2. 武汉理工大学 航运学院,武汉 430063
2. School of Navigation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China
在目标跟踪领域, 多传感器信息融合被认为是一种可以提高精度和可靠性的方法[1].但在实际工程中, 由于传感器量测存在系统偏差, 可能导致融合性能不升反降.因此, 在信息融合过程中, 首先需要对系统偏差进行估计, 常用的方法包括: EX方法[2]、极大似然法[3-4]、基于贝叶斯的联合估计与辨识[5]等.近年来, Lan等[6]提出了基于最大期望的联合跟踪算法, 兼顾了状态估计的误差和模型参数辨识的偏差; Yong等[7]提出一种仅基于目标位置的偏差配准算法, 以得到对目标机动性不敏感的估计结果; Taghavi等[8]提出一种适用于分布式跟踪系统的偏差估计算法, 该算法不需使用滤波增益信息.然而, 这些算法都是基于最小二乘框架, 当出现错误关联和观测野值时估计精度会严重下降[9].为此, Du等[10]提出一种针对角度的广义最小二乘估计算法, 去掉了斜距离的估计, 从而提高了角度估计精度; Taghavi等[11]提出一种基于三角剖分的针对角度偏差的估计算法, 可用于较大噪声环境中; 田威等[12]提出一种基于最小平方中值(LMedS)的稳健估计器, 用于出现错误关联时的偏差估计.
通常, 最小二乘法受野值影响较大, 稳健性较差.对此, 研究人员提出了稳健估计的方法. Huber[13]提出一种光滑的分段函数, 用最小二乘法替换最小一乘法中不可求导的部分, 以实现计算的稳健估计; 吴昊等[14]提出了一种基于广义M估计的鲁棒滤波算法以减小异常误差对非线性物理系统的影响; Chang等[15]分析了Huber、Hampel、IGG等几种M估计算法的性能, 这些算法在含有突出干扰的情况下仍具有较好的估计性能; Khodabandeh等[16]提出一种L1范数估计算法, 将最小一乘问题等效为含等式约束的线性规划问题, 使用Dikin法求解, 能得到较高精度, 但其时间复杂度仍然较大; Zeng等[17]提出一种基于三角模糊数的模糊最小一乘估计算法, 该算法具有较好的稳健性; Liu等[18]提出一种L1范数的估计算法, 将最小一乘问题转换为带二次等式约束的最小化问题, 使用迭代阈值收缩算法(ISTA)求解; Xu等[19]提出一种三角函数形式下的近似最小一乘函数, 但由于tanh函数本身的性质, 该算法的稳健性反而受到影响; Caccetta等[20]提出了一种具有全局二次收敛性质的最小一乘近似函数.
利用文献[20]中的近似函数, 本文提出一种基于递推近似最小一乘(Recursion approximate least absolute deviation, RALAD)的多传感器偏差估计算法.该算法使用一个平方根平滑逼近函数替代最小一乘目标函数, 并具有基于牛顿法的递推求解框架.通过Monte-Carlo仿真实验, 与EX算法、基于Huber的M估计算法、LMedS算法进行对比分析.仿真结果表明, 本文算法可以提高偏差估计精度, 实时性较好.
1 多传感器偏差估计模型 1.1 运动模型和测量模型在以大地为基准的笛卡尔坐标系中, 目标的运动模型可以描述为
(1) |
其中:
考虑两个位置坐标为I、J的传感器i和j的多目标跟踪场景.对于第l (l=1, 2, …, N)个目标, 传感器
(2) |
应用泰勒展开式, 并忽略高阶项, 得到
(3) |
其中: H=[I3 O3]; 系统偏差bi=[Δri Δβi Δϵi]T; 转换测量噪声wi, k, l为零均值高斯白噪声, 且Ri, k, l=E[wi, k, lwi, k, lT]; 系统偏差转移矩阵Bi, k, l可表示为
(4) |
传感器j的测量方程同传感器i, 不再复述.在k时刻, 可以构造差分量测方程
(5) |
其中: Zk, l=Zi, k, l-Zi, k, l+(I-J); Bk, l=[Bi, k, l-Bj, k, l]; b=[bi bj]T, bi和bj分别为两传感器系统偏差; wk, l=wi, k, l-wj, k, l, 且Rk, l=E[wk, lwk, lT]=Ri, k, l+Rj, k, l.对于式(5), 可以采用传统的最小二乘法进行求解, 其目标函数为
(6) |
由文献[21]可知, 发生错误关联时, 有Xi, k, l1≠Xj, k, l2(以l1和l2代表不同的目标), 则有
(7) |
比较式(5)和(7)可知, 当发生错误关联时, 方程中多出了一项H(Xi, k, l1-Xj, k, l2), 这样便产生了“系统野值”.此外, Bk, l中亦包含误关联所带来的误差.如果传感器对目标的量测中本身就含有观测野值, 则wk, l不能再视为单纯的高斯噪声, 而是含有冲击噪声的混合噪声.此时, 可将式(7)改写为
(8) |
其中: ΔBk, l=[0, Bj, k, l1-Bj, k, l2]; ϵk, l=wk, l+H(Xj, k, l1-Xj, k, l2), 可以视为有偏的混合高斯分布.由文献[22]知, 对于含有冲击噪声的正态分布, 当冲击噪声出现的概率高于0.002时, 最小一乘估计的效率优于最小二乘估计.因此, 本文提出基于递推近似最小一乘的偏差估计算法对该问题进行求解.
