0 引言

近30年来, 非完整移动机器人(WMR)引起越来越广泛的关注.在WMR的实际应用中, 其运动状态可以通过马达的编译器、超声、红外等传感器测量获得.但是, 由于模型的不确定性、机械方面的限制以及噪声等影响, 其状态的精确度受到干扰.而视觉伺服可以在环境不确定的情形下模拟人类的视觉感官, 成为克服状态测量问题的一个有效途径.近年来, 视觉反馈已被广泛应用于机器人控制方面^[1-3]. 2006年, Liu等^[2-3]设计了基于图像的动态视觉伺服策略, 通过自适应算法在线估计未知摄像机内外参数, 提出了深度独立图像交互矩阵和机械手自适应视觉反馈控制方法. 2014年, Mackunis等^[4]利用投影几何关系, 建立了易于控制的WMR运动学模型, 研究了基于视觉伺服一致跟踪和调节问题.

基于视觉伺服研究机器人轨迹跟踪是重要控制问题.根据研究系统的不同, 跟踪问题被分为运动学系统和动力学系统的轨迹跟踪问题.文献[5-6]的研究基于运动学的模型, 忽略了机器人动力学中的非线性力.考虑到非完整动力学系统研究具有较强的应用背景, 基于动力学系统的控制问题已得到广泛关注^[7-8]. Dixon等^[9]对固定在天花板的非标定的摄像机视觉反馈系统, 设计了一个自适应跟踪控制器, 补偿摄像机和机器人动力学的不确定参数, 并用Lyapunov技术来补偿深度信息.吴玉香等^[7]针对一类带有未知惯性参数、未建模动态及外界干扰的非完整动力学系统的鲁棒镇定问题, 利用滑模控制及非完整运动学系统的镇定控制策略, 给出了基于力矩的鲁棒镇定控制器设计方法.

本文针对一类基于视觉伺服具有未标定摄像机参数的不确定非完整移动机器人的轨迹跟踪问题, 将动态反馈、Backstepping技巧与自适应控制相结合, 设计一个自适应动力学跟踪控制器.该控制器含有两个动态反馈, 其设计区别于以往处理方法, 且控制输入可以确保系统误差渐近收敛到零.

1 问题陈述

本节提出基于视觉伺服的运动学跟踪误差模型.如图 1所示, 假设一个针孔摄像机固定在天花板上, 在摄像机下有一个(2, 1)型移动机器人^[10], 该机器人由一个中心轮和两个离心轮构成.

1.1 系统配置

图 1所示为摄像机-机器人控制系统.假设摄像机平面与图像坐标系平面以及机器人平面分别平行.建立3个坐标系, 分别为惯性坐标系X - Y - Z、摄像机坐标系i - j - k和图像坐标系i₁ - o₁ - j₁. c是摄像机光轴与X - Y平面的交点, 其坐标为(c_x, c_y).摄像机光轴与图像坐标平面的交点坐标为(O_c1, O_c2).机器人质心P在X - Y平面上的坐标为(x, y).设中心驱动轮的轮平面与i₂轴的夹角为β(t), i₂轴与X轴逆时针方向夹角为θ.

设机器人质心P(x, y)相对于图像坐标系坐标为(x_m, y_m), 其在摄像机下的模型^[11]为

(1)

其中: α₁和α₂为摄像机内部参数; (c_x, c_y)由摄像机相对于世界坐标系的方位决定, 称为摄像机外部参数.在式(1)中

1.2 运动学和动力学模型

假设机器人质心与几何中心重合, 机器人在运动过程中满足无侧滑非完整约束^[10], 即

(2)

则非完整移动机器人的运动学模型为

(3)

其中: v₁为机器人的移动方向, v₀、v₂分别代表机器人与中心轮的旋转角速度.

系统(3)可以写成如下矩阵形式:

(4)

其中: v(t) = [v₀, v₁, v₂]^T, q = (x, y, θ, β)^T, 且

(5)

根据Euler-Lagrange公式, 非完整移动机器人的不确定动力学模型为

(6)

其中: M(q)∈ R^3×3为正定对称惯性矩阵, λ为约束力的Lagrange乘子, 为中心力和哥氏力矩阵, B(q)∈ R^3×3为列满秩输入变换矩阵, τ_d∈ R³表示有界的未知扰动和未建模动态, τ∈ R³表示应用在中心方向轮和离心方向轮的力矩.

