2. 93704部队,北京 101100
2. Unit 93704, Beijing 101100, China
近年来, 多智能体系统的协同控制理论得到了快速发展, 各种理论成果层出不穷.一致性问题是多智能体协同控制领域的一个基础问题, 在地面机器人和无人机编队控制中具有广泛应用.群系统之间的信号传输过程要经过采样、编译、传输、还原等几个步骤[1], 系统时延不可避免.存在时延现象的群系统更加贴近现实系统, 因此引起了很多学者的关注.多智能体系统中的时延主要分为通信时延[2]和输入时延[3-5].通信时延涉及到智能体之间的局部信息交换, 输入时延主要和智能体自身处理信息的性能有关, 通信时延和输入时延过大会影响系统运动特性.系统时延又分为固定时延[6-7]和时变时延[8-9], 可以将固定时延看作时变时延的特例.本文讨论系统在具有时变时延条件下的一致性问题, 即系统时延随着时间发生变化.
针对时延的多智能体系统的分析方法主要有两种:频域法和Lyapunov函数法.频域法适合单输入单输出系统, 通常可以通过稳定性判据确定出时延上界.对于普通线性系统, 采用Lyapunov函数法更为合适, Lyapunov函数法属于时域法, 用来分析系统的稳定特性, 具体过程是构造Lyapunov-Krasovskii和Lyapunov-Razumikhin函数, 并对函数进行求导, 然后确定系统状态的收敛特性.文献[10]中的系统时延在一定范围内波动, 通过建立Lyapunov函数可以得出系统一致性的充分条件, 且其控制参数满足推导出的线性矩阵不等式.大部分文献都需要求解时延上界, 无时延是系统通信的理想状态, 不会对系统的稳定性造成不良影响.时域法的通用步骤是将一致性问题转化为误差系统的渐近稳定性问题, 建立Lyapunov函数, 通过构造线性矩阵不等式得出控制参数和系统时延满足的条件[11-18].以上文献研究的对象大都是一阶或二阶多智能体时延系统, 本文的研究对象是普通阶线性时变时延系统.
本文基于分布式PID控制提出一种新的一致性算法, 研究的对象是具有时变时延的任意阶连续线性时不变系统.已有的文献虽然也曾采用PID控制作为一致性协议的核心, 但研究对象都是较为简单的一阶系统, 不具有代表性.为了解决高阶系统的一致性, 采用状态分解方法将一致性问题转化为降阶子系统的稳定性问题, 同时确定系统的相对运动和绝对运动.本文通过状态分解法给出系统实现一致的充分必要条件, 然后利用LMIs给出控制参数的设计范围.
1 预备知识 1.1 图论和数学基础假设G = (V(G), ε(G), W)为一个有向图.其中: V(G) = {v1, v2, ..., vN}为图的节点集合; ε(G) ∈ V(G) × V(G)为图的边集合, 对于任一边eij = (vi, vj)而言, vi为父节点, vj为子节点, 并且vj为vi的一个邻居节点; W = [wij] ∈ RN × N为图的邻接矩阵, D = diag{degin(i), i ∈ N}为节点vi的入度矩阵,
为了统一论文符号, 规定Rn × m和Cn × m分别为n × m维实矩阵和复矩阵, IN为N维单位矩阵, 1(0)为元素全为零的矢量, Re (λ)为复数λ的实部, ⊗为Kronecker积.
引理1[7] 0是Laplacian矩阵
考虑一个由N个同构智能体构成的连续时间线性时不变系统, 每个智能体的动力学方程如下:
(1) |
其中: A ∈ Rn × n, B ∈ Rn × p为常数矩阵, xi(t) = (xi1(t), xi2(t), ..., xin(t))T ∈ Rn为每个智能体的状态变量, ui ∈ Rp为系统的控制输入.
基于PID控制, 考虑包含时变时延的一致性控制协议
(2) |
其中: i, j ∈ {1, 2, ..., N}; K1、K2 ∈ Rp × n, K1为状态反馈矩阵, K2为耦合增益矩阵; Ni为节点vi的邻接节点集合; TP > 0, TI > 0, TD > 0分别为比例、积分、微分系数; τ (t)为满足如下假设的时变时延.
假设1
令x(t) = [x1T(t), x2T(t), ..., xNT(t)]T, 将式(2)代入系统(1), 则系统可以写成如下紧凑形式:
(3) |
其中ϕ (t)为一个有界的向量函数.
定义1 对于任意给定的有界初始条件ϕ (t), 如果存在一个与初始状态x(0)相关的向量函数c(t) ∈ Rn使得
本文研究系统的一致性条件, 并给出一致性协议控制参数的设计方法.
