控制与决策  2019, Vol. 34 Issue (10): 2095-2104  
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廖福成, 吴莹雪. 线性连续时间时滞系统的有限时间有界跟踪控制[J]. 控制与决策, 2019, 34(10): 2095-2104.
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LIAO Fu-cheng, WU Ying-xue. Finite-time bounded tracking control for linear continuous systems with time-delay[J]. Control and Decision, 2019, 34(10): 2095-2104. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.0190.
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基金项目

科技部重点研发计划项目(2017YFF0207400)

作者简介

廖福成(1957-), 男, 教授, 博士生导师, 从事预见控制理论及其应用等研究, E-mail: fcliao@ustb.edu.cn;
吴莹雪(1994-), 女, 硕士生, 从事有限时间有界跟踪问题的研究, E-mail: w_yingxue@126.com

通讯作者

廖福成, E-mail: fcliao@ustb.edu.cn

文章历史

收稿日期:2018-02-09
修回日期:2018-07-26
线性连续时间时滞系统的有限时间有界跟踪控制
廖福成 , 吴莹雪     
北京科技大学 数理学院,北京 100083
摘要:研究一类线性连续时间时滞系统的有限时间有界跟踪控制问题.首先, 采用预见控制理论中求导的方法构造带有时滞的误差系统, 把误差信号的信息包含在误差系统的状态向量中, 再将其作为误差系统的输出向量; 其次, 通过为误差系统设计一个有记忆的状态反馈控制器, 把问题转化为研究带有时滞的误差系统的闭环系统输入-输出有限时间稳定问题; 再次, 借鉴输入-输出有限时间稳定的研究方法和线性矩阵不等式的方法, 通过构造Lyapunov-Krasovskii函数, 给出由一组线性矩阵不等式表征的控制器增益矩阵的设计方法, 由此得到原系统的一个有限时间有界跟踪控制器; 最后, 通过一个数值实例验证所设计的控制器的有效性和优越性.
关键词连续时间时滞系统    误差系统    预见控制    输入-输出有限时间稳定    跟踪控制    线性矩阵不等式    
Finite-time bounded tracking control for linear continuous systems with time-delay
LIAO Fu-cheng , WU Ying-xue     
School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China
Abstract: A finite-time bounded tracking control problem is investigated for a class of linear continuous systems with time-delay. Firstly, by applying a derivation method in the theory of preview control to constructing the error system with time-delay, the error signal is included in the state vector of it and then considered as the output vector. Then, the problem is transformed into an input-output finite-time stability problem of the closed-loop system of the error system, by designing a memory state feedback controller for the error system. Forthermore, based on the research methods of input-output finite-time stability and linear matrix inequation methods, the controller gains formulated in forms of linear matrix inequalities are provided by constructing a Lyapunov-Krasovskii functional. From this, a finite-time bounded tracking controller of the original system is obtained. Finally, a numerical example is given to illustrate the effectiveness and superiority of the proposed controller.
Keywords: continuous systems with time-delay    error system    preview control    input-output finite-time stability    tracking control    linear matrix inequality    
0 引言

1961年, Dorato[1]首次提出了有限时间稳定的概念.随后, Kushner[2]和Weiss等[3-4]许多学者对其进行了深入研究. 2010年, Amato等[5]在前人研究的基础上, 提出了输入-输出有限时间稳定的概念, 其描述的是, 当给定系统的初始条件的界限时, 其输出信号在一段特定时间区间内始终不超过某个设定区域的特性.随后, Amato等[6]将输入-输出有限时间稳定的概念推广至脉冲系统, 给出了保证系统输入-输出有限时间稳定的充分条件, 并给出了静态输出反馈控制器的设计方法.文献[7]和文献[8]分别给出了保证脉冲系统输入-输出有限时间稳定的充分必要条件, 进一步推进了文献[6]的结果. 2014年, Amato等[9]研究了线性时变系统的输入-输出有限时间稳定问题, 并给出了在LL2型输入下的输入-输出有限时间稳定的充分条件和充分必要条件.