对式(4)两边同时微分并代入式(6), 同时左乘S^T(q), 得

(7)

在动力学系统(7)中, λ可以被估测, 且

假设1   ||·||为欧几里德范数, ||τ_d||为有界标量, 存在已知常数d_B, 使得||τ_d||≤ d_B.

2 基于视觉伺服的不确定跟踪误差模型

通常, (x, y)可以通过仪器(超声波传感器、红外传感器等)测量获得.但是, 对于复杂的环境, 其状态的精确测量很难实现.因此, 本文将利用视觉伺服来解决这一问题.

图 1中的摄像机用来测量机器人质心P在X - Y平面上的坐标(x, y), 其像(x_m, y_m)可以通过式(1)获得.通过式(1)和(3)得到基于视觉伺服的移动机器人的运动学模型

(8)

根据式(1), 惯性坐标系到图像坐标系的状态变换为

(9)

其中: q_m = (x_m, y_m, θ, β)^T; F和H是常数矩阵, 且

由变换(9), 动力学模型(7)可转化为

(10)

其中

对式(8)进行如下状态和输入变换:

(11)

(12)

可得到不确定链式系统

(13)

其中: x₀、x₁、x₂、x₃为新的状态变量; u₀、u₁、u₂为新的控制输入; 且

在系统(13)中, 因摄像机的参数未校准, 故有未知参数θ₀、α₁和α₂存在.

根据状态和输入变换(11)和(12), 动力学模型(10)相应地变为

(14)

其中

为了方便控制器设计, 系统(14)有以下几个重要的性质:

性质1^[10]    M₃(h)为正定对称矩阵;

性质2^[10]   为反对称矩阵;

性质3^[10]  对于任意可微向量ξ, 存在未知的惯性参数向量ϕ和已知的 使得

(15)

3 自适应控制器设计

本节采用动态反馈、Backstepping技巧与自适应控制相结合, 设计一个动态反馈自适应跟踪控制器来证明闭环误差系统的稳定性.

如果θ₀≠0, α₁、α₂未知, 则可通过以下输入变换为θ₀ = 0 :

(16)

(17)

可以得到不确定链式系统

(18)

其中: x₀、x₁、x₂、x₃为新的状态变量; u₀、u₁、u₂为新的控制输入; 且

因此, 只需要对系统(18)进行讨论.

假设2  θ₀ = 0, α₁ = α₂ = α未知, 存在正常数α和α使得α≤α≤α.

注1  θ₀ = 0意味着j轴与X轴一致. α₁ = α₂ = α意味着i₁轴与j₁轴伸缩比一致, 且以上假设可以实现.一般地, 摄像机焦距、伸缩因子等标量因素的上下界是可以预先估计的.

根据假设(2), 系统(16)可以写成

(19)

设期望轨迹q_d(t) = (x_0d(t), x_1d(t), x_2d(t), x_3d(t)), 则有

(20)

假设3   u_0d、u_1d、u_2d以及它们的导数都是有界的.

假设4   x_1d、x_2d、x_3d有界.

由式(19)和(20), 得到如下运动学跟踪误差系统:

(21)

其中: e_i = x_i-x_id; i = 0, 1, 2, 3.

考虑以下子系统:

(22)

选择侯选的Lyapunov函数

(23)

两边微分并定义新的变量p₀ = u₀-u_0d, p₁ = u₁-u_1d, 得

(24)

定义新的变量e_3d和ξ₃分别为

(25)

(26)

其中k₂是正增益.则式(24)变为

(27)

对系统(21), 选择以下侯选的Lyapunov函数:

(28)

根据式(24), 对V₂求导, 得

(29)

选择如下动态反馈控制律:

(30)

其中: 为α的估计, , k₃、k₄表示正增益.现定义

(31)

其中u = (u₀, u₁, u₂)^T.将式(30)、(31)代入(21), 得到关于e(t)的闭环误差系统

(32)

把式(32)代入(29)，得

(33)

对式(31)两边同时微分并左乘M₃, 得

(34)

其中Y_cϕ定义如下:

(35)

这里Y_cϕ∈ R³为已知的期望回归矩阵, ϕ的定义见式(15).

