面对高速高机动目标的拦截问题, 比例导引律往往难以达到令人满意的拦截效果[1].增广比例导引律[1]虽然在理论上能够有效提高拦截机动目标的制导精度, 但由于目标机动信息通常难以准确获得, 不易于工程应用.自20世纪90年代以来, 在目标机动信息未知的前提下, 基于先进控制理论的制导律研究成果十分丰富, 包括H∞制导律[2]、L2增益制导律[3]、基于Lyapunov方法的非线性制导律[4]、微分几何制导律[5]和滑模变结构制导律[6]等.然而在以上制导律设计过程中, 导弹自动驾驶仪动态特性均被视为理想环节.
在实际制导过程中, 导弹自动驾驶仪动态特性一般会对制导精度造成不利影响, 因此, 有必要在制导律设计过程中将自动驾驶仪动态特性考虑在内.事实上, 导弹自动驾驶仪为一高阶动态环节, 为方便制导律设计, 该环节通常得以简化.其中最方便的是将其简化为一阶动态环节, 基于该简化, 文献[7]和文献[8]分别设计了最优制导律和有限时间制导律.然而, 用欠阻尼二阶环节表征导弹自动驾驶仪动态特性更符合实际, 基于该简化, 文献[9]设计了一种非线性自适应滑模制导律, 文献[10]设计了一种带攻击角度约束的动态面制导律.
另外, 制导指令的饱和约束问题也是制导律设计过程中需要考虑的要点, 因此, 有必要研究在欠阻尼二阶环节表征自动驾驶仪动态特性的条件下, 满足指令饱和约束的制导律设计问题.该问题使得制导系统阶数变高.近年来, 反演控制方法为该问题的研究提供了良好思路.针对三阶系统的制导律设计问题, 文献[11]提出了一种基于命令滤波器的三维约束反演制导律, 该方法不仅解决了传统反演控制方法中的“微分爆炸”问题, 而且有效地将制导指令幅值限制在要求范围内.文献[12]在反演制导律设计的最后一步首次引入一种时变滤波器, 用于补偿由于指令饱和约束引起的系统不确定性.文献[13]基于预设性能控制和动态面控制方法设计制导律, 使得弹目视线角速率能够在制导终端时刻收敛到零的小邻域内.此外, 如果在用欠阻尼二阶环节表征自动驾驶仪动态特性的条件下额外考虑导弹命中点的攻击角度约束问题, 则制导系统的阶数将变为4阶.文献[14-15]针对该问题, 采用微分观测器和自适应控制方法设计了新的反演制导律.
在文献[11-15]的反演制导律设计过程中, n阶制导系统的设计问题总是需要n步完成.而本文提出一种新的三维双环制导律设计方案, 该方案能够简化制导律设计步骤.将制导系统解耦为外环系统和内环系统.其中:外环控制器产生虚拟制导指令, 以零化球坐标系下的弹目法向相对速率; 内环控制器产生真实制导指令, 以实现导弹自动驾驶仪对外环虚拟指令的快速跟踪.因外环命令滤波器同时计算出虚拟制导指令的一阶导数和二阶导数, 故内环二阶系统的状态变量可被整合到一个滑模面上进行一次性设计, 于是三阶系统的制导律设计问题仅用两步即可完成.由于反演设计过程中的第n (n≥2)步总是需要抵消上一步设计中产生的交叉项, 采用反演方法无法实现本文的简化思想.另外, 本文基于输入-状态稳定理论证明闭环制导系统的稳定性.仿真结果表明, 本文所设计的双环制导律能够有效补偿自动驾驶仪动态特性的影响, 制导精度优良.
1 拦截问题数学模型建立三维情况下弹目相对运动模型如图 1所示.其中:导弹M和目标T均视为质点, 坐标系MXYZ为原点与导弹质心M重合的惯性坐标系, r为导弹与目标之间的距离, θ和ϕ为弹目视线角. (r, θ, ϕ)为目标质心T在以导弹质心M为原点的球坐标系下的坐标.沿球坐标系坐标轴方向的单位矢量为(er, eθ, eϕ).这里: er与视线方向重合, 由导弹指向目标为正; eϕ位于包含er的纵向平面内, 指向上方为正; eθ方向按右手定则确定.根据运动学相关知识, 建立描述弹目相对运动的非线性微分方程组[12]为
(1) |
(2) |
(3) |
其中
令
为方便制导律设计, 将式(2)和(3)重写为
(4) |
(5) |
事实上, 制导计算机生成的制导指令是由导弹自动驾驶仪实现的, 根据工程经验, 导弹的实际加速度总是滞后于其制导指令.为补偿这一滞后作用, 考虑将自动驾驶仪动态环节用如下含未知项的欠阻尼二阶系统[11-15]表征为:
(6) |
其中: ξa和ωa分别为该动态环节的阻尼比和自然频率, 其值通常由工程经验确定; ui为真实制导指令; wi为包括未建模动态和其他未知干扰的不确定项.