自2010年以来, 许多学者在Amato等研究的基础上, 对各类系统的输入-输出有限时间稳定展开了广泛的研究, 并在时滞系统[10-12]、线性系统[13]、模糊随机系统[14]、非线性系统[15]和混杂系统[16-17]等方面取得了一定的成果.例如, 在时滞系统的研究中, 文献[10]通过构造Lyapunov-Krasovskii函数, 给出了线性时滞系统输入-输出有限时间稳定的充分条件, 并将其应用于带有输入时滞的系统的振动主动控制中.文献[11]分析了含有时变时滞的离散时间切换系统的输入-输出有限时间稳定性, 并针对两种不同的输入信号分别给出了系统输入-输出有限时间稳定的充分条件.基于文献[11], 文献[12]考虑了具有时变和分布时滞的切换系统的输入-输出有限时间控制问题, 通过构造多元线性Lyapunov函数并使用平均驻留时间的方法为系统设计了状态反馈控制器.

本文在文献[10]的基础上, 研究受干扰影响的线性连续时间时滞系统在有限时间内的跟踪控制问题.首先, 采用预见控制理论的方法构造误差系统[18-19], 将问题转化为误差系统的输入-输出有限时间稳定问题; 然后, 借鉴时滞系统稳定性[20-21]和线性矩阵不等式(LMI)的有关理论和方法[22], 为误差系统设计有记忆的状态反馈控制器, 从而导出原控制系统的有限时间有界跟踪控制器.

全文沿用如下记号: P>0 (P < 0)表示P为对称正定(负定)矩阵; P≥0 (P≤0)表示P为对称半正定(半负定)矩阵; P>Q (P < Q, PQ, PQ)表示P-Q>0 (P-Q < 0, P-Q≥0, P-Q≤0); λmax(A)(λmin(A))表示对称矩阵A的最大(最小)特征值; diag(·)表示分块对角矩阵.

1 预备知识和基本概念

考虑线性连续时间时滞系统

(1)

其中: x(t)∈Rn为状态向量, w(t)∈Rp为干扰向量, y(t)∈Rq为输出向量, τ为状态时滞, ϕ(t)为状态向量的初始函数, AAdEC为常数矩阵.

输入-输出有限时间稳定性的基本定义为[10]:给定标量c1>0, c2>0, T>0及矩阵Γ>0, 如果在零初始条件(ϕ(t)=0, t∈[-τ, 0])下, 当∫0TwT(tw(t)dtc12时, 对于一切t∈[0, T], 都有yT(t)Γy(t) < c22, 则称系统(1)关于(c1, c2, Γ, T)是输入-输出有限时间稳定的.

本文将推广以上概念, 研究受控系统的有限时间有界跟踪问题.所谓有限时间有界跟踪, 是指系统(1)的输出y(t)在一定条件下始终处于某个目标信号的一个c2邻域内.假设目标信号为r(t)∈Rqr(t)=η(t), t∈[-τ, 0], 其中η (t)是初始函数, 用e(t)表示误差信号, 即

(2)

y(t)向左延拓到时间集[-τ, 0], 仍然使得y(t)=Cx(t), 则e(t)的初始条件为e(t)=Cϕ (t)-η (t), t∈ [-τ, 0].

有限时间有界跟踪的严格定义如下.

定义1  给定标量c1>0, c2>0, T>0及正定矩阵Γ >0, 如果在零初始条件(t∈[-τ, 0], r(t)=η (t)=0, e(t)=Cϕ (t)-η(t)=0)下, 当∫0TwT(t)w(t)dtc12时, 对于一切t∈[0, T], 都有eT(t)Γe(t) < c22, 则称系统(1)关于(c1, c2, Γ, T)对目标信号r(t)实现了有限时间有界跟踪.

本文需要用到下面两个引理.

引理1 (Schur补引理)[22]  矩阵

的充分必要条件是以下条件之一成立:

1) S11 < 0, S22-S12TS11-1S12 < 0;

2) S22 < 0, S11-S12S22-1S12T < 0.

引理2[23]  对于任意正定矩阵MRn× n, 下列不等式成立:

2 问题描述及基本假设

考虑带有干扰的线性连续时间时滞系统

(3)

其中: x(t)∈ Rn为状态向量, u(t)∈Rm为控制输入向量, w(t)∈Rp为干扰向量, y(t)∈Rq为输出向量, τ为状态时滞, ϕ(t)为状态向量的初始函数. ARn× nAdRn× nBRn× mERn× pCRq× n为常数矩阵.

对系统(3)的目标信号和干扰信号作如下假设:

假设1  设目标信号r(t)满足条件

其中c11是一个给定的正数.

假设2  设干扰信号w(t)满足条件

其中c12是一个给定的正数.

本文的目的是针对线性连续时间时滞系统(3)设计一个有记忆的状态反馈控制器, 使得系统(3)的闭环系统的输出y(t)关于(c1, c2, Γ, T)对目标信号r(t)实现有限时间有界跟踪.

