2. 西北工业大学 航天学院 西安 710072;
3. 燕山大学 电气工程学院,河北 秦皇岛 066044
2. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China;
3. School of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066044, China
因控论作为一种先进的因果逻辑控制理论, 具有主动协调、源头控制、适用领域广等特点[1].信息物理系统(cyber-physical systems, CPS)是将计算、通信和控制融为一体的复杂系统, 其多子系统可建模为多因系统[2].随着时间的演变, CPS多因系统每时每刻都会产生并积累海量的数据.这些数据对于CPS多因系统的建模和分析是必不可少的, 同时它们也会严重增加网络的通信负担和系统的计算负担[3].云控制技术是集海量数据运算、存储、资源优化分配为一身的先进科学技术[4], 因此, 云控制相关理论能满足CPS多因系统海量数据的采集、存储、分配, 以及系统间交互、协调、控制等任务要求[5-7].
由于CPS多因系统在现实中受到性能和效益等各种软硬约束限制, 要使系统达到控制目标, 就必须处理这些实际限制[8].分布式模型预测控制(distributed model predictive control, DMPC)方法以其良好的控制性能、有效地处理各种约束的能力、较高的灵活性等优点, 在复杂系统控制中得到了广泛应用[9-10].针对CPS多子系统, 文献[11]发展了一类适用于网络化系统的分布式预测控制实时优化与决策理论; 文献[12]则详细探讨了分布式预测控制方法在CPS应用中的优势和挑战.与传统的DMPC方法相比, 基于因果逻辑关系的DMPC方法为CPS中众多节点的协同与优化提供了新的解决思路.在CPS多因系统中还存在着复杂未知的耦合关系, 因此, 一种针对CPS多因系统的解耦方式是必要的.非线性解耦观测器(nonlinear decoupled observer, NDO)能够将系统的扰动与未知项之和作为系统的一组新状态, 同时估计出系统状态以及系统扰动[13-15], 故NDO是应对CPS多因系统中复杂未知耦合关系的理想工具.
本文在云控制框架下设计基于NDO的DMPC控制器, 用于处理复杂关联CPS多因系统的控制问题.在这个控制拓扑结构中, 云计算可以保证控制的实时性.对于所设计的NDO给出其一致收敛于真实状态的有效性证明.同时, 对于前馈线性化后的多个CPS因系统设计DMPC优化算法, 使得各CPS因系统在满足约束的前提下实现协调控制, 并证明该算法的递推可行性和CPS因系统的闭环稳定性.
1 问题描述传统系统框架研究的因果关系大多是单值因果, 因此在传统系统模型中, 单一“因”的作用总是得到唯一的“果”.另外, 传统系统框架中多系统间的研究也仅局限于系统间有明确逻辑关系的问题, 而对于系统间存在不明确关系问题的研究尚未完善.在这样的背景下, 本文提出CPS多因系统框架来揭示复杂系统的因果逻辑关系.根据文献[2], 作用于因-果场Gi上的耦合关联CPS多因系统如图 1所示.
通过微分同胞变换[16], 作用于因-果场Gi上的耦合关联CPS因系统Ci, j可表示为如下形式:
(1) |
其中: ci, j(t)∈R、ui, j(t)∈R和gi, j(t)∈R分别为作用于第i个因果场上的第j个CPS因系统的状态变量、系统输入和系统输出; 未知量
根据模型(1), CPS因系统Ci, j的预测模型为
(2) |
其中: ci, j(t)、ui, j(t)和gi, j(t)分别为CPS因系统Ci, j预测模型的状态变量、系统输入和系统输出, 并且有
将CPS因系统Ci, j中的未知量ξi, j(t)扩充为新的状态变量, 则CPS因系统(1)经扩张之后, 可进一步设计为如下所示的非线性解耦观测器(NDO):
(3) |
其中:
为验证NDO(3)的收敛性, 给出如下假设:
假设1 非线性函数
其中: ρ0, ρ1, ..., ρni, j是正实数; k是正整数.
假设2 耦合项ωi, j(t)和CPS因系统(1)的状态ci, j, ℓ(t)满足|ωi, j|+|ci, j, ℓ|≤ B, 其中B为正常数.
假设3 存在常数λμ(μ=1, 2, 3, 4)、β以及连续的正定函数V, W:Rni, j+1→R, 使得:
1) λ1||y||2≤ V≤λ2||y||2, λ3||y||2≤ W≤λ4||y||2;
2)
3)
定理1 如果假设1~假设3成立, 则对于任意给定的正常数a,
其中ci, j, ℓ(t)和
证明 根据扩张后的CPS因系统(3), 有
(4) |
其中Π(εt)表示(εt, ci, j, 1(εt), ..., ci, j, ni, j(εt)).由假设1和假设2可知, Δ(t)≤ M在区间[0, ∞)上一致成立.令
(5) |
(6) |
可得
(7) |
由假设3可得V(ηi, j(t))关于t的导数为
(8) |
由式(8)可推导出
再由假设3并结合式(5)和(6)可得
(9) |
故当ε→0时, |ei, j, ℓ(t)|→0在区间[a, ∞)上一致成立.定理1的结果可由不等式(9)直接得到.
