov方法对super twisting算法进行了稳定性研究, 给出了算法收敛的参数取值范围和收敛时间, 但二阶滑模控制算法的收敛速度还有进一步提高的潜力.
在液压外骨骼机器人的运动控制中, 通常需要考虑系统结构参数摄动及外部干扰问题, 主要表现为参数不确定性(摩擦参数变化和负载变化等)和非参数不确定性(建模误差和外界扰动等).对于存在干扰的外骨骼机器人控制问题, 本文提出一种快速二阶终端滑模控制算法以提高二阶终端滑模算法的收敛速度.设计一种二阶趋近律, 将绝对值函数隐藏在积分项里, 并增加线性项以提高全局收敛性.采用Lyapunov理论证明快速二阶终端滑模控制算法比super twisting具有更优良的收敛特性.最后通过仿真实验验证本文提出的控制算法对抖振的有效抑制性, 及其相对于super twisting算法的快速收敛性和强鲁棒性.
1 快速二阶滑模控制算法由于传统的滑模控制律中始终包含不连续的符号函数切换项, 会引起抖振现象, 可能引起高频响应导致执行器损坏.本文提出一种快速二阶终端滑模控制算法以提高二阶终端滑模算法的收敛速度.
引理1[4] 如果存在正定李雅普诺夫函数V(x)及参数u1>0, u2>0和0 < θ < 1, 满足不等式
(1) |
则系统状态能够在有限时间内收敛至零点, 且收敛时间满足
(2) |
对于受扰快速二阶滑模控制算法, 有如下定理成立.
定理1 考虑如下受扰快速二阶滑模控制算法:
1) 当Si ≠ 0时(i = 1, 2, ..., n), 有
(3) |
其中: Si为n维滑模面向量分量, S = [S1, S2, ..., Sn]T; Li(t)为n维时变函数向量分量; Di(t)为n维复合干扰向量分量, 且满足|Di(t)|≤ Dm, i; λi、Ka, i、Kb, i、εa, i、εb, i和εc, i为控制参数向量分量, 都大于零, 并且εb, i = ka, i/λi, εc, i > εb, i; t*为t的下一时刻.
2) 当Si = 0时(i = 1, 2, ..., n), 有
(4) |
则系统将在有限时间内到达终端滑模面, 并使得跟踪误差在有限时间内收敛到0.
证明 1)当Si ≠ 0时(i = 1, 2, ..., n), 有
(5) |
对式(5)求导, 可得
(6) |
其中
将式(5)代入(6), 可得
(7) |
由于|Di(t)|≤ Dm, i且εd, i> ka, i/λi, 可得
(8) |
由于
2) 当Si = 0时(i = 1, 2, ..., n), 取李雅普诺夫函数
(9) |
对式(9)求导, 可得
(10) |
由于Si = 0, 将式(9)代入(10), 仍然可得
(11) |
由引理1可得系统能够在有限时间内收敛至零点, 且收敛时间满足
(12) |
由此定理1得证.
当Lyapunov函数Vi距离平衡点较远时, 线性项2ka, iVi大于非线性项kb, iVi0.5, 收敛速度主要由线性项决定, 为指数收敛; 当Lyapunov函数Vi距离平衡点较近时, 非线性项大于线性项, 收敛速度主要由非线性项决定.线性项与非线性项的结合使得本文的快速二阶滑模控制算法具有较快的收敛速度.
注1 Levant提出的受扰的super twisting二阶滑模控制算法为
(13) |
其中:复合干扰Δ需要满足连续可微且一阶倒数有界的条件, 即
(14) |
其中Λ为与Ka, i、Kb, i和Δ相关的函数.当Lyapunov函数Vi距离平衡点较远时, 非线性项ΛVi0.5比线性项小, 使得系统收敛较慢; 当Lyapunov函数Vi距离平衡点较近时, 非线性项比线性项大, 使得系统收敛较快.因此, 本文的快速二阶滑模控制算法, 通过增加线性项相比普通super twisting算法具有更快的收敛速度.
2 下肢外骨骼动力学模型下肢外骨骼结构如图 1所示, 外骨骼每条腿有7个自由度, 髋关节和踝关节均有3个自由度, 膝关节有1个自由度.膝关节的和踝关节的屈伸自由度为主动自由度, 其余为被动自由度.
系统中单腿动力学方程为
(15) |
其中: q为2 × 1维关节角位移; τ为2 × 1维控制力矩; τd为干扰力矩; M(q) = M0(q) + ΔM(q)为2 × 2维对称正定惯量矩阵;
(16) |
其中:
控制目标是使得外骨骼跟踪预定义轨迹, 定义qd和q分别是期望的和实际的角位移, 定义跟踪误差为
(17) |
设计终端滑模面为
(18) |
其中: α =diag(α1, α2), 各分量大于0; β =diag(β1, β2), 各分量大于0; S = [S1, S2]T; eγ = [eγ1, eγ2]T, γi =ai/bi, 且ai、bi为奇数, ai > bi.
趋近律采用本文的快速二阶滑模算法, 由此可得外骨骼滑模控制律为
(19) |
其中: γ = diag(γ1, γ2); eγ-1 = diag(eγ1-1, eγ2-1); Ka =diag(Ka, 1, Ka, 2).
4 仿真验证为了验证本文快速二阶终端滑模控制(FSOSM)的效果, 在Matlab的Simulink环境下作仿真分析, 并采用所设计的FSOSM和传统的super twisting(ST)、NFTSM对下肢外骨骼进行随动控制. NFTSM使用的指数趋近律为
(20) |
3种控制采用相同的滑模面(18), 使用的各参数向量分量相等, 各参数如表 1所示.
目标状态变量设为qd = 2sin(4πt), q的初值取3,
从图 2中可以看出, 系统在不确定性和外界干扰的情况下, NFTSM的收敛速度最快, FSOSM的收敛速度快于ST.
从图 3中可以看出, NFTSM存在抖振, 不利于实际应用.
从图 4中可以看出, FSOSM与ST的输出较为平滑, 能够有效地抑制抖振.
5 结论本文提出了一种快速二阶终端滑模控制算法, 并采用Lyapunov理论证明了快速二阶终端滑模控制算法比super twisting具有更优良的收敛特性.将该算法应用于存在干扰的下肢外骨骼姿态控制, 仿真结果表明, 本文所提出的控制算法能够有效抑制抖振, 并且比super twisting具有更好的跟踪性能.
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