首先, 采用预见控制理论中的常用方法构造一个扩大误差系统, 使得误差信号e(t)包含在误差系统的状态向量中; 然后, 针对误差系统的闭环系统构造Lyapunov-Krasovskii函数, 给出其输入-输出有限时间稳定的充分条件, 并由此得到系统(3)的闭环系统的输出对目标信号实现有限时间有界跟踪的充分条件和相应的控制器.

3 扩大误差系统的构造

对式(3)的第1式两边分别求导, 得到

(4)

对式(2)两边求导, 得到

(5)

引入形式状态向量

和矩阵

综合式(4)和(5), 得到

(6)

再引入输出e(t)=C0X0(t), 其中C0=[I   0], 得到误差系统

(7)

这里.这就是所需要的误差系统.因为从系统(3)的输出方程y(t)=Cx(t)得知y(t)是可测量的, 并且目标信号r(t)是已知的, 所以把e(t)作为系统(6)的输出向量是合理的.

显然, 如果系统(7)的闭环系统的输出e(t)是有限时间有界的, 则y(t)对r(t)实现了有限时间有界跟踪.因此, 本文需要对系统(7)设计这样的控制器.

4 控制器的设计

为系统(7)设计如下有记忆的状态反馈控制器:

则系统(7)的闭环系统为

(8)

与系统(1)比较可以发现, 系统(8)中除干扰项外, 还有一项, 因此, 把也作为干扰来处理. 一起, 可以合成一个新的干扰向量

于是, 闭环系统(8)变为

(9)

其中: Φ=Φ+GK1, Gd=Gd+GK2, E=[Gr  Gw].

注意, 系统(9)完全具有系统(1)的形式, 这正是设计控制器所需要的.

下面给出本文的第1个主要定理.

定理1  在假设1和假设2成立的条件下, 如果对于给定的标量γ≥ 0, 存在适当维数的矩阵P>0, Q>0, R>0, S>0, 使得

(10)
(11)
(12)

成立, 则对于一切t∈[0, T], 都有eT(t)Γe(t)≤ c22, 即闭环系统(9)关于(c1, c2, Γ, T)对目标信号可以实现有限时间有界跟踪.其中: c12c112+c122, (t)=K1X0(t)+K2X0(t-τ).

证明  对于系统(9), 利用满足条件的正定矩阵PQR构造正定的Lyapunov-Krasovskii函数

(13)

沿着系统(9)的轨迹对V(t)关于时间t求导, 得

利用系统(9)的状态方程, 继续计算(t), 可得

(14)

, 式(14)的[·]内的部分实际上是ξ(t)的二次型, 于是式(14)可以写为

(15)

此外, 由系统(9)的第1个方程知

因此

(16)

由引理2可得

(17)

将式(16)和(17)代入(15), 可得

(18)

若条件(10)成立, 则由式(18)得到

(19)

式(19)的具体导出过程如下.

由引理1, 不等式(10)成立的充要条件是不等式-τR < 0和

同时成立.因为-τR < 0是自然成立的, 所以式(10)成立的充要条件是Ψ < 0.进一步计算Ψ, 得到

(20)

把式(20)代入Ψ < 0, 并将最后一项移到不等式右边, 得到

将上式左乘ξT(t)、右乘ξ(t)便得到式(19).

把式(19)右边与V(t)作比较可知

上式等价于

(21)

由零初始条件的假设可知

(22)

因此, 对式(21)从0到t积分, 并在不等式两边同乘以eγt, 得到

(23)

再由条件(11)和(23)得知, 当t∈[0, T]时

(24)

因为(t)和(t)分别满足假设1和假设2, 并且c12c112+c122, 所以

由此式和条件(12)继续估计式(24)的上界得知, 当t∈[0, T]时

定理1本身是完备的, 但仔细观察其中的不等式(10), 因为Φ=Φ+GK1, Gd=Gd+GK2, 所以它不是LMI, 因此, 无法利用Matlab的LMI工具箱求解.事实上, 可以将其转化为LMI, 这是本文的第2个主要定理.

定理2  在假设1和假设2成立的条件下, 如果对于给定的标量γ≥0, 存在适当维数的矩阵Z>0, F>0, N>0, S>0, L1, L2使得

(25)
(26)
(27)

成立, 则对一切t∈[0, T], 都有eT(t)Γe(t)≤ c22, 即闭环系统(9)关于(c1, c2, Γ, T)对目标信号可以实现有限时间有界跟踪, 其中控制器为(t)=K1X0(t)+K2X0(t-τ), 这里, K1=L1Z-1, K2=L2Z-1.

