2. 南京工程学院 机械工程学院,南京 211167;
3. 河北省重型机械流体动力传输与控制实验室,河北 秦皇岛 066004
2. School of Mechanical Engineering, Nanjing Institute of Technology, Nanjing 211167, China;
3. Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control, Qinhuangdao 066004, China
足式机器人相对于轮式和履带式机器人, 对未知、非结构环境具有很好的适应能力, 能够跨越障碍, 特别适用于野外复杂环境下的探测、运输、救援、军事辅助等任务, 是各国机器人研究人员的研究热点.而液压驱动相对于传统的电机驱动和气压驱动, 具有体积小、输出功率大、响应快、精度高等优势, 可满足高性能足式机器人的控制需求, 因此, 近年来在足式机器人领域中备受重视[1-4].
鉴于液压马达的结构尺寸限制和低速爬行等问题, 液压驱动型的足式机器人通常以阀控液压缸结构作为每个主动运动关节的驱动器, 这种结构称之为液压驱动单元(HDU)[5-6].系统的阻抗控制相关研究在足式机器人控制领域有着较为广泛的应用, 其控制目的是使机器人足端在接触地面等刚度较大的负载时, 可以具备一定的柔顺性, 从而保证机器人整机不受破坏, 并保证机器人的整体运动控制性能.这种阻抗控制方法是将系统等效为具有理想的刚度和阻尼的二阶质量-弹簧-阻尼系统, 该方法已广泛应用于电机驱动的足式机器人领域中, 比如Tekken[7]、Scout[8]、KOLT[9]、MIT cheetah robot[10]、LittleDog[11]等.近年来, 液压驱动的足式机器人, 比如Bigdog[12]、HyQ[13]、Scalf-1[14]、LWR[15]、StarlETH[16]等也广泛使用这种阻抗控制方法, 这其中基于力控制内环的阻抗控制方法最为常用.由于液压系统具有较多的结构参数、工作参数和控制参数, 这些参数当中大部分都会随着工况的不同而发生时变, 再与液压系统的固有非线性、强耦合性结合, 所得控制效果往往不能达到预期.在这种情况下, 需要掌握一些重要控制参数变化对阻抗控制控制性能产生的影响, 针对影响较大的参数重点优化并补偿控制, 针对影响较小的参数在控制中可忽略其时变特性.
灵敏度分析是一种可以分析系统各参数变化对系统特性影响程度大小的有效方法, 特别是对于非线性系统同样适用.灵敏度分析方法很多:从数学计算方法上可分为:轨迹灵敏度法、输出灵敏度法、矩阵灵敏度法、比较灵敏度法和特征根灵敏度法等; 从求解精度上可分为:一阶灵敏度法、二阶灵敏度法等.这些灵敏度计算方法具有不同的数学计算特点, 因此从计算精度、计算方式和计算繁琐程度等方面均不尽相同, 使得上述灵敏度方法各具优势和适用范围.近年来, 诸多学者已在不同领域广泛应用了灵敏度分析法, 而在液压系统的应用中, 灵敏度分析应用相对较少. Vilenus[17]首次将一阶轨迹灵敏度分析应用在液压系统中, 以伐木机械的伺服阀控缸位置控制系统为研究对象, 在单一工况下, 给出了该系统存在的10个主要参数在变化1 %时的灵敏度; Farasat等[18]搭建了伺服阀控缸位置控制系统的四阶线性数学模型, 模型中将伺服阀压力-流量非线性进行了局部线性化, 在文献[17]的10个参数的基础上, 还给出了其他7个参数的一阶轨迹灵敏度分析结果, 并使用4种灵敏度评价方法, 在某单一工况下, 量化各参数在变化1 %时对系统各状态变量的灵敏度; Kong等[19]搭建了四足机器人HDU上五阶线性位置控制模型, 使用一阶轨迹灵敏度研究了其中涉及的14个参数在变化1 %时对系统输出的影响程度, 在文献[17-18]的基础上, 在单一工况下, 研究了PID控制参数对位置控制性能的影响程度; Kong等[19-20]在一阶轨迹灵敏度的基础上, 推导出了二阶轨迹灵敏度分析方法, 并研究了四足机器人HDU位置控制系统上14个参数在变化1 % ~ 20 %时对系统输出的影响程度, 并实验验证了分析结论.
