控制与决策  2019, Vol. 34 Issue (3): 487-494  
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侯海良, 年晓红, 王忠, 陈洁. 带有不确定性的多电机卷绕系统的分散最优保性能控制[J]. 控制与决策, 2019, 34(3): 487-494.
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HOU Hai-liang, NIAN Xiao-hong, WANG Zhong, CHEN Jie. Decentralized optimal guaranteed cost control for multi-motor winding system with uncertainties[J]. Control and Decision, 2019, 34(3): 487-494. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2017.1128.
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基金项目

国家自然科学基金项目(61473314, 61403425, 61472135, 61621062);湖南省自然科学基金项目(2017JJ2126);娄底市科技计划项目(2017ZD003)

作者简介

侯海良(1980-), 男, 副教授, 博士后, 从事复杂系统建模及优化、多电机协调控制等研究;
年晓红(1965-), 男, 教授,博士生导师, 从事复杂多智能体系统协调控制及优化、变流技术与传动控制等研究。

通讯作者

陈洁, E-mail: cj1732@126.com

文章历史

收稿日期:2017-08-24
修回日期:2017-11-02
带有不确定性的多电机卷绕系统的分散最优保性能控制
侯海良1,2, 年晓红1, 王忠1, 陈洁2    
1. 中南大学 信息科学与工程学院,长沙 410083;
2. 湖南人文科技学院 信息学院,湖南 娄底 417000
摘要:针对具有参数不确定、强耦合的多电机卷绕系统, 提出一种分散最优保性能控制方法.首先, 将多电机卷绕系统看成由若干动态区间子系统组成的综合系统, 引入区间矩阵以处理子系统模型中的设定值改变和不确定参数; 在此基础上设计基于状态反馈的分散最优保性能控制器, 得到控制器存在的线性矩阵不等式(LMI)充分条件; 最后以三电机卷绕系统为研究对象, 对所设计的控制器进行仿真和平台实验, 实验结果表明, 所提出的分散最优保性能控制能有效降低控制代价, 增强系统的抗干扰能力, 保证张力和速度的控制精度.
关键词多电机卷绕系统    综合系统    分散最优保性能控制    线性矩阵不等式    
Decentralized optimal guaranteed cost control for multi-motor winding system with uncertainties
HOU Hai-liang1,2, NIAN Xiao-hong1, WANG Zhong1, CHEN Jie2    
1. School of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;
2. School of Information, Hu'nan University of Humanities, Science and Technology, Loudi 417000, China
Abstract: For the multi-motor winding system with parametric uncertainties and strong coupling, a decentralized optimal guaranteed cost control method is proposed. Firstly, a multi-motor winding system is regarded as a synthetic system with several dynamic interval subsystems. To describe the modifications of set point and the uncertain parameters, a interval matrix is introduced. Then, a decentralized optimal guaranteed cost controller is designed based on state feedback, and a sufficient condition for the existence of this controller is derived in terms of the linear matrix inequalities (LMIs). Finally, some simulation and experimental tests are conducted on a three-motor winding system. The experimental results show that the proposed decentralized optimal guaranteed cost controller can efficiently reduce control cost, strengthen the anti-jamming capability of the system, and ensure control precision of the tension and velocity.
Keywords: multi-motor winding system    synthetic system    decentralized optimal guaranteed cost control    linear matrix inequality    
0 引言

多电机卷绕系统在纺织、印刷、金属箔、聚合物等生产工业中有着广泛应用[1].这类系统的控制目标是保证系统各张力稳定在预设值的基础上, 尽可能地提高处理速度, 以达到保证产品质量的同时提高生产效率的目的[2].实际多电机卷绕系统可以视为一些独立的机电子系统通过物料耦合而形成的复合系统[3], 物料的张力与速度之间存在耦合, 系统的机械结构(辊轴的圆柱度、机械装配精度等)、物料的物理特性(物料的类型、材质的均匀度、弹性形变特性等)和一些未知干扰等都会给张力和速度控制带来不利影响[4-5].物料的连接作用使得子系统间不可避免地存在相互干扰, 张力与速度的耦合使得张力与速度之间存在相互影响, 整个卷绕过程中收、放卷半径变化很大, 有时根据生产工艺的要求还需要调整张力和速度的设定值, 再加上一些其他干扰(如环境温度、湿度对物料弹性模量的影响等)的作用, 要实现张力和速度的高精度控制难度较大.