需要指出的是, 如果仅仅是为了估计CPS因系统状态而非CPS因系统的总和扰动, 则耦合项的有界性不再要求.假设2对状态与耦合项的有界性要求具体参见文献[14].另外, 由文献[14]可知, 若假设1~假设3不能完全满足或取更弱的条件, 则定理1的结论可能不成立, 同时CPS因系统状态以及总和扰动的估计精度将会降低且误差峰值增大.
3 基于NDO的DMPC控制器设计对于CPS因系统(1), 采用基于NDO的DMPC控制器, 即利用NDO对系统进行解耦观测, 并根据观测器(3)得到的观测值对CPS因系统进行前馈补偿.云框架下的控制结构如图 2所示.
图 2中, DMPC控制器位于云端, 各子系统的观测信息均发送到云端并在云端完成最优控制量的计算. CPS因系统Ci, j的控制器可表示为
(10) |
其中: ui, j*(t)为DMPC求解预测模型(2)得到的最优控制量,
(11) |
其中:
其中: Ki, jloc是使
对于CPS因系统(11), 考虑如下局部性能指标函数:
其中: κi, j(k)=[κi, jT(k), κi, jT(k+1|k), ..., κi, jT(k+N-1|k)]T为摄动序列, Qi, j、Ri, j是正定加权矩阵.
CPS因系统Ci, j在每个时刻k, 只有一个CPS因系统Ci, jk通过求解局部优化问题得到其最新的摄动序列, 其余CPS因系统则采用其可行的候选解[17]
(12) |
CPS因系统求解局部优化问题的顺序由优化序列{j1, ..., jk, jk+1, ...}决定, jk表示在k时刻被选为进行优化的CPS因系统.因系统
(13) |
其中
基于以上优化策略, 本文针对所有的CPS因系统提出一种DMPC算法.该算法的具体实现过程归纳如下.
算法1 1)初始化:令k=0, 由初始控制器得到各个因系统的初始可行解.若可行解不存在, 则终止.
2) 对于所有CPS因系统Ci, j:采取最优控制输入量
3) 对于所有j≠ jk的因系统:将状态量ci, j(k)发送给此时刻被选为进行优化的CPS因系统Ci, jk.
4) 更新摄动序列:对于j=jk的CPS因系统, 求解优化问题(13)得到摄动序列κi, j*(k)并发送给各CPS因系统, 更新
5) 返回步骤2).
定理2 若CPS因系统(11)根据上述算法1进行控制, 则优化控制问题(13)是可行的, 并且闭环CPS因系统是Lyapunov稳定的.
证明 首先, 考虑优化问题的迭代可行性.若存在初始可行解, 则由式(12)定义的κi, j(1)为局部优化问题(13)在1时刻的一个可行解.假设k-1时刻存在可行解κi, j*(k-1), 则在下一时刻j≠ jk的CPS因系统按照式(12)将摄动序列更新为κi, j(k).所以κi, jk(k)是优化问题(13)的一个可行解.因此, 由数学归纳法可得, 所有后续的局部优化问题(13)都是可行的, 并且与优化更新序列的选择无关.
接下来证明闭环稳定性.定义作用于第i个因-果场Gi上的全局成本函数为
假设κi, j*(k)是k时刻CPS因系统的可行解, 其对应的局部成本为
(14) |
由式(14)可得
(15) |
其中
(16) |
由于Tκi, j*(k)是优化问题(13)的一个可行解, 可得
(17) |
(18) |
将式(18)关于j=1, 2, ..., Mi进行求和, 可推出式(17)等价于
因加权矩阵Qi, j、Ri, j均为正定矩阵, 故
考虑如下具有耦合关联的两个CPS因系统:
(19) |
(20) |
其中: CPS因系统(19)和(20)的状态约束集合分别为
对于CPS因系统(19)和(20)分别设计如下NDO:
(21) |
(22) |
系统初始状态等相关参数如下:
NDO(3)中对应的非线性函数具体形式分别为
根据NDO(21)和(22), CPS因系统(19)和(20)中的未知量的观测结果分别如图 3和图 4所示.
由图 3和图 4知, 本文设计的NDO(21)和(22)对CPS因系统中未知量的观测误差均收敛到原点, 即实现了对CPS因系统(19)和(20)的有效动态观测, 进而将观测值引入所设计的DMPC控制器中进行补偿控制.相比于传统的DMPC策略, 基于云控制框架的DMPC策略将各子系统的观测信息均发送到云端并求解最优控制问题, 因此可有效降低计算负担.
图 5和图 6给出了CPS因系统(19)和(20)的状态响应曲线, 可以看出, CPS因系统(19)和(20)的状态曲线均满足约束条件且收敛到原点.因此, 本文提出的基于NDO的DMPC控制器(10)对具有耦合关联的CPS多因系统具有很好的控制效果.
本文针对复杂关联CPS因系统, 在云控制框架下设计了基于NDO的DMPC控制器.对于CPS因系统中的非线性未知项和耦合项, 设计了NDO以实现实时动态解耦观测.同时, 利用观测出的状态值对CPS多因系统进行前馈线性化来消除不确定耦合.另外, 设计了DMPC控制策略使各个解耦后的CPS因系统之间协调运行.最后, 通过仿真表明了算法的有效性.
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