上述研究成果(并不限于文中引用), 使用了一阶或二阶轨迹灵敏度分析, 针对液压阀控缸位置控制系统, 研究了各参数对控制特性的影响程度.但上述文献中都只针对液压阀控缸位置控制系统进行了研究, 并未针对机器人液压单元使用阻抗控制方法进行分析.同时, 所使用的轨迹灵敏度分析方法(尤其是二阶轨迹灵敏度分析方法)的求解过程十分困难且繁琐.针对上述两个问题, 本文首先基于HDU力控系统数学模型, 推导基于力的阻抗控制方法在液压系统中的实现方法, 并实验研究该控制方法的控制性能; 然后, 针对该控制方法中4个主要控制参数进行灵敏度分析, 主要针对轨迹灵敏度分析方法求解困难且繁琐的问题, 推导出求解过程相对简单的矩阵灵敏度分析方法, 作为本文的灵敏度分析方法, 把所得矩阵灵敏度分析结果与轨迹灵敏度分析结果进行对比, 得出最适宜的灵敏度分析方法; 最后, 给出基于力的阻抗控制方法中4个主要控制参数对控制性能的动态灵敏度分析和定量灵敏度分析结果, 并进行实验验证.
1 HDU及其性能测试平台简介HDU是一种高集成性阀控对称缸结构, 是足式机器人腿部关节驱动器. HDU性能测试实验平台实物照片如图 1(a)所示, 该实验平台采用了航空航天、船舶、工程机械等诸多领域广泛应用的电液力模拟器原理, 由两套相同的HDU对顶安装.在进行本文的HDU基于力的阻抗控制实验时, 左侧HDU在力闭环控制基础上加入阻抗控制外环, 称为待测系统; 右侧HDU做位置闭环控制, 用于模拟位置干扰, 称为位置加载系统; 位置加载系统与待测系统之间通过力传感器刚性连接. HDU性能测试实验平台所使用的控制器采用半实物仿真平台dSPACE, 其实物如图 1(b)所示.
阻抗控制实际上是一种主动二阶柔顺控制, 其目的就是使系统具有期望阻抗特性, 而阻抗特性就是想让系统具有期望刚度、期望阻尼以及期望质量.该控制方法传递框图如图 2所示.
HDU力控制内环传递框图具体推导过程与基于力的阻抗控制实现方法见文献[1].在图 2中: Fr为输入力; Fe为阻抗期望力; Kf为力传感器增益; Ur为输入电压; KPID为PID控制器增益, 包含有比例增益KP、积分增益KI和微分增益KD; Ug为控制器输出电压; Kaxv为伺服阀增益; s为拉氏算子; ζ为伺服阀阻尼比; ω为伺服阀固有频率; Xv为伺服阀阀芯位移;
图 2中状态变量为
其中输入量为
干扰输入量为
相应的状态空间表达式为
(1) |
设a1 = ω2 KF Kaxv, 则式(1)中各矩阵可表示为
本文以力正弦响应为输入信号分析HDU基于力的阻抗控制效果以及其主要控制参数的灵敏度.为研究在不同工况下阻抗控制效果以及控制参数的灵敏度变化规律, 本文选定4种工况条件, 如表 1所示.
本文设定某一机器人腿部关节期望刚度ED = 1 × 106, CD =5 000, MD = 0.由于基于力的阻抗控制的外干扰是负载位置, 本文在做仿真研究和实验测试时, 由位置控制系统模拟待测系统所受负载位置.仿真和实验中期望位置为待测系统实际所受负载位置(即位置控制系统输出位置, 实验时为位移传感器实测数值), 而实际位置为待测系统输出力与期望阻抗特性ZD的比值(实验时为力传感器实测数值/ZD), 实验中采用的阻抗控制方法为作者前期研究成果[1].所研究工况阻抗控制正弦响应实验与仿真对比曲线如图 3 ~图 6所示, 其中虚线为实际位置, 实线为期望位置.