证明  只要证明本定理的条件满足时定理1的条件也满足即可.

为把定理1的不等式(10)转化为LMI, 对式(10)左边的矩阵右乘以diag(P-1, P-1, I, R-1)、左乘以它的转置, 由合同变换不改变矩阵正定性得知, 式(10)成立的充要条件为

Φ=Φ+GK1, Gd=Gd+GK2代入上式, 得到

整理得

(28)

Z=P-1, F=ZQZ, N=ZRZ, L1=K1Z, L2=K2Z, 则式(28)可写为

(29)

至此, 把式(10)转化为式(29).因为式(29)中存在着非线性矩阵块-τR-1, 所以仍然不是LMI, 还需要找到一个保证式(29)成立的LMI.由(R-1-Z)TR(R-1-Z)=R-1-2Z+ZRZ=R-1-2Z+N≥0, 可得

(30)

分别记式(25)和(29)左边的矩阵为Ξ1Ξ2, 计算并根据式(30)得到

Ξ2 < Ξ1.因此, 若式(25)成立, 则式(29)成立, 从而式(10)成立.

另外, 对式(11)左右两边分别乘以Z及其转置(即Z自身), 可以得到

上式可以写为

(31)

因为-Γ-1 < 0, 由引理1可以得知式(31)与(26)等价.此外, 定理1中的式(12)不需要任何变化, 它就是式(27).

至此, 可以得到如下定理.

定理3  如果定理2的条件满足, 即假设1和假设2均成立, 且对于给定的标量γ≥0, 存在适当维数的矩阵Z>0, F>0, N>0, S>0, L1, L2, 使得不等式(25) ~ (27)成立, 则系统(3)的控制输入可以取为

(32)

其中: K1=L1Z-1=[K1e  K1x], K2=L2Z-1=[K2e  K2x].在此控制律下, 系统(3)的输出y(t)关于(c1, c2, Γ, T)对目标信号r(t)可以实现有限时间有界跟踪.

证明  当定理2的条件满足时, 由定理2已经求得

因为, 所以

对该式两边从0到t积分, 得到

连同零初始条件的假设, 便可得到式(32).

注意, 在式(32)给出的控制输入中, K1xx(t)是状态反馈; K2xx(t-τ)是状态时滞引起的状态反馈; ∫0tK1ee(s)ds是积分器; ∫0t-τK2ee(s)ds是状态时滞引起的误差积分, 这一项的存在加强了积分器消除静态误差的作用; 而u(0)是控制输入的初始值, 适当选取u(0)的值可以加速输出信号对目标信号的跟踪速度, 但通常可以取u(0)=0.

Ad=0时, 系统(3)是一个无时滞系统, 这时只要在误差系统中取Gd=0, 上面的推导便都成立.由定理2得到的控制器仍然为(t)=K1X0(t)+K2X0(t-τ), 它可以看成是有记忆的控制器, 其中τ不再代表状态时滞, 而是一个可以根据设计需要选择的参数.另外, 还可令LMI(25)中的L2=0, 这时得到K2=0, 于是得到无记忆控制器(t)=K1X0(t).因此, 无时滞系统可以看作是本文中Ad=0时的特例.

5 数值仿真

本节通过一个例题, 分别对两种不同的干扰信号和目标信号进行数值仿真.

例1  考虑线性连续时间时滞系统(3), 其中

初始条件x(t)=ϕ (t)=0, t∈ [-τ, 0].

Γ =I, c1=1, c2=2, T=10, 再取γ=0.2.

注意到控制器的存在条件是时滞依赖的, 对本例利用Matlab中的LMI工具箱求解LMI (25) ~ (27), 发现当时滞τ∈(0, 0.582]时有可行解, 即定理2成立.

具体而言, 令τ=0.5, 得到

然后令u(0)=0, 由式(32)求得

下面分两种干扰信号和目标信号设计控制器并仿真.

1) 干扰信号取为w(t)=0.15sin(2t).经计算得到

目标信号取为

(33)

(这里蕴含η (t)≡ 0), 这时r(t)满足

注意这时

另外, 从x(t)=ϕ (t)=0, r(t)=η (t)=0, t∈ [-τ, 0], 得到

所以, 闭环系统的输出对目标信号(33)的跟踪误差应该满足eT(t)Γe(t)≤ c22 (t∈ [0, T]).图 1是闭环系统的输出响应.

