﻿ 三参数区间数下非线性可拓关联度决策方法
 控制与决策  2019, Vol. 34 Issue (10): 2203-2212 0

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XU Li-bo, LI Xing-sen, GUO Yan. Nonlinear extension dependent degree method to three-parameter interval number decision making[J]. Control and Decision, 2019, 34(10): 2203-2212. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.0164.
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1. 浙江大学宁波理工学院 计算机与数据工程学院，浙江 宁波 315000;
2. 广东工业大学 可拓学与可拓创新方法研究所，广州 510006

Nonlinear extension dependent degree method to three-parameter interval number decision making
XU Li-bo 1, LI Xing-sen 2, GUO Yan 1
1. College of Computer and Data Engineering, Zhejiang University Ningbo Institute of Technology, Ningbo 315000, China;
2. Research Institute of Extenics and Innovation Methods, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China
Abstract: In view of the multi-attribute decision making problem with attribute values being three-parameter interval number and weights unknown, a new decision making approach based on nonlinear extension dependent degree is proposed. According to traditional extension simple dependent functions, it proposes a nonlinear extension dependent function for three-parameter interval number. Then, through an interval mapping transformation operator, the processes of computing dependent degree under different types of attributes are transformed to the simple and monotonous process under benefit-type attribute. The method can not only reflect decision uncertainty from risk preference of a decision maker by adjusting its attitude coefficients, but also express a nonlinear thinking model in the evaluation of people. Finally, an example is presented to illustrate the effectiveness and stability of the proposed method.
Keywords: decision making    extenics    three-parameter interval number    dependent degree
0 引言

1 可拓三参数区间简单关联度 1.1 三参数区间数

1.2 可拓简单关联度及其映射变换

 (1)

 (2)
 图 1 可拓简单关联函数

 (3)

1) 当x=m时, k(x, X)有最大值且k(x, X)=1;

2) 当xX, 且xa, b时, k(x, X)>0;

3)当xX, 且xa, b时, k(x, X) < 0;

4) 当x=ax=b时, k(x, X)=0.

 (4)

 (5)

1.3 非线性可拓三参数区间关联度及其映射变换

 (6)

1) 当a0=b0时, k(X0, X)退化为可拓简单关联度;

2) 当a0=b0=m时, k(X0, X)达到最大值1;

3) 当a0=a, b0=b时, k(X0, X)有最小值0;

4) X0X, 0 < k(X0, X) < 1.

m=ab时, 区间关联度计算在区间X上简化为单调递增或单调递减函数.其中α代表决策者的偏好态度系数, 不同的系数取值反映了决策者对于区间上下界关联度的倾向程度. α=0.5代表决策者对区间上下界无偏好; α>0.5代表决策者更重视区间下界的关联度.反之亦然.

 (7)

1) 当a0=b0=m0时, k(, X)退化为简单关联度;

2) 当a0=b0=m0=m时, k(, X)达到最大值且k(, X)=k(m0, X)=k(m, X)=1;

3) 当a0=a, b0=b时, k(, X)=(1-α-β)k(m0, X), 特别地, 当a0=m0b0=m0时, k(, X)达到最小值0;

4) X, 0 < k(, X) < 1.

m=ab时, 三参数区间关联度计算在区间X上简化为单调递增或单调递减函数.上述三参数关联度表达式表征了三参数子区间与区间X的相互关系, 其中αβ代表决策者的偏好态度系数, 不同的系数取值反映了决策者对于区间上下界和重心值关联度的倾向程度. 表 1为几种典型的态度系数设置方案.其中: Ⅰ型代表决策者无偏好设置; Ⅱ、Ⅳ型代表决策者决策者更倾向重视区间重心值的关联度; Ⅲ型代表决策者更重视区间上下界的关联度; Ⅴ和Ⅵ型分别代表决策者更重视区间上界、下界的关联度.

m=ab时的三参数区间关联度计算简洁直观, 但当ma, b时, 三参数子区间的关联度计算和比较就变得复杂, 关联度计算形式会因区间上下界和重心值与最优点m的相对位置不同而复杂变化, 且态度系数也不能与区间上下界的关联度直接对应, 为此提出区间映射变换的方法, 将最优点不在端点时的区间关联度运算变换成最优点在端点的区间关联度运算, 从而保持区间关联度运算的单调性和简洁性.

1) 当a0, m0, b0∈[a, m]时, =θ()=.

2) 当a0, m0∈ [a, m], b0∈ (m, b]时, 有

3) 当a0∈[a, m], m0, b0∈ (m, b]时, 有

4) 当a0, m0, b0∈ (m, b]时, 有

1) 当k(a0, X)>k(b0, X)时, 如图 2(a)所示, 由于b0∈(m, b], 根据定理1, 对b0作等值映射变换θ(b0)=b'0=k(b0, X)(m-a)+a, 使k(b'0, X)=k(b0, X)且b'0∈[a, m).又由于关联度在区间[a, m]上单调递增且k(b'0, X)<k(a0, X), 得到b'0<a0, 进而得到=[b'0, m0, a0], 有

 图 2 区间关联度映射

2) 当k(a0,X)<k(b0,X)时,如图2(b)所示,同理得到θ(b0)=b'0=k(b0)(m-a)+a, b'0∈ [a, m)且b'0>a0, 因此=[a0, m0, b'0], 有

k(a0, X)>k(b0, X)时, =[b'0, m0, a0]; 当k(a0, X) < k(b0, X)时, =[a0, m0, b'0].其他几种情况如图 2(c)~图 2(e)所示, 此处不再赘述.