幅值衰减和相角滞后是评价正弦响应的两项重要性能指标, 各工况下幅值衰减最大值与相角滞后平均值如表 2所示, 其中幅值衰减精确到10 μm, 相角滞后精确到0.1°.
由表 2可以看出, 正弦响应两项性能指标在实验和仿真中相差不大, 说明仿真与实验曲线拟合度较好.可以看出, 阻抗控制实际位移值小于期望位移值, 故幅值衰减均为正值, 其中幅值衰减量随着干扰力幅值的增加而增加, 与干扰力频率关系不大, 相角滞后量随着干扰力频率的增加而增加, 与干扰力幅值关系不大.
3 灵敏度分析方法选取 3.1 一、二阶灵敏度分析结果对比期望刚度ED和期望阻尼CD作为阻抗控制外环控制参数, 比例增益KP和积分增益KI作为力控制系统内环控制参数, 它们都会对阻抗控制效果产生不同影响, 故本文重点研究这4个控制参数在发生变化时对阻抗控制实际位置产生的影响.由于篇幅所限, 选取其中一种工况(频率2 Hz, 偏移量1.5 mm, 幅值1 mm)为研究对象, 采用作者前期研究的一阶、二阶轨迹灵敏度分析法[16], 分析这4个参数增加10 %时所引起的位移变化, 其对比曲线如图 7所示, 其中虚线为二阶变化, 实线为一阶变化.
由上述4组曲线可以看出, 4个控制参数在增加10 %时, 其对位移产生的一阶变化与二阶变化相差很小, 其中期望阻尼CD和比例增益KP的一、二阶对比曲线几乎重合, 其余两个控制参数偏差最大值也不超过总振幅的10 %.
二阶轨迹灵敏度分析虽具有极高的精度, 但其求解过程十分繁琐, 计算工作量非常大, 尤其本文研究的4个控制参数在增加10 %之内一、二阶灵敏度分析结果差距较小, 为保证计算简便性和实际应用性, 本文应用一阶灵敏度分析4个控制参数在各工况下的灵敏度结果.
3.2 一阶矩阵灵敏度理论推导HDU基于力的阻抗控制系统方程可表示为
(2) |
其中: x为m维状态变量, u为与α无关的r维输入矢量, α为p维参数矢量, t为时间.
在参数矢量初值α0一定的情况下, 给定输入信号初值u0, 可以得到状态变量的初值x0, 则方程组(2)的初始值为
(3) |
参数矢量α的变化Δα和输入矢量u的变化Δu会引起状态变量x的变化Δx, 即
(4) |
上式进行一阶泰勒展开, 可化为
(5) |
将式(3)代入(5), 忽略高阶项, 可得
(6) |
上式可化为
(7) |
在式(7)中, 设
(8) |
其中: Su为m×r阶矩阵, 其第n行表示第n个状态变量xn对r个输入矢量u的关系.
在式(7)中, 设
(9) |
其中: Sα为n×p阶矩阵, 其第n行表示第n个状态变量xn对p个参数矢量u的关系.将式(8)和(9)代入(7), 可得
(10) |
式(10)为参数矢量变化Δα和输入矢量变化Δu引起状态变量变化Δx的近似表达, Sα表示参数矢量α的含有时变元素的m×p阶参数灵敏度矩阵, Su表示输入矢量u的含有时变元素的m×r阶输入灵敏度矩阵.
当只研究参数矢量α的变化Δα引起各状态变量xn的变化Δxn的总和, 而不考虑输入矢量的变化时, 式(10)可简化为
(11) |
系统的输出方程可以表示为
(12) |
其中: C和D为输出方程系数矩阵, 当计算出参数灵敏度矩阵Sα时, 即可计算出各参数变化引起的输出变量变化ΔY.