图 1 目标信号为式(33)时闭环系统的输出响应

图 1可以看出, 在所设计的控制器的作用下, 在给定的时间区间[0, T]内, 闭环系统输出信号始终处于目标信号r(t)的c2邻域内, 误差信号也始终处于给定的界限内.也就是说, 本例中系统的闭环系统关于(1, 2, I, 10)对目标信号r(t)实现了有限时间有界跟踪.

注意到, 在定义1的表述中, 只要

且其他条件也满足, 就有

这与x(t)=ϕ(t), r(t)=η(t), t∈[-τ, 0]的取值是有关系的, 即x(t)在[-τ, 0]上的初始函数ϕ(t)只能取为0, r(t)在[-τ, 0]上的初始函数η (t)同样也只能取为0.

2) 干扰信号取为经计算得到

目标信号取为

(34)

(这里蕴含η (t)≡ 0), 这时有

于是c112+c122c12, 定理2的条件全部满足.闭环系统的输出响应见图 2.这时闭环系统关于(1, 2, I, 10)对目标信号r(t)也实现了有限时间有界跟踪.

图 2 目标信号为式(34)时闭环系统的输出响应

此外, 本文还将干扰信号取为w(t)=0.3, w(t)=0.3ln(1+t), w(t)=1- 等类型的函数分别对以上两种目标信号进行仿真.结果表明, 闭环系统的输出关于(1, 2, I, 10)对目标信号r(t)都能实现有限时间有界跟踪, 这表明本文所设计的控制器具有广义性.

注1  文献[12-14]中要求干扰信号应满足∫0TwT(t) w(t)dtc12, 其中c1>0.本文的对应条件是假设2(∫0TT(t)(t)dtc122, 其中c12>0).这两个条件不完全一致.例如, 当w(t)为标量时, 如果w(t)=a(常数但未知), 则无论a为何值假设2都能满足, 但未必满足∫0TwT(t)w(t)dtc12.因此, 这时本文条件扩大了干扰信号允许范围.而当w(t)为周期信号时, 假设2与文献[12-14]的要求基本一致.

注2  本文研究的是时滞系统的有限时间有界跟踪问题, 而之前的文献研究的是输入-输出有限时间稳定性问题.当本文中取目标信号r(t)≡0时, 实际上就是输入-输出有限时间稳定性问题.依然采用例1中的系数矩阵和各个参数, 将干扰信号取为w(t)=0.15sin(2t), 目标信号取为r(t)=0, 将本文结果与文献[10]的结果进行比较.其中, 把目标信号恒为零时本文闭环系统的输出记为y1(t), 文献[10]闭环系统的输出记为y2(t), 图 3给出了二者的比较.可以看出, 本文控制效果优于文献[10]的控制效果.

图 3 本文与文献[10]闭环系统输出的比较

注3  事实上, 定理2对于无时滞系统也是正确的.在这种情况下, 系统(3)中Ad=0, 于是Gd=0, Gd=GK2.这时, LMI(25)中的τ不再代表时滞, 而仅仅是一个参数.在求解LMI(25) ~ (27)时, 把τ取为一个正数, 使得LMI(25) ~ (27)有可行解.这时的控制器(t)=K1X0(t)+K2X0(t-τ)中仍然包括带记忆的状态反馈部分K2X0(t-τ).相应地, 式(32)中也包括与参数τ有关的积分器∫0t-τK2ee(s)ds和状态反馈K2xx(t-τ).对于本例, 考虑Ad=0时的无时滞系统(3), 令参数τ =0.3, 其余系数采用例1中相应的系数矩阵和各个参数, 通过Matlab求解LMI(25) ~ (27), 并在例1的第2种干扰信号和目标信号下进行仿真, 可以得到闭环系统的输出响应, 见图 4.

图 4 Ad=0时无时滞系统(3)的闭环系统输出响应
6 结论

本文研究了线性连续时间时滞系统的有限时间有界跟踪控制问题.借助于预见控制理论中构造误差系统的方法, 该问题可转化为一个误差系统的输入-输出有限时间稳定问题.进一步, 通过构造正定的Lyapunov-Krasovskii函数, 得到了保证误差系统输入-输出有限时间稳定的充分条件, 同时, 基于LMI理论和方法给出了有记忆的状态反馈控制器的设计方法.在此基础上, 推出原系统的控制器, 从而实现了闭环系统的输出对目标信号的有限时间有界跟踪.数值仿真表明了所设计控制器的有效性.

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