多电机卷绕系统是一个典型的多输入多输出、非线性、强耦合不确定系统[6], 其硬件方面存在的问题, 如辊轴的圆柱度、物料的均匀度等难以得到彻底的解决.硬件方面的不足会使张力和速度产生波动, 甚至不稳定, 好的控制策略能够提高系统的稳定性和控制精度.因此, 控制策略的研究已成为卷绕系统研究的热点问题[7]. Dou等[4]μ方法用于分析卷绕系统各种参数不确定性对系统鲁棒稳定性的影响. Hakan等[8]提出采用H控制策略减小张力与速度间的耦合, 运用变增益和线性变参数控制策略(LPV)提高H控制对半径变化的鲁棒性. He等[3]采用极点配置的方法实现了对板带钢平整机的张力与速度的解耦.文献[2]和文献[9]分别提出了基于H2H的2自由度增益调度控制方法, 通过前馈单元实现张力与速度的解耦, 通过反馈单元增强控制器的鲁棒性和抗干扰能力. Liu等[10]采用滑模控制实现了对冷轧机张力和速度的稳定控制.一些组合控制策略, 如神经网络PID[11]、神经网络滑模控制[12]、遗传神经网络滑模控制[13]、粒子群优化算法[14-15]和数据驱动控制[16]等也被应用到两跨或多跨卷绕系统的控制中.

上述控制方法都实现了对卷绕系统的稳定控制, 并且闭环系统对半径变化等具有良好的鲁棒性.在实际应用中, 仅仅保证系统的稳定性和鲁棒性往往是不够的, 在保证系统稳定的同时, 一般还要求系统的动态响应满足一定的性能指标.因此, 一定性能指标下卷绕系统的保性能控制问题也值得深入研究.本文针对复杂多电机卷绕系统提出一种基于LMI的分散最优保性能控制方法.首先将多电机卷绕系统分成若干子系统, 将每个子系统的控制输入分解成参考控制输入和控制补偿两部分, 得到了系统的误差模型.为了处理系统的参数不确定性和设定点的变化, 将子系统视为动态区间系统, 引入区间矩阵进行处理; 为了消除子系统间的相互影响, 提高控制精度, 设计一种全状态反馈分散最优保性能控制器, 推导出控制器存在的LMI条件, 给出控制参数的计算方法.所设计的控制器可以减小控制代价, 保证系统对参数变化和外部扰动的有性能鲁棒性[17].最后以三电机卷绕系统为对象, 通过仿真和实验平台的实验表明了所提出方法的有效性.

1 卷绕系统的数学模型

图 1为复杂多电机卷绕系统分散控制的结构框图.其中: ti(i=1, 2, …, n)为第i跨物料的张力; viMiui(i=0, 1, …, n)分别表示第i段物料的速度、驱动电机和输入转矩; LC表示张力传感器.沿着物料的前进方向可将系统分成放卷系统、速度设定系统、若干个处理系统和收卷系统等子系统, 随着物料的释放和收集, 放卷辊和收卷辊的半径不断变化.

图 1 多电机卷绕系统分散控制框图

在卷绕过程中不考虑物料与驱动辊之间的滑动, 跨间物料张力和速度可用以下公式[5]描述:

(1)
(2)

其中: ES分别为物料的杨氏模量和截面积, Li为第i跨物料长度, bfi为物料与辊轴之间的摩擦系数, ni为第i个电机轴与对应的驱动辊之间的传动比, RiJi为第i个驱动辊的半径和有效转动惯量.对于放卷辊和收卷辊, RiJi(i=0, n)可以描述为[15]:

(3)
(4)

其中: Jci为辊轴和空物料辊的转动惯量, Jmi为电机侧旋转单元的转动惯量, bρh分别为物料的宽度、密度和厚度, Rci为空物料辊的半径.