4 动态灵敏度分析 4.1 两种一阶灵敏度分析方法结果对比由于伺服缸活塞杆位移、速度, 伺服阀阀芯位移、速度、加速度以及伺服缸两腔压力等状态向量初值都为0, 也就是x0 = 0, 参数灵敏度矩阵Sα的初值可表示为
(13) |
在Matlab中对各参数灵敏度矩阵进行求解, 将所求得的各控制参数相对于系统输出位移的灵敏度矩阵相反数与3.1节中一阶轨迹灵敏度分析所求得的结果进行对比, 由于篇幅所限, 只列出第2种工况(2 Hz频率, 1.5 mm偏移量, 1 mm幅值)下各参数动态灵敏度对比曲线, 如图 8所示, 其中虚线为二阶轨迹, 实线为一阶矩阵.
由图 8中可以看出:一阶矩阵灵敏度与一阶轨迹灵敏度所计算出的4个控制参数的动态灵敏度曲线偏差较小, 特别地, 对比3.1节中结果可以发现, 一阶矩阵灵敏度所计算出的值在一定程度上更加接近二阶轨迹灵敏度的计算结果, 其计算精度优于一阶轨迹灵敏度, 同时在求解过程中只需进行简单的二维矩阵运算, 避免了求解复杂的时变系数微分方程, 所以一阶矩阵灵敏度分析方法在本文研究范围内优于一阶轨迹灵敏度分析方法.但由于高阶多维数的矩阵运算繁琐程度不一定相比于求解时变系数微分方程计算量小, 所以高阶矩阵灵敏度分析法是否优于高阶轨迹灵敏度分析法尚无法确定, 还需再做深入研究, 本文不予讨论.
4.2 各工况下灵敏度结果对比为便于对比各工况下各参数动态灵敏度差异, 根据式(12)计算得出各参数增加10 %时对系统位移响应产生的变化过程对比曲线, 如图 9所示, 其中实线为期望刚度, 虚线为比例增益, 点线为期望阻尼, 点划线为积分增益.
由图 9可以看出: 1)各参数的变化对阻抗控制位移输出的影响随正弦干扰位置呈现周期变化, 其中期望刚度ED的变化对输出位移影响远远大于其他3个控制参数且随正弦干扰力呈负正弦变化.期望阻尼CD的变化对输出位移影响介于ED与两内环控制参数KP和KI之间, 随正弦干扰力呈负余弦变化. KP和KI的变化对输出位移影响小于其他两参数对输出位移影响的数量级.可以看出, 外环控制参数的变化相对于内环控制参数的变化对位移输出的影响较为敏感. 2)各参数的变化对阻抗控制位移输出的影响的数量级随正弦干扰位置幅值增加而增加, 而与正弦干扰位置频率关系不大.
5 灵敏度定量分析 5.1 灵敏度指标本节引入两个参数灵敏度衡量指标来定量分析各工况下各参数变化对阻抗控制位移输出主要性能指标的影响程度.针对正弦响应重要性能指标幅值衰减, 定义在一个稳定正弦周期内参数变化引起输出位移幅值衰减变化量的平均值为第一项参数灵敏度衡量指标S1, 其具体形式表示如下:
(14) |
其中
(15) |
(16) |
同样地, 针对正弦响应另一项重要的性能指标相角滞后, 定义在一个稳定正弦周期内参数变化引起相角滞后变化量的平均值为第二项参数灵敏度衡量指标S2, 其具体表达形式如下:
(17) |
其中
(18) |
结合上述两项灵敏度指标S1和S2, 可以定量分析各参数变化对阻抗控制位移输出的影响程度.
5.2 各工况下灵敏度柱形图对比由式(14) ~ (18)可得, 在本文研究的4种工况下, HDU基于力的阻抗控制4个主要控制参数增加10 %时的两项灵敏度指标柱形图如图 10 ~图 13所示.