1) 不仅测度了两个区间之间的关系, 而且测度了与第3个参数之间的关系, 因此对区间间关系的描述能力更强;

2) 通过区间映射变换, 关联度计算过程变得更简洁统一;

3) 非线性关联度体现了人们决策评价时的非线性思维, 即越接近最优点评价差异的价值越大, 如对于最优点为10的区间[0, 10], 很多时候认为评价区间为 [3, 6, 8]的方案要优于评价区间为 [4, 6, 7]的方案, 因为得到更高评价比得到更低评价的价值更大;

4) 通过态度系数的设置, 反映决策者对指标高低评价值的不同态度偏好, 以便进行决策的不确定性分析;

5) 不同于三参数区间灰色关联度、三参数区间贴近度、三参数区间投影排序[20]等已有方法, 表达了一种新的非基于距离的区间关系测度模型.

1.4 不同类型决策指标区间的关联度

 (8)

1) 当γ=0时, k(, X)=k(, X);

2) 当γ>0时, k(, X)>k(, X);

3) 当γ < 0时, k(, X)<k(, X).

1.5 基于相离度偏差最大化的权重计算

 (9)

w*进行归一化处理后, 得到

 (10)
2 决策算法过程

Step 1:对评价矩阵()m×n作区间映射变换, 将成本型和固定型指标属性及其三参数区间评价值变换为对应的效益型指标属性及其三参数区间评价值, 得到新的评价矩阵()m×n.

Step 2:根据需要, 确定α, β的态度系数设置.

Step 3:取每个属性uj的量值区间.对事前明确有评价取值区间的属性, 该区间作为其量值区间; 对事前没有明确取值区间的属性, 按max-min原则取Xj'=[min()m×n, max()m×n](i=1, 2, ..., m)作为量值区间.根据式(8)计算每个评价值的三参数区间关联度k(, X'j).

Step 4:计算区间相离度偏差矩阵, 并根据式(10)计算最优权重集合W=(w1, w2, ..., wn).

Step 5:得到每个方案si的综合三参数区间关联度, 并依据大小排序.

Step 6:通过αβ取值变化进行不确定性分析.

3 算例分析

Step 1:由表 4得到评价矩阵.

Step 2:由Step 1对评价矩阵作区间映射变换, 效益型属性区间及其值不变, 固定型属性区间及其属性值变换成效益型属性区间及对应属性值, 即u6下的评价值由

Step 3:由Step 2确定αβ的系数设置方案, 为比较的一致性以及通用性, 设α=β=1/3.

Step 4:由Step 3确定每个属性的量值区间, 本例中, 前5个属性有确定的评价区间[0.80, 1.00], 最后一个属性的评价区间经过区间映射变换也变成[0.80, 1.00], 根据式(8)计算每个评价值的三参数区间关联度, 如表 5所示.

Step 5:按Step 4, 由式(9)计算相离度偏差矩阵, 得到每个属性下各方案与其他方案的评价区间相离度偏差值.根据式(10)和相离度偏差矩阵, 得到相离度偏差最大化权重向量

Step 6:按Step 5, 由最优权重向量W和三参数区间关联度计算综合关联度, 如表 6所示.

Step 7:根据α, β的设置变化进行不确定性分析, αβ代表决策者对于指标区间关联度上下界和重心值关联度的倾向程度, 表 7显示了在不同设置下的决策排序.结果表明, 不同态度系数下的决策排序有稍许差异, 只体现在一定条件下方案s3s5会发生排序逆转, 说明当前排序总体不确定性较低, 方案s1s2s4的相对排序并不随决策者对评价高低值态度倾向的改变而改变. α=β=0.106、α=0.444、β=0.222时, 分别反映了决策者对评价重心值和评价下界的较大倾向度, 此时评价上界被相对轻视, 方案s3s5会发生排序逆转.观察原始数据表 4, 可以发现s3在评价下界、评价重心值和评价上界与方案s5的总体差值分别是-1、-2和-4.因此相对于方案s5, 方案s3在下界和重心值的总体评价比上界要好, 表明这种排序逆转在评价重心值和评价下界受倾向态度影响的情况下发生是合理的.

Step 8: 表 8给出了不同算法在等权重、文献[24]权重和当前权重下的决策排序结果, 为保持比较的一致性, 偏好态度系数设为等倾向.在等权重下和文献[24]权重下, 各方法的计算结果一致, 方案s5排序高于s3, 但在当前权重下, 其他方法的计算结果都是方案s3s5会发生排序逆转.其原因是, 通过观察原始数据表 5和当前权重, 发现方案s3占优的属性u1u6的权重较大, 而方案s5占优的属性u2u5的权重较小, 导致逆转发生.但本文方法的计算结果未发生逆转, 原因在于如前文所述, 方案s5在上界的评价表现更好, 此时非线性关联对高评价的自然“增值”价值体现出来, 抵消了一部分权重差异带来的影响, 因此在有些场合下, 其排序稳定性更高.

4 结论

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