在实际制导过程中, 真实制导指令ui需满足饱和约束ui∈[-uM, uM], i = θ, ϕ, uM为制导指令幅值上限.
令
(7) |
(8) |
(9) |
其中
(10) |
为后文研究方便,在此给出如下两个引理.
引理1[16] 考虑如下命令滤波器:
(11) |
(12) |
其中:滤波器输入信号α满足
引理2[17] 假设函数f(t, x, u)对于(x, u)是连续可微的, 且是全局Lipschitz的, 对t一致.如果无激励系统f(t, x, 0)在原点x = 0处有全局指数稳定的平衡点, 则系统
另外, 不失一般性, 可作出如下合理假设:
假设1 制导系统(7)~(9)的状态变量均可测;
假设2 制导系统(7)~(9)的干扰w1、w2及其各阶导数有界, 即存在未知常数δ1, δ2 > 0, 使得
考虑导弹自动驾驶仪动态特性的双环制导系统结构如图 2所示.其中制导系统被分成外环系统和内环系统.首先设计外环控制器产生的虚拟制导指令, 以零化球坐标系下的弹目法向相对速率; 然后设计内环控制器产生的真实制导指令, 以实现导弹自动驾驶仪对外环虚拟指令的快速跟踪.
将外环系统和内环系统的跟踪误差分别定义为
(13) |
(14) |
其中:
根据引理1, 考虑在外环系统中引入如下二阶命令滤波器:
(15) |
其中: ξ和ωn分别为命令滤波器的阻尼比和自然频率, x2c0为待设计的名义虚拟制导指令.注意到命令滤波器(15)可计算出虚拟制导指令x2c的一阶导数和二阶导数, 该计算结果将在内环控制器设计中使用到.
为补偿命令滤波器的作用效果, 定义如下一阶补偿滤波器:
(16) |
其中c1 > 0为待设计的常数.
为便于外环系统稳定性分析, 将外环系统的修正跟踪误差定义为
(17) |
将z对时间求导, 并将式(13)、(14)和(16)代入, 得
(18) |
设计名义虚拟制导指令
(19) |
其中
考虑如下非线性干扰观测器:
(20) |
其中: p1为观测器辅助项, l1 > 0为待设计的常数.
定义干扰观测器(20)的观测误差为
(21) |
将V1对时间求导, 并将式(17) ~ (20)代入, 得
(22) |
注1 在文献[11]的反演制导律设计中, 类似地, 式(22)结果中的-zTe2项将在下一步设计中被抵消掉.但在本文的双环制导律设计中, 因外环系统和内环系统的Lyapunov函数相互独立, 故- zTe2项无法以构建闭环制导系统Lyapunov函数的方式在内环控制器设计中被抵消掉.
考虑不等式
(23) |
(24) |
以及假设2, 式(22)可重写为
(25) |
其中: α1 = min(2c1-1, 2l1-1), β1 = δ12/2, 可通过选取c1 > 1/2和l1 > 1/2来保证α1 > 0.
2.2 内环系统控制器设计将式(9)中满足饱和约束的真实制导指令重写为
(26) |
其中: v为待设计制导指令; 且
(27) |
为用来描述制导指令饱和约束的光滑连续函数, tanh(·)为双曲正切函数.
本文考虑真实制导指令u与待设计制导指令v之差Δ u未知, 由指令饱和引起的系统不确定性可视为系统干扰, 可采用干扰观测器对其进行观测并将结果进行前馈补偿.将式(26)代入, 式(9)可重写为
(28) |
其中:
假设 3 系统(28)的综合干扰d的一阶导数有界, 即存在未知常数δ3 > 0, 使得
构造关于内环系统跟踪误差e2的滑模面
(29) |
其中k>0为常数.可知如果滑模面s能够收敛到零, 则内环系统跟踪误差e2将全局一致渐近收敛到零.
将s对时间求导, 并将式(8)、(14)和(28)代入, 得
(30) |
将待设计制导指令选取为
(31) |
其中: c2 > 0为常数,
考虑如下非线性干扰观测器:
(32) |
其中: p2为观测器辅助项, l2 > 0为待设计的常数.
