控制与决策  2019, Vol. 34 Issue (10): 2198-2202  
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聂卓赟, 朱海燕, 刘建聪, 刘瑞娟, 郑义民. 基于理想Bode传递函数的分数阶PID频域设计方法及其应用[J]. 控制与决策, 2019, 34(10): 2198-2202.
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NIE Zhuo-yun, ZHU Hai-yan, LIU Jian-cong, LIU Rui-juan, ZHENG Yi-min. Fractional order PID controller design in frequency domain based on ideal Bode transfer function and its application[J]. Control and Decision, 2019, 34(10): 2198-2202. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.0186.
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基金项目

国家自然科学基金项目(61403149);福建省自然科学基金项目(2015J01261, 2016J05165);华侨大学资助项目(ZQN-PY408, Z14Y0002)

作者简介

聂卓赟(1983-), 男, 副教授, 博士, 从事先进控制理论及运动控制应用等研究, E-mail: yezhuyun2004@sina.com;
朱海燕(1994-), 女, 硕士生, 从事分数阶控制的研究, E-mail: 1365137174@qq.com;
刘建聪(1993-), 男, 硕士生, 从事轮式机器人运动控制的研究, E-mail: 932407638@qq.com;
刘瑞娟(1982-), 女, 副教授, 博士, 从事鲁棒抗扰控制与分数阶控制等研究, E-mail: liuruijuan0313@163.com;
郑义民(1977-), 男, 讲师, 博士, 从事PID控制的研究, E-mail: zh_even@sina.com

通讯作者

聂卓赟, E-mail: yezhuyun2004@sina.com

文章历史

收稿日期:2018-02-08
修回日期:2018-07-21
基于理想Bode传递函数的分数阶PID频域设计方法及其应用
聂卓赟 1, 朱海燕 1, 刘建聪 1, 刘瑞娟 2, 郑义民 1     
1. 华侨大学 信息科学与工程学院,福建 厦门 361021;
2. 厦门理工学院 应用数学学院,福建 厦门 361024
摘要:基于理想Bode传递函数, 提出一种简便的分数阶PID控制器频域设计方法.采用传递函数模型匹配与辨识方法, 将分数阶PID控制器5个参数的复杂设计问题转化为单个参数的一维搜索问题进行求解; 结合短记忆法实现分数阶PID控制器数字化.该方法已成功应用于直流电机调速控制系统, 能够达到期望的响应性能, 具有强鲁棒性.实验结果验证了所提出设计方法的有效性.
关键词分数阶PID    理想Bode传递函数    模型匹配与辨识    直流电机    
Fractional order PID controller design in frequency domain based on ideal Bode transfer function and its application
NIE Zhuo-yun 1, ZHU Hai-yan 1, LIU Jian-cong 1, LIU Rui-juan 2, ZHENG Yi-min 1     
1. School of Information Science and Engineering, National Huaqiao University, Xiamen 361021, China;
2. School of Applied Mathematics, Xiamen University of Technology, Xiamen 361024, China
Abstract: A simple fractional-order PID controller design method based on the ideal Bode transfer function is proposed in this paper. Model matching and identification are introduced, such that the design problem of the fractional-order PID controller, with five variables involved, is transformed into a simple one dimensional search problem. A short-memory method is used for the implementation of the fractional-order PID controller. The proposed design method is applied to the speed tuning of a DC motor with good performance and robustness. Experimental results are provided to illustrate the effectiveness and availability of the proposed method.
Keywords: fractional-order PID    ideal Bode transfer function    model matching and identification    DC motor    
0 引言

分数阶PID(FOPID)是常规整数阶PID控制器的推广, 一方面保留了常规PID控制器的结构简单、鲁棒性强的特点; 另一方面增加了两个可调参数, 使得系统的控制性能可以进一步提高[1-5].由于FOPID控制器参数以非线性的方式出现, 常规PID控制器的整定方法难以直接应用.

针对FOPID控制器的参数整定和优化问题, 文献[6]提出了一类基于相位裕度、增益不变性和增益截止频率指标的参数整定方法; 文献[7]利用参数空间法研究分数阶PIλ控制器实现时滞系统的闭环极点配置, 从极点配置的角度揭示了分数阶控制器的优越性; 文献[8]在FOPID控制下, 考虑设定输入的跟踪控制和扰动抑制问题, 并采用优化方法计算控制器参数; 文献[9]在相位裕度、幅值裕度的基础上增加了灵敏度函数和补灵敏度函数等约束条件求解FOPID控制器.上述方法都是在常规PID控制算法基础上进行的改进, 但都存在着较为复杂的公式推导和优化计算, 难以在实际应用中推广.