在卷绕系统中, 物料的传输速度由速度设定系统确定, 每跨的张力大小通过调节相应子系统的速度来实现.参考速度v1*和各参考张力ti*一般是提前设定的.定义如下变量:

(5)

其中: vi*ti*ui*分别为速度、张力和输入转矩的参考值, Δvi、Δti和Δui为跟踪误差.理想状态下, 当各子系统处于稳定状态时, 有vi=vi*ti=ti*, 此时, 各子系统的输入转矩等于参考值ui*.由于不确定性和干扰的存在, 各子系统需要额外的输入补偿Δui使速度误差Δvi和张力误差Δti收敛到0.

定义状态变量x0=[Δt1, Δv0]Tx1v1xi=[Δti, Δvi]T, i=2, 3, …, n.将式(3) ~ (5)代入式(1)和(2), 可以推导出各子系统的误差模型, 并能计算出各子系统的vi*ui*.文献[18]给出了详细的推导过程, 限于篇幅, 本文只将相应的结果总结如下.

各系统的状态方程可以统一写成[1, 18]

(6)

对于不同子系统, AiBiAijfivi)表达式如下:

放卷系统:

(7)

其中t0*为缠绕在放卷辊上物料的内张力.

速度设定系统:

(8)

处理系统:第1个处理系统中矩阵的表达式为

(9)

对于其他处理系统(i=3, 4, …, n-1), 有

(10)

收卷系统:

(11)

参考输入转矩可由下式[1]计算:

(12)

子系统的参考速度可由ti*v1*计算, 即

(13)

由式(12)和(13)可以看出, vi*ui*对速度和张力设定值的改变具有自适应性, ui*在卷绕过程中也能自动调整.

下面给出一些后面证明过程中需要用到的引理.

假设矩阵满足则称A为区间矩阵[18].

引理1 [18]  区间矩阵A∈[Am, AM], A可以写成

(14)

其中

这里eip(i=1, 2, …, p)和eiq(i=1, 2, …, q)分别为pq维单位矩阵的第i个列向量.显然ΣaTΣaI.

引理2 [19]  设XYZ为合适维数的实矩阵并且有ZTZI, 对于任意给定的λ>0, 有

(15)

Z=I时, 不等式(15)可以简写成

(16)
2 分散最优保性能控制器设计

式(6)为图 1所示系统误差模型的通用表达式, 由式(7) ~ (11)可以看出:矩阵AiBiAij中一些元素是ti*vi*RiJi的函数.在卷绕过程中, 放卷端和收卷端的半径、转动惯量是不断变化的; 根据生产工艺要求有时需要调整v1*ti*的值.当v1*ti*改变时, 由式(13)可知, 各子系统的参考速度会发生改变.受实际条件的限制, 这些变量都只能在一定的范围内变化, 因此, 它们可以视为区间变量, 根据区间代数运算法则[20]可以计算出式(7) ~ (11)中矩阵的元素都是有界的.因此, 式(6)描述的系统可以视为动态区间系统[21].根据引理1, AiBiAij可以写成如下形式:

(17)

设计如下的状态反馈分散控制律:

(18)

其中Ki(i=0, 1, …, n)为反馈增益矩阵.引入式(17), 在分散控制器(18)的作用下系统(6)可改写成

(19)

对于卷绕系统(6), 定义如下的二次性能指标:

(20)

其中WiSi为已知的正定对称矩阵.

定义1  对于卷绕系统(6)和性能指标(20), 如果存在分散控制律(18)和正实数J*, 使得对于允许的不确定性, 其闭环系统(19)是渐近稳定的且满足

(21)

则称分散控制律(18)为系统(6)的一个保性能控制律, J*为系统(6)的一个性能上界.

定理1  系统(6)在控制器(18)的作用下能保持渐近稳定的充分条件是, 存在正常数αiβiεijλij, 实对称正定矩阵Qi和矩阵Mi, 使得下面的LMI成立:

(22)

其中

则分散控制器(18)是卷绕系统(6)的一个保性能控制律, 并且有Ki=MiQi-1, 系统性能上界为J*=xi的初始状态.

证明  选取如下的Lyapunov函数:

(23)

其中: x(t)=[x0T, x1T, …, xnT], Pi为正定对称矩阵.显然有V(x(t))>0.定义Ξ=V(x(t))+J, 引入式(20), Ξ沿轨迹(19)对时间求导, 可得

(24)

根据引理2, 有下列不等式成立:

(25)
(26)

将式(25)和(26)代入(24), 调整后可得

(27)

其中

(28)

引入式(28), 可将式(27)改写成

(29)

其中

如果Ωi < 0, 则成立.由式(20)可得, 由式(29)有

(30)

由Lyapunov定理知, 闭环系统(19)是渐近稳定的.