定义干扰观测器(32)的观测误差为
(33) |
将V2对时间求导, 并将式(30) ~ (32)代入, 得
(34) |
考虑如下不等式:
(35) |
以及假设3, 式(34)可重写为
(36) |
其中: α2 = min(2c2, 2l2-1), β2 = δ32/2, 可通过选取l2 > 1/2来保证α2 > 0.
2.3 闭环系统稳定性分析下面证明在本文所设计的双环制导律作用下的闭环制导系统(7) ~ (9)的稳定性.将式(36)两边同乘eα2t并对t积分, 整理可得
(37) |
考虑V2为正定函数, 将式(33)代入(37)并计算, 得
(38) |
故滑模面s的数值有界.
将式(29)重写为
(39) |
由引理2可知, 系统(39)是输入-状态稳定的, 故内环系统跟踪误差e2有界.
设||e||2≤δ4恒成立, 其中δ4 > 0为未知常数.于是式(25)可重写为
(40) |
其中β3 = β1+δ42/2.将式(40)两边同乘eα1 t并对t积分, 整理可得
(41) |
将式(21)代入(41)并计算, 得
(42) |
故外环系统的修正跟踪误差z有界.
由引理1可知, 补偿滤波器(16)的输入信号(x2c0 -x2c)有界.由引理2可知, 系统(16)是输入-状态稳定的.再由式(17)可知, 外环系统跟踪误差e1有界.综上所述, 闭环制导系统稳定性得以保证.
3 仿真与分析本节将高超声速高机动再入弹道武器作为待拦截目标进行数字仿真, 以验证所设计的双环制导律(DLGL)的有效性.仿真初始条件设置如下:导弹初值位置为XM = 0 m, YM = 0 m, ZM = 0 m, 飞行速度为常量VM = 3 000 m/s, 初始航向角和前置角分别为φM = 19°和ψM = 56°; 目标初始位置为XT = 80 km, YT = 24 km, ZT = 40 km, 飞行速度为常量VT = 7 000 m/s, 初始航向角和前置角分别为φT = -25°和ψ T = 180°.根据上述信息可计算得到初始弹目视线角为θ = 16.70°和ϕ = 25.59°, 以及弹目视线角速率
为进行对比验证, 选取文献[6]提出的自适应滑模制导律(ASGL)一并仿真, 并将该制导律摘录为
(43) |
其中: bi为目标机动加速度上界, 仿真中假设其已知, 即bθ = 50, bϕ = 30;选取导航比N = 4;边界层项ε = 1.在DLGL和ASGL分别作用下, 绘制弹目法向相对速率变化曲线如图 3和图 4所示, 制导指令变化曲线如图 5和图 6所示.
仿真结果表明, 在DLGL和ASGL的作用下, 导弹均能以给定的脱靶量精度命中目标, 制导时间均为10.11 s.综合图 3和图 4可以看出, 在DLGL的作用下, 弹目法向相对速率Vθ和Vϕ能在1 s内收敛到零附近, 而ASGL需要3 s, 说明DLGL作用下的制导参数收敛更为迅速.在弹目法向相对速率收敛到零附近之后的制导时间里, DLGL作用下的Vθ和Vϕ偏离零的范围明显小于ASGL.综合图 5和图 6可以看出, DLGL和ASGL制导指令均能满足饱和约束要求, 然而DLGL作用下的导弹制导指令总是先于ASGL随目标机动变化, 说明DLGL能有效补偿导弹自动驾驶仪动态特性的影响.由于本文在DLGL设计中引入了非线性干扰观测器以补偿系统的不确定性, 图 5和图 6中的制导指令曲线光滑连续, 更利于执行机构实现, 易于工程应用.综合上述分析可知, DLGL比ASGL体现出更为优良的制导性能, 具有一定的工程价值.
4 结论针对考虑导弹自动驾驶仪动态特性条件下的机动目标拦截问题, 本文基于非线性干扰观测器和命令滤波器设计了一种新的三维双环制导律.将制导系统解耦为外环系统和内环系统.其中:外环控制器产生虚拟制导指令, 以零化球坐标系下的弹目法向相对速率; 内环控制器产生真实制导指令, 以实现导弹自动驾驶仪对外环虚拟指令的快速跟踪.由于外环命令滤波器同时计算出虚拟制导指令的一阶导数和二阶导数, 内环二阶系统的状态变量被整合到一个滑模面上进行一次性设计, 使得三阶系统的制导律设计问题仅用两步即可完成.本文基于输入-状态稳定理论证明了闭环制导系统的稳定性.仿真结果表明了所设计的制导律能够有效补偿导弹自动驾驶仪动态特性的影响, 抗目标机动鲁棒性强, 制导精度优良.
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