文献[10]分析了一种理想Bode传递函数, 并用于设计PID控制器.在此基础上, 文献[11]提出了基于理想Bode传递函数的FOPID控制器设计方法, 使得闭环系统对增益的变化具有很强的鲁棒性, 并采用ITAE指标寻优求解控制器参数.考虑到FOPID控制器参数较多, 且ITAE指标缺乏解析表达式, 这类方法的计算过程较为复杂.针对这个问题, 本文提出一种简便的FOPID控制器频域设计方法.该方法以理想Bode传递函数为目标, 推导FOPID控制下的理想对象模型, 通过传递函数匹配和辨识方法确定控制器参数.与文献[11-13]比较, 模型匹配能够更加直接实现理想传递函数, 还能将多个参数(kp, ki, kd, λ, μ)的优化问题转化为单个参数(μ)的一维搜索问题, 从而大大降低控制器设计难度.进一步, 本文还致力于FOPID控制器的实际应用研究, 通过短记忆法, 将FOPID控制器应用于直流电机调速控制, 实验结果验证了所提出方法的有效性.

1 分数阶微积分与分数阶PID控制

在分数阶微积分理论发展过程中, Grünwald-Letnikov(G-L)是最广泛应用的定义之一.针对输入信号, G-L分数阶微积分定义[14]

(1)

其中: ta为算子的积分上、下界; α为微积分的阶次; h为步长; [(t-a)/h]是取整运算, 代表在时间[a, t]内采样点的个数; 为多项式系数.引入Gamma函数Γ(·), 有

(2)

本文采用FOPID控制器的表达式

(3)

其中: kp, kikd分别为比例、积分和微分增益; λμ为积分项和微分项的分数阶次.针对Gp(s), FOPID控制器的单位反馈控制系统如图 1所示.其中: r(t)为设定输入, y(t)为系统输出, e(t)=r(t)-y(t)为跟踪误差, u(t)为控制输入.

图 1 分数阶PID单位反馈控制系统
2 控制器设计 2.1 理想Bode传递函数

文献[10]讨论了一类理想Bode传递函数

(4)

其中: α∈(1, 2), ωc为截止频率. H(s)具有对增益变化不敏感的理想特性.由H(s)构成的闭环系统性能指标与ωcα之间的关系为

(5)
(6)
(7)

本文选取H(s)作为FOPID控制系统的开环参考模型, 模型参数由期望的闭环性能指标(5)~(7)选定.

2.2 模型匹配与辨识

根据开环参考模型H(s), 得到被控对象的理想模型为

(8)

在实际系统中, Gp(s)可能存在高阶动态特性, 此时可认为是Gp(s)的降阶模型.本文拟采用频域辨识方法并对式(8)进行模型匹配, 从而得到FOPID控制器参数.对被控对象作如下假设:

1) Gp(s)稳定, 且存在非零稳态值Gp(j0);

2) Gp(s)无时滞, 使得Gp(s)Gc(s)与式(4)无时滞保持一致.

在一定频率范围[0, ωx]内, 对模型(8)进行辨识, 其中ωx可选对象Gp(s)的增益/相位穿越频率, 且ωcωx.模型匹配与辨识过程如下.

Step 1: 零频ω=0模型匹配.当且仅当λα时, 存在非零稳态.故选取λ=α, 式(8)表示为

(9)

进一步, 令(j0)=Gp(j0), 得到

(10)

Step 2: ω=ωx模型匹配.考虑理想对象ω=ωx的频率响应, 有

(11)

其中t=α+μ.利用欧拉公式处理式(11)中的jα和jt, 有

(12)

其中: a=cos , b=sin , c=cos d=sin .

设实际对象Gp(s)在ω=ωx处的频率响应为

(13)

其中: p=Re[Gp(jωx)], q=Im[Gp(jωx)].令(jωx) = Gp(jωx), 结合式(11)~(13), 可得

(14)

Step 3: 在(0, ωx)范围内的模型优化匹配.设定频率步长Δω, 在(0, ωx)范围内取Gp(jω)的频率响应数据; 针对每个迭代的μ值, 取式(9)中(jω)的频率响应数据, 其中α=λ, ki满足式(10), kd(μ)和kp(μ)满足式(14)计算误差平方和, 建立频域响应误差指标

(15)

并在0 < μ < 2内构建优化问题, 通过寻优使J最小以确定μ值, 即

(16)

至此, FOPID控制器参数的设计便转化为式(16)中μ的一维搜索优化问题, 可以采用Matlab工具箱中的“fminsearch”函数实现求解.

注1  基于理想Bode传递函数的设计方法, 能使系统具有良好的稳定裕度, 其中增益裕度Am≈∞, 相位裕度ϕmπ-απ/2[10];

注2  若系统不稳定, 则可先设计镇定控制器C0, 构建具有内部反馈控制的等效对象Gp*, 再采用本文方法设计FOPID控制器;

注3  该方法可直接用于整数阶PID控制器设计, 通过ω=0和ω=ωx处的频率响应进行模型匹配, 即可求解PID控制器参数.

3 仿真实例

考虑文献[10]和文献[11]中的三阶控制对象

(17)

采用本文方法设计FOPID控制器.首先, 选取ωc=ωx=1.74(∠Gp(jωx)=-π), 使得闭环系统响应速度比开环系统略快.为了验证本文方法, 选取3个理想Bode模型, 即α1=1, α2=1.1和α3=1.2, 分别进行模型匹配与辨识, 最终得到3个FOPID控制器

(18)
(19)
(20)

同时, 与整数阶PID控制器进行比较.采用Matlab控制系统工具箱(Control system toolbox9.7)设计一类鲁棒性与响应性能最优的PID控制器

(21)

图 2给出了闭环系统的阶跃响应曲线.在相同ωc参数下, 系统的响应速度保持一致, 而超调量在不同α阶次下有所不同.同时, 与理想闭环系统H(s)/[1+H(s)]的阶跃响应y*(t)进行比较, 图 2也给出了响应误差e*(t)=y*(t)-y(t)曲线, 设计的控制器都能使系统较为准确地达到期望响应性能.