定义Qi=Pi-1Mi=KiQiΩi=QiΩiQi, 有

(31)

由Schur补定理[22]知, 式(31)等价于(22).

由于系统是渐近稳定的, 有V(x(∞))=0.式(30)两边对时间从0到∞积分后, 可改写成

(32)

由定义1可知, 式(18)是系统(6)的一个保性能控制律, 是闭环性能指标的一个上界.

注1  定理1中得到的保性能指标依赖于系统的初始状态x(0), 而在实际应用中往往难以精确获得系统的初始状态.为了克服这一困难, 假定初始状态是一个满足E{x(0)xT(0)}=I的零均值随机变量.计算性能指标的期望值, 可得

(33)

为系统的期望保性能指标, Trace{Pi}表示Pi的迹.

定理1中的式(22)是LMI, 通过Matlab的LMI工具箱可以判断LMI的可行性, 并可求出其可行解.如果LMI有可行解, 则系统(6)存在分散保性能控制律.为了进一步优化闭环系统(19)的保性能指标, 需要选择一个保性能控制律使系统的性能上界最小, 使性能上界最小的控制律称为最优保性能控制律.

定理2  对于卷绕系统(6)和性能指标(20), 如果以下的优化问题:

(34)

有解, 则控制律(18)是系统(6)的分散最优保性能控制律, 其增, 相应的性能上界是

证明  如果是优化问题(34)的一个解, 则必定是(34)中约束条件1)的一个可行解, 同样也是定理1中式(22)的可行解.因此, 是系统(18)的一个分散保性能控制律的增益矩阵.根据Schur补定理[22], 式(34)中约束条件2)等价于Yi>Qi-1=Pi>0.于是, Trace{Yi}最小使得Trace{Pi}也最小, 即最小化系统期望保性能指标(33).因此, 满足条件(34)的控制律为分散最优保性能控制律.

优化问题(34)也可以采用LMI工具箱进行求解.由前面的分析可知, 本文提出的控制策略原理如图 2所示.

图 2 本文提出的控制策略原理框图
3 仿真与实验

为了验证本文所设计的控制器的有效性, 对所提出的分散最优保性能控制进行仿真和平台实验, 并与文献[23]提出的经典分散控制进行比较.

实验平台采用如图 3所示的三电机卷绕系统,它可划分为放卷系统、速度设定系统和收卷系统3个子系统, 可分别用式(7)、(8)和(11)进行描述.每个驱动辊固定套接在电机轴上(有n0=n1=n2=1).系统的标称参数为: b=0.1 m, J1=8.67×10-4 kg·m2, E=1.6×108 N/m2, bf0=bf2=0.005 (N·m)/(rad/s), h=1.2×10-4 m, L1=L2=1.2 m, t0=4 N, R1=0.02 m, ρ=800 kg/m3, bf1=0.006 5 (N·m)/(rad/s), Jc0+n02Jm0=4.56×10-3 kg·m2, Jc2+n22Jm2=4.52×10-3 kg·m2.

图 3 三电机卷绕系统实验平台

由于放卷/收卷半径(R0R2)和转动惯量(J0J2)是时变的, 根据工艺要求各子系统的张力设定(t1*t2*)和速度设定(v1*)也需要调整.如前所述, 这些变量都可视为区间变量, 因此, 系统模型中包含上述变量的矩阵都可视为区间矩阵.选取如下限制条件:

(35)

根据式(13)、(35)和区间代数运算法则[20]可以计算出参考速度(v0*v2*)的变化范围.同理, 根据区间代数运算法则和引理1可以得到系统的等效描述.