设计力矩控制输入τ, 取候选的Lyapunov函数

(36)

其中: Γ₁、Γ₂为正定增益矩阵, 为ϕ的估计值.

V的导数满足

(37)

设计力矩输入τ如下:

(38)

其中τ∈ R³为辅助控制信号, 定义为

(39)

这里K_d为正定增益矩阵.参数估计值的自适应更新律为

(40)

(41)

将式(38)~(41)代入(37), 得

(42)

下面利用引理1来证明本文的主要定理.

引理1  如果连续函数f(t)和g(t)有界, ε为比较小的常数, 有

(43)

且

定理1  基于假设1 ~假设4, 如果

则动态反馈控制率(30)和力矩控制输入(38) ~ (41)可以使p₀、p₁、η₀、η₁、η₂、ξ₃以及系统(21)中的误差信号e₀、e₁、e₂、e₃收敛到零.

证明  只需要证明当t趋于无穷时, e₀以及e₁、e₂、e₃、ξ₃、p₀、p₁、η₀、η₁、η₂渐近收敛到零.根据式(36)和(42), 函数V(t)非增且有非负极限V_lim≥0, 因此, e₀、e₁、e₂、ξ₃、p₀、p₁、η₀、η₁、η₂均有界, 从而e₃有界.在假设4下, x₁、x₂、x₃均有界.根据式(21)、(30)、(41)以及假设3, 有 均有界, 因此有界, 一致连续.由Barbalat引理知, 收敛到零, 因此可得

(44)

根据u_1d的假设和引理1, 得

(45)

由式(25)、(26)、(45)知e₃收敛到零.根据e₁、e₂以及e₃、x₁、x₂、x₃、u_0d、u_1d、p₀、p₁有界性, 可以证明有界, 从而一致连续.根据Barbalat引理, 得

根据式(32)的第2个式子, 得

根据u_0d的假设和引理1, 得

对式(32)的第1个式子运用Barbalat引理, 有

综上所述, 证得e₀、e₁、e₂、e₃、ξ₃、p₀、p₁、η₀、η₁、η₂收敛到零.

4 仿真实例

对于(2, 1)型非完整移动机器人系统, 式(7)中的动力学参数如下:

其中: d为机器人的宽度, r为轮子半径, m为机器人的质量, I_φ为离心轮转动的惯性力矩, I_c为中心轮转动的惯性力矩.

经变换可得

其中

机器人回归矩阵Y_c和惯性参数向量ϕ 选择如下:

其中

对式(38) ~ (41)定义的控制器及相应的闭环系统进行仿真.选择α = 1, α = 3, α = 2. I_φ = 1 kg· m², I_c = 1 kg· m², L = 1 m.令期望速度u_0d = 1 m/s, u_1d = 0.1 rad/s, u_2d = 0 rad/s.期望轨迹为[-0.3, 0.2, -0.8, -0.1].控制器参数取为k₂ = 5, k₃ = 10, k₄ = 100, k₅ = 2 000, K_d = diag(10, 10).控制增益Γ₁ = diag(1, 1), Γ₂ = 5.仿真结果如图 2 ~ 图 5所示.从图 2和图 3可以看出, 跟踪误差e₀、e₁、e₂、e₃和速度误差η₀、η₁、η₂渐近收敛到零.从图 4和图 5可以看出估计参数的有界性.仿真结果表明了控制器的有效性.

5 结论

针对具有未标定摄像机参数的(2, 1)型不确定非完整移动机器人的轨迹跟踪问题, 在质心与几何中心重合的情况下, 利用针孔摄像机模型, 本文提出了一种基于视觉伺服的运动学跟踪误差模型.基于该模型, 将动态反馈、Back-stepping技巧与自适应控制相结合, 设计了一个区别于文献[11]含有两个动态反馈的自适应跟踪控制器.控制输入可以确保系统误差渐近收敛到零, 实现了动力学系统的全局渐近轨迹跟踪, 并通过李亚普诺夫方法严格证明了闭环系统的稳定性和估计参数的有界性.最后, 利用Matlab仿真验证了控制器的有效性.本文讨论了α₁ = α₂ = α未知、θ₀已知情形下的轨迹跟踪问题, 对于θ₀、α₁≠α₂均未知的动力学跟踪控制问题, 将在后续工作中进行研究.