图 2 阶跃响应及误差曲线

图 3给出了GpGc1GpGc2GpGc3GpGc4开环系统的Bode图, 系统的增益裕度都接近于无穷大, 相位裕度近似满足ϕmπ-απ/2, 与理想Bode传递函数是一致的.可以看到, 本文提出的频域设计方法能够很好地实现理想Bode传递函数的模型匹配.系统的阶跃响应和频率响应表明, 与整数阶PID控制器相比较, 本文方法能够更好地兼顾系统响应的快速性和稳定裕度.

图 3 Bode图
4 运动控制平台 4.1 实验平台

针对直流电机, 采用FOPID控制器进行调速控制实验.实验平台如图 4所示, 包括直流电机、12 V稳压直流电源、L298N驱动器、Arduino Mega 2560控制器和Omron测速编码器.通过在驱动器输入端引入可调电压, 作为电机的外部扰动, 用于测试电机调速控制性能. Arduino控制器是一款便捷灵活的开源电子原型平台, 具备多种IO接口, 控制器通过USB串口连接上位机, 并在上位机Arduino IDE编程环境下, 实现FOPID控制器算法, 设置控制器参数.

图 4 电机调速控制实验平台

对实验系统进行阶跃响应测试, 得到对象的整数阶传递函数模型

(22)

式(22)作为电机系统的标称模型, 用于提供系统设计所需的频率响应数据.

4.2 控制器实现

G-L定义的分数阶微积分, 其本质在于对历史输入信号进行加权求和, 可用于FOPID控制器的数字实现.控制器的时域输出表达式为

(23)

对式(23)进行离散化处理, 得到

(24)

其中qjdj为距当前时刻第j个采样点的积分和微分权值.

在实际应用中, 受运算速度和字长等限制, 需要对加权求和进行近似处理.短记忆法是一种通过选取合适步长和记忆长度来近似理想分数阶微积分的方法[15].分数阶微积分的实现一般都是在整数阶的基础上进行“插值”.以阶次0 < α < 1的积分算子为例, 应用短记忆法表示为

(25)

其中: L=wh为记忆时间长度, w为采样点个数; ; qj表示为

(26)

权值qj表示对过去信号记忆的强弱.权值qj在“越远点”的值越趋于零, 表示距当前时刻越久的信号在积分中所占比重越小; 且阶次α越小, 权值趋于零的速度越快.记忆长度越长, 逼近的精度也越高.

同理, 对于0 < α < 1的微分算子和权值可表示为

(27)
(28)

考虑Arduino单片机的运算速度、字长和存储空间等因素的制约, 实验中选取L=4 s, 其中步长h=20 ms, 加权数据个数为w=200, 以确保控制、测量和显示的实时性.

4.3 实验结果

针对电机调速系统, 选取理想Bode传递函数参数ωc=4.2和α=1.05.采用本文方法, 设计得到的FOPID控制器为

(29)

采用Matlab工具箱设计整数阶PID控制器为

(30)

实验中, 设定电机转速r(t)=40 r/s.在t=10 s时加入电压波动, 使得电机输入电压增加0.7 V.在实验中还考虑电机系统的增益不确定性β, 即在常规条件下β=1, 当系统增益具有10 %误差时有β=0.9, 1.1.

图 5给出了电机调速控制的实际效果.在FOPID控制器作用下, 电机启动过程略有微小超调, 响应速度快, 与理想Bode闭环系统一致.实验中, 即使调速系统的增益发生变化, 对调速控制效果的影响也非常小.从控制输入电压u的角度, 当系统增益变小时, 控制量ut=10 s时受到电源电压波动影响, 输入电压增大0.7 V时, 控制量u主动减小, 使得转速在2 s时间内快速恢复到稳态, 表现出良好的鲁棒性和抗扰性能.

图 5 调速控制效果

在实验中, 分数阶PID控制与整数阶PID控制均具有较好的响应性能, 但分数阶PID控制对电压波动具有更好的抗扰控制效果, 其原因在于:在控制器(29)和(30)中, 增益参数大小相似, 但分数阶积分项阶次λ=α>1, 使得分数阶积分控制器能够更快地克服跟踪误差.

5 结论

本文介绍了一种FOPID控制器的简便设计方法.基于理想Bode传递函数, 采用传递函数匹配与辨识方法, 将FOPID控制器5个参数的复杂设计问题转化为单个参数的一维搜索问题进行求解, 为FOPID控制器的设计提供了新思路.采用G-L定义加短记忆法, 对FOPID控制器进行数字化实现, 并成功地应用于直流电机调速控制系统, 实验结果验证了所提出方法的有效性.

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