选定二次性能指标(20)中的正定矩阵

(36)

根据定理2可以得到三电机卷绕系统稳定的LMI条件, 求解LMI可以计算出最优保性能控制器的增益和矩阵

(37)

为了说明本文提出的分散最优保性能控制器的性能, 与文献[23]所提出的分散鲁棒控制器的控制效果进行比较, 在相同的参数条件下可以求出分散鲁棒控制器的控制参数Ki和矩阵Pi

(38)

为了比较分散最优保性能控制器和分散鲁棒控制器的性能, 根据式(33)可以计算出两种控制器的期望性能指标上界, 并求出控制器增益的2-范数, 结果见表 1.由表 1可以看出, 分散最优保性能控制的性能上界明显小于分散鲁棒控制, 这说明分散最优保性能控制能减小系统的控制代价, 而且各子系统的控制器增益的2-范数都小于分散鲁棒控制器的增益.

表 1 两种控制器的性能指标比较

下面将分两种情况对控制系统进行仿真.

情况1:放卷张力、收卷张力和速度的设定值分别在不同时刻改变;

情况2:放卷张力、收卷张力和速度的参考轨迹与情况1一样, 假设Jc0Jm0J1Jc2Jm2存在±30 %的随机干扰, Ebf0bf1bf2存在±50 %的随机干扰.

情况1主要是测试控制器对设定值的跟踪性能, 情况2主要是测试控制器抑制参数干扰的能力.两种控制器作用下张力和速度的仿真结果见图 4图 5.

图 4 情况1下的仿真结果
图 5 情况2下的仿真结果

图 4可以看出, 两种控制器作用下张力和速度都具有较好的跟踪性能.相比较而言, 当参考值发生改变时, 采用分散最优保性能控制可使放卷张力和收卷张力的跟踪速度更快; 但在抑制放卷张力与收卷张力之间以及张力与速度之间的相互影响方面, 分散最优保性能控制比分散鲁棒控制略差.

图 5可以看出, 当系统参数存在扰动时, 两种控制器作用下的张力和速度都出现了波动, 但波动的幅度并不大, 而且两种控制方法下张力和速度的波动没有明显的差距.考虑到系统参数为变化剧烈的随机扰动, 且变化量高达30 %, 部分参数变化量甚至达到50 %, 由此可见, 两种控制方法对参数扰动具有很强的鲁棒性.

为了进一步验证分散最优保性能控制的性能, 采用图 3所示的实验平台进行实验, 实验中张力和速度的参考轨迹与仿真情况1相似.分散最优保性能控制和分散鲁棒控制的实验结果见图 6图 7; 两种控制方法作用下, 参考值改变时张力和速度的相对误差结果见表 2.

图 6 最优保性能控制的实验结果
图 7 分散鲁棒控制的实验结果
表 2 两种控制器作用下张力和速度的相对误差

通过对比图 6图 7可以看出, 当张力设定值改变时, 最优保性能控制具有更快的跟踪速度.在抑制张力和速度相互干扰方面, 当速度增加50 %时(第8 s), 分散最优保性能控制下, 放卷张力和收卷张力的最大相对误差分别为4.73 %和5.83 %; 而采用分散鲁棒控制时, 两者的最大相对误差分别为4.67 %和5.33 %.同样, 在速度减小50 %时(第17 s), 放卷张力在分散最优保性能和分散鲁棒控制下的最大相对误差分别为7.55 %和6.57 %, 而收卷张力分别为6.06 %和5.83 %.可以看出, 速度变化时采用分散最优鲁棒控制, 放卷张力和收卷张力的误差略大.同样的结论也可以通过分析放卷张力与收卷张力之间的相互影响得到.综合仿真和实验结果可知, 与分散鲁棒控制相比, 分散最优保性能控制的张力跟踪速度更快, 但抑制张力与速度之间的相互影响能力略差.考虑到控制代价问题, 分散最优保性能控制在实际控制中具有一定的优势.

4 结论

本文针对复杂的多电机卷绕系统提出了一种分散最优保性能控制.首先, 将复杂的多电机卷绕系统分解成若干子系统, 考虑到系统参数和设定值的变化, 将子系统视为动态区间系统, 引入区间矩阵进行处理; 然后, 考虑控制代价问题, 设计了基于状态反馈的分散最优保性能控制器, 将分散最优保性能控制器的设计问题和闭环系统的稳定性问题归结为LMI的求解问题, 采用Lyapunov稳定性理论推导出了闭环系统渐近稳定的LMI充分条件; 最后, 以实验室的三电机卷绕系统为应用对象, 通过仿真和平台实验表明了所提出的分散最优保性能控制的有效性.

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