2 问题转换假设本文中系统的拓扑结构是有向图且存在生成树, 则系统的Laplacian矩阵有且仅有一个零特征值.
(4) |
由引理1可知
(5) |
(6) |
通过上面的变换可以得出系统获得一致的充分必要条件.
3 一致性条件采用状态空间分解法将一致性问题转化为渐近稳定问题, 为了得到一致性条件, 首先介绍两个子空间.
设ck ∈ Rn (k = 1, 2, ..., n)为线性无关的向量, CNn可以由如下两个线性子空间构成.
定义 设ui (i = 1, 2, ..., N)为矩阵U的列向量; pj = ui ⊗ ck ∈ CNn, j = (i - 1)n + k, i=1, 2, ..., N, k = 1, 2, ..., n.由向量pj(j = 1, 2, ..., n)张成的子空间C(U)称为一致子空间, 由向量pj(j = n + 1, n + 2, ..., Nn)张成的子空间C(U)称为一致补子空间.由于矩阵P是非奇异的, 下面引理成立.
引理2 C(U) ⊕ C(U) = CNn.
定理1 本文研究的系统拓扑由有向图G表示, 假设图G含有生成树, 当且仅当子系统
证明 设
(7) |
又因为
(8) |
另外, 存在αj(t)(j = n + 1, n + 2, ..., Nn), 使得
(9) |
由pj(j = n + 1, n + 2, ..., Nn)的结构可得
(10) |
由定义2可知, xC(t)与xC(t)不相关.由
(11) |
由引理2可知, 当且仅当
设PC(U), C(U) = [p1, ..., pn, 0, ..., 0]P- 1表示沿着C(U)到C(U)的斜投影算子, 其中P = [p1, p2, ..., pNn].下面在推论中给出一致性函数c(t)的显示表达式.
推论1 如果(A, B)是可控的, 图G包含生成树, 系统获得了一致, 则系统的一致性函数的模态可以任意配置且满足
(12) |
证明 由定理1可知, 若系统获得一致, 则系统的一致函数由子系统(5)确定, 即有
注1 通过极点配置, 系统的一致函数可以收敛到零, 也可以是振荡或者发散的, 但系统状态都会趋于一致.群系统的运动可以看作由系统作为整体的绝对运动与个体间的相对运动组成[19].本文使用基于初始状态分解的方法确定系统的绝对运动, 相对运动的控制则采用PID控制.推论1表明, 系统时延不会改变一致性函数的显示表达式, 即不会对系统绝对运动产生影响.
4 一致性协议的参数设计增益矩阵K1的作用是配置系统的运动模态, K2的作用是保证系统实现一致性.为了得出一致性判据, 首先介绍如下3个引理.
引理3 [20] 对于一个对称矩阵S = [Sij], S11 ∈ Rr × r, S12 ∈ Rr × (n - r), S22 ∈ R(n - r) × (n - r), 如果S < 0, 则当且仅当S11 < 0时, 有S22 - S21S11- 1S12 < 0或者S22 < 0时, 有S11 -S12S22- 1S21 < 0.
引理4[21] 设η (t) ∈ Rn为一阶连续可微的向量函数, 则有如下积分不等式成立:
(13) |
其中: M1, M2 ∈ Rn, S = ST > 0, ζ (t) = [ηT(t), ηT(t -τ (t))]T.
引理5 [22] 记
证明 设φ (t) ∈ [-1, 1]为任意分段连续的标量函数, 设δ (t) = (φ (t) + 1)/2, 则δ (t)也是分段连续函数, 且δ (t) ∈ [0, 1].记
(14) |
如果
(15) |
对于i ∈ {2, 3, ..., N}, 存在βi ∈ [0, 1], 使得Re (λi) = βiRe (λ2) + (1 - βi)Re (λN), 因此可以得到
(16) |
对于任意分段连续的非零向量函数γ (t), 由Θ1 < 0, Θ2 < 0可知
(17) |
设函数φ (t) = sign(γT(t)Φ2γ (t)), 则有
(18) |
由于μM ± Im (λi) ≥ 0, 有γT(t)
如下系统中存在积分项:
若变量
(19) |
令
(20) |
上式的稳定性等价于系统(3)的稳定性.
下面通过线性矩阵不等式工具给出一致性协议(2)中控制参数的计算方法.
定理2 对于任意时延τ (t) ∈ [0, τ], 如果存在4n × 4n维实对阵矩阵R > 0, Q > 0, S > 0以及M1和M2, 满足
(21) |
其中
则系统(3)获得一致.
