2019, Vol. 34
2. 电子科技大学 自动化工程学院，成都 611731;
3. 广东工业大学 自动化学院，广州 510006
2. School of Automation Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chendu 611731, China;
3. Faculty of Automation, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China
在新经济蓬勃发展的大背景下, 作为机器人的重要分支, 工业机械臂以其重复定位精度高、可靠性强的优点被广泛应用于航空航天、高精度零部件制造、国防工业等领域, 其中高精度轨迹跟踪问题是工业机械臂大规模应用的基础性问题, 国内外学者已进行了深入研究, 并取得了可喜的成果[1-6].文献[1]提出了一种鲁棒自适应摩擦力补偿方法, 能够有效解决存在未知有界干扰及摩擦力情况下的轨迹跟踪问题.文献[2]提出了一种自抗扰轨迹跟踪控制器, 通过设计扩张状态观测器对振动进行观测并给予补偿, 提高系统抗扰性能.在此基础上, 文献[3]提出了一种考虑重力影响的轨迹跟踪控制器, 该控制器采用分离非线性间隙补偿项的方式对机械臂系统含有的间隙进行补偿, 提升机械臂在不同环境下的控制性能.
虽然机械臂轨迹跟踪控制已取得不错的控制效果, 但以上文献所提出控制方案均建立在机械臂运动学参数已知的假设基础之上.在实际应用过程中, 由于被夹物体的大小、形状各不相同, 每次与物体的接触点位置也很难保持不变, 很难准确获取其运动学参数信息.针对此问题, 不少学者进行了深入研究, 并取得进一步的进展[7-10].文献[7]提出了一种自适应雅可比矩阵控制方法, 通过设计自适应率在线估计机械臂动力学及运动学参数, 仅需获取机械臂末端的位置反馈信息即可实现轨迹跟踪.为克服在动力学参数未知情况下控制性能难以量化的问题, 文献[8]提出了一种基于机械臂逆动力学的自适应轨迹跟踪控制器, 设计非线性自适应率抵消动力学系统中的非线性项, 完成闭环系统的线性化与解耦, 实现闭环系统跟踪性能的可量化.随后, 文献[9]提出了一种基于预测误差的自适应轨迹跟踪控制方法, 通过设计力矩控制器及观测器, 有效避免了关节角加速度难以精确测量的问题, 并实现参数不确定空间机器臂的轨迹跟踪.在此基础上, 文献[10]采用基于雅可比矩阵估计的自适应控制方法成功解决了视觉伺服机械臂轨迹跟踪控制问题, 具有实现简单且不需要测量图像空间运动速度的优点.
上述采用自适应控制的方法对于处理机械臂动力学和运动学的参数未知问题已较为成熟, 但上述文献对于未知动力学参数均采用了参数线性化的方法, 该方法要求机械臂结构已知, 这一前提限制了以上文献所提出方法的进一步广泛应用; 另一方面, 机械臂在长时间运行后由于过热或外部环境的影响会造成电机参数漂移, 进而影响系统控制性能.针对以上问题, 本文提出一种任务空间自适应轨迹跟踪控制方法, 采用RBF神经网络处理动力学参数不确定问题, 并设计电机参数传输矩阵及电机参数自适应率, 以抵消电机发热引起参数漂移对跟踪性能的影响.
1 问题描述由于电机参数及控制性能会随着外部温度及环境的变化而受到影响, 为描述输出力矩随时间变化的情况, 设计了电机参数传输矩阵T来表征.根据拉格朗日定理, 机械臂动力学方程可由下式表示[11-15]:
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(1) |
其中: τ为作用在关节上的驱动力矩, τo为电机输出力矩, T ∈ Rn×n为电机参数传输矩阵, M(q)为对称正定惯性矩阵, 
令x ∈ Rn为机械臂末端在任务空间的位置坐标, 则有
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(2) |
其中f(·)为角度空间到任务空间的非线性映射关系.
对式(2)两边同时求导, 可得
|
(3) |
其中: J(q) ∈ Rn为雅可比矩阵, ẋ、
由文献[16]可知, 机械臂动力学及运动学方程具有如下性质:
性质1 由矩阵
性质2 对于任意一个可微分向量ξ∈Rn, 如下等式成立:
|
(4) |
其中: Yk(q, ξ) ∈ Rn×m为运动学回归矩阵, αk ∈ Rm为运动学参数向量.