由图 10 ~图 13可以看出: 1) 4个控制参数的S1值在各工况下均为正值, 说明4个参数的增大都会造成输出位移幅值衰减减少.其中:期望刚度ED的S1值在数量级上远大于其他3个控制参数, 且其值与干扰位置幅值相关, 与干扰位置频率关系不大, 在第1种工况下其增大10 %时会减少大约0.2 mm的幅值衰减, 说明其变化会显著影响位移输出的幅值衰减; 比例增益KP的值相对于期望阻尼CD和积分增益KI的S1值较大, 且这3个参数的S1值既与干扰位置幅值相关也与干扰位置频率相关, 这3个参数增加10 %时对输出位移幅值衰减的影响数量级在0.1 μm. 2) 4个控制参数的S2值在各工况下正负号不同, 说明4个参数的增大会对输出位移相角滞后产生不同影响.其中: ED与CD的S2值大小近似相等但符号相反, 且与干扰力的频率相关, 而与干扰力的幅值关系不大, 它们的增大对输出位移相角滞后产生截然不同的影响, 在第1种工况下它们增大10 %时会对相角滞后产生大约0.15°偏移; 两个内环控制参数KP和KI的S2值在数量级上远小于相对于阻抗控制外环两个控制参数, 且干扰力幅值与频率都相关, 他们增大10 %时对相角滞后产生角度偏移量数量级在0.001°.
6 实验分析控制参数相比于结构参数和部分工作参数而言, 可以进行实时改变和在线检测, 针对定量灵敏度分析主要对5.2节中研究的4种工况下各参数的两项灵敏度指标进行实验研究, 为保证实验结果的准确性, 采用多样本求均值的方法进行实验测试.将实测数据与一阶矩阵灵敏度所得的仿真结果进行对比, 整理得出在4种工况下, 上述4个参数增加10 %时两项灵敏度指标实验值与仿真值对比如图 14 ~图 17所示, 其中黑色柱形为真值, 白色柱形为实验值.
在图 14 ~图 17中, 各参数两项灵敏度指标实验与仿真最大偏差和平均偏差值如表 3所示.
结合图 14 ~图 17和表 3可以看出, 在各工况下各参数两项灵敏度指标实验与仿真值在数量级上一致且变化规律相似.其中:除了KP的S1最大偏差为27 %, 其余3个参数的S1最大偏差均小于20 %, 并且该4个参数的S1平均偏差均在17 %以内; 除了ED的S2最大偏差最小且为12 %, 其余3个参数的S2最大偏差均在20 %左右, 该4个参数的S2平均偏差均在10 %左右.
7 结论本文在足式机器人HDU基于力的阻抗控制系统非线性数学模型的基础上, 使用一阶矩阵灵敏度分析研究了基于力的阻抗控制中4个主要控制参数变化对控制性能的影响程度, 使用两项灵敏度衡量指标进行了灵敏度定量分析, 并进行了实验测试, 得到如下结论: 1)基于力的阻抗控制实际位移值小于期望位移值, 幅值衰减量均为正值, 其中幅值衰减量随着干扰力幅值的增加而增加, 与干扰力频率关系不大; 相角滞后量随着干扰力频率的增加而增加, 而与干扰力幅值关系不大. 2)各控制参数的变化对阻抗控制实际位置的影响随正弦干扰位置呈现周期变化, 并且各控制参数的变化对阻抗控制实际位置的影响的数量级随正弦干扰位置幅值增加而增加, 而与正弦干扰位置频率关系不大. 3) 4个控制参数的第1项灵敏度指标值在各工况下均为正值, 说明4个参数的增大都会造成阻抗控制实际位置幅值衰减减少. 4个控制参数的第2项灵敏度指标值在各工况下正负号不同, 说明4个参数的增大会对阻抗控制实际位置相角滞后产生不同影响.
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