证明 要证明系统(3)获得一致, 等价于证明子系统(20)稳定.由于Laplacian矩阵的特征根中含有复数, 基于实部和虚部分解可知, 系统(20)的稳定性等价于如下系统的稳定性:
(22) |
其中: ΛK代表元素为矩阵K的对角阵, Υλ =
考虑如下Lyapunov-Krasovskii函数:
(23) |
其中
沿系统(21)的解对Vi(t)求导, 可得
(24) |
(25) |
(26) |
其中: Hi = [X1, -Xi2, -Xi3], ηi(t) = [
由引理4可得
(27) |
由式(24) ~ (27)可得
(28) |
由引理3可知, 如果Ξi < 0(
若增益矩阵K2是未知的, 则Ξi < 0(i = 1, 2, 3, 4)是非线性不等式, 此时增益矩阵K2很难求解.本文通过变量代换的方法确定K2的取值范围.
定理3 对于任意τ (t) ∈ [0, τ], 如果存在正定对称矩阵R, S ∈ R4n × 4n, Q ∈ Rn × n, 以及矩阵K2 ∈ Rm × n, 满足
(29) |
其中
则系统可以实现一致, 且协议(2)的增益矩阵K2 = K2- 1Q.
证明 对于i ∈ {1, 2, 3, 4}, 记
由Schur定理可知, Ξi < 0等价于
(30) |
设M1 = - R, M2 = Q, 则可得
(31) |
直接计算可得
(32) |
设R = R- 1, S = S- 1, ΛQ = Q- 1, K2 = K2Q, 则由式(30) ~ (32)可知, 如果Ξi < 0(i = 1, 2)成立, 则系统可以实现一致, 且协议(2)的增益矩阵K2 = K2- 1Q.
定理3采用了引理4的积分不等式的方法消去了式(26)中的积分项, 这种方法相较其他处理孤立时延的方法具有较小的保守性.对于孤立时延群系统, 如果增益矩阵是未知的, 则线性矩阵不等式条件就是非线性的, 针对这种情况通常采用变量代换方法计算增益矩阵的范围.定理3就采用了这种方法计算增益矩阵K2.
一般情况下多智能系统包含很多节点, 如果采用类似文献[20]给出的线性矩阵不等式判据方法, 则需要计算N-1个线性矩阵不等式.随着群系统规模的增大, 这种计算方法的可行性很难检验.因此本章通过引理5使得需要计算的线性矩阵不等式数量与主体数量没有关系, 只需计算4个线性矩阵不等式即可, 保证了系统的可扩充性.
本章假设系统拓扑图是有向的, Laplacian矩阵的特征值包含复数, 因此可以利用线性矩阵不等式的凸性降低运算的复杂度[23-24], 仅通过Laplacian矩阵的最大和最小非零特征值就可以判断系统的一致性.
5 计算机仿真实验假设系统包含9个主体, 每个主体的动态特性相同, 设为
系统作用拓扑及各边的连接权重如图 1所示.
各智能体的初始状态分别为
增益矩阵K1为
PID参数设定为TP = 1.851 6, TI = 0.199 8, TD = 0.025 0.令τ (t) = 0.15 + 0.1 sin t, 由定理3可得
为了验证本文采用的可扩充性方法的优势, 选取不同的个体数量N, 使用LMI工具箱的FEASP求解器, 分别计算出包含
为了直观地显示一致性协议的效果, 选择系统状态偏差的向量范数作为一致性评价指标, 假设ek(t) =
图 2和图 4中的圆圈表示一致性函数.由图 2、图 3可以看出, 系统在协议(2)的作用下虽然状态轨迹是振荡的, 但各状态最终收敛于一致性函数, 协议(2)中的增益矩阵K1用来调节系统的收敛轨迹, K2和PID参数保证系统实现一致. 图 4、图 5表明纯比例控制很难消除智能体之间的状态偏差, 而且会导致振荡更为剧烈.但在PID控制器的作用下, 系统之间的稳态误差最终趋向于零, 而且振荡幅度相对较小.
6 结论本文主要研究了任意阶线性连续时间多智能体系统存在时变时延时的状态一致性, 基于分布式PID控制提出了新的一致性协议.利用状态空间分解法确定了系统的相对运动和绝对运动, 并以此给出了一致函数的显示表达式.通过可扩充性方法使得求解增益矩阵时所需计算的线性矩阵不等式的数量与群系统个体数量无关, 极大提高了计算效率.仿真结果验证了所提出的协议的有效性, 表明了系统的一致性与状态反馈矩阵以及PID参数有关.
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