本文的控制目标主要是保证任务空间的轨迹跟踪误差趋近于零, 即
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(5) |
其中: σ为高斯基函数的宽度, b为中心点, X为神经网络的输入向量.
引理1 假设g(x)为任意定义在紧集Ω上的连续函数, 存在RBF神经网络使得如下不等式成立:
|
其中: ϑ*为最优权重向量, N为隐含层神经元的个数, ε为任意小的正常数.
2 基于任务空间的机械臂自适应神经网络控制参考角速度定义如下:
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(6) |
其中: 
|
(7) |
对s求导, 可得
|
(8) |
为减少计算量, 将动力学方程(1)分为两部分
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由引理1可得
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(9) |
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(10) |
其中: X1与X2为神经网络的输入向量, 其表达式为
设计如下控制器:
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(11) |
|
(12) |
其中: 
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(13) |
将控制器(11)代入动力学方程(1), 得
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(14) |
其中
结合Ya(τo)的定义, 式(14)中的最后两项可化简为
|
(15) |
其中: 
将式(15)代入(14), 可得
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(16) |
其中
两边同乘以sT, 式(16)可转化为
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(17) |
由
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(18) |
电机参数自适应律设计为
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(19) |
控制器自适应律设为
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(20) |
鲁棒自适应律为
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(21) |
神经网络参数自适应律设为
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(22) |
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(23) |
整个机械臂控制系统的控制框图如图 1所示.
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图 1 控制器框图 |
定理1 考虑机械臂系统(1), 假定雅可比矩阵J(q)为非奇异矩阵, 采用控制律(11), 参数自适应律(19) ~ (23), 则任务空间轨迹跟踪误差将收敛于零点附近的小范围内.
证明 选取李雅普诺夫函数
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(24) |
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(25) |
其中
对V1求导, 可得
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(26) |
应用性质1, 并将式(17) ~ (19)代入(26), 可得
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(27) |
由性质2及Δαk的定义, 有
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(28) |
由qr及s的定义, 可得
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(29) |
将式(20)及(29)代入(27), 则有
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(30) |
由式(13), 可得
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(31) |
因此, 
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(32) |
给合式(22)和(23), 对V2求导, 可得
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(33) |
应用杨氏不等式, 则有
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(34) |
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(35) |
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(36) |
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(37) |
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(38) |
将式(36) ~ (38)代入(33), 
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(39) |
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(40) |
其中
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选取常数
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(41) |
其中ξmin(·)表示矩阵(·)的最小特征值, 则有
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(42) |
对式(42)两边积分, 可得
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(43) |
由式(43)可知, 李雅普诺夫函数V(t)为非增函数, 由于参数s, △x, 
轨迹跟踪实验在AnnoRobot机械臂平台上完成, 该平台由AnnoRobot机械臂本体、控制器、上位机控制系统3部分组成.其中AnnoRobot机械臂拥有6个自由度, 机械部分由3D打印制作而成, 其主要机械结构参数如表 1所示; 上位机控制系统负责规划轨迹及在线控制, 通过控制器驱动机械臂各关节转动, 实验平台如图 2所示.
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图 2 基于AnnoRobot机械臂的实验平台 |
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表 1 机械臂D-H参数表 |
以机械臂基座原点为坐标原点, 机械臂末端位置初始化为
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利用定理1给出的自适应控制方案(11)及(19) ~ (23), 控制器参数初始化为ks= diag(15), Γa=(12), Γk= diag(9), T= diag(1), 
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图 3 机械臂末端x轴跟踪误差 |
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图 4 机械臂末端y轴跟踪误差 |
此外, 为进一步验证本文所提出方法的有效性, 令机械臂做2万次往复运动, 每个周期持续5 s后, 再分别应用方法1和方法2进行轨迹跟踪控制, 其均方根误差分别为
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所得的轨迹跟踪误差如图 5所示.从以上结果不难看出, 本文所提出方法对于克服电机发热导致参数漂移对控制性能的影响具有积极意义.
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图 5 执行往复运动2万次后机械臂末端轨迹跟踪误差 |
本文提出了一种任务空间机械臂自适应轨迹跟踪方法.该方法采用RBF神经网络处理动力学参数不确定问题, 将动力学分成两部分, 分别设计两个神经网络同时处理, 有效去除了参数线性化方法要求“机械臂结构已知”这一假设前提; 并设计了电机参数自适应率, 以抵消电机发热引起参数漂移对跟踪性能的影响.实验结果验证了所提出方法的有效性.
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