2 RALAD系统偏差估计算法 2.1 算法推导使用文献[20]提出的一个f(x)=|x|的光滑近似函数:
(9) |
使用高斯牛顿方向作为
(10) |
其中:
(11) |
令
(12) |
(13) |
则式(11)的1阶导数为
(14) |
若
(15) |
于是式(14)可以化为
(16) |
式(11)的2阶导数为
(17) |
令
(18) |
(19) |
则有
(20) |
令
(21) |
(22) |
利用矩阵求逆定理, 有
(23) |
令
(24) |
则式(23)可以写为
(25) |
由式(24)可得
(26) |
则式(10)可以写为
(27) |
结合式(12)、(13)、(24)、(25)和(27)便可得到
现将RALAD算法归纳如下:
(28) |
(29) |
(30) |
(31) |
(32) |
此外, 作如下近似:
(33) |
式(33)用于下一次递推计算.当k时刻所有航迹的量测被用于偏差估计之后, 在k+1时刻进行如下的初始化:
(34) |
(35) |
递推初值为
表 1给出了RALAD算法、Huber函数法以及RLS算法中的增益
Huber函数法的稳健因子
(36) |
这里
3种算法中, RLS算法的增益
RALAD算法的稳健因子不会改变协方差矩阵λk, lRk, l的条件数.在Huber函数法中, 当出现某单一维度上的观测野值时, 其稳健因子Ψk, l部分维度上的数值会较小, 此时协方差矩阵
(37) |
设
(38) |
由式(38)可得
(39) |
其中
(40) |
当
(41) |
由式(41)可知, Huber算法中协方差矩阵条件数增大将导致
此外, 从稳健因子的形式上考虑, 本文算法也可写成类似Huber函数的分段形式.即将式(29)替换为下式:
(42) |
采用Monte-Carlo方法对RALAD算法、Huber函数法、LMedS算法和RLS算法进行对比实验, 仿真次数为100.考虑异地三坐标雷达i和雷达j, 位置坐标分别为[-4 000 m, -4 000 m, 0 m]和[4 000 m, 4 000 m, 0 m], 每部雷达的斜距离量测噪声标准差均为30 m, 方位角和高低角测量噪声标准差均为0.5°, 其系统偏差分别为[20 m, -0.5°, 0.5°]和[-20 m, 0.5°, -0.5°].目标数量为40, 初始位置离原点的水平距离随机分布在19. 9 km~20 km之间, 高度随机分布在2 km~3 km之间, 且与y轴夹角在[0, 2π)之间随机生成; 各目标飞行速度为250 m/s, XOY面的速度方向均指向原点处边长为10 m的正方形内随机一点, Z方向速度为0.各雷达的采样间隔为0.1 s, 所有算法均采用Matlab编程实现.仿真实验采用的硬件配置为: CPU为酷睿i5-480 M(主频2.67 G), 2 G内存、240 G固态硬盘, 未采用CPU超频技术和多线程技术.
算例1 40条航迹中有4条分别为其余航迹中某4条的平行航迹, 两平行航迹间距为1 500 m, 共4对平行航迹, 且每对航迹的误关联量测点数占40 %.量测过程中两传感器均以5 %的概率出现观测野值, 野值量测噪声的标准差扩大为正常值的50倍.
算例2 40条航迹中有6条分别为其余航迹中某6条的平行航迹, 两平行航迹间距为1 500 m, 共6对平行航迹, 且每对航迹的误关联量测点数占50 %.量测过程中两传感器均以10 %的概率出现观测野值, 野值量测噪声的标准差扩大为正常值的50倍.
3.2 实验结果与分析本文选取文献[2]中的RLS算法(EX算法)、文献[12]中的LMedS算法、文献[14]中基于Huber的M估计算法与RALAD算法进行比较.仿真结果如图 1~图 8和表 2~表 6所示.
由图 1~图 3可以看出:算例1中假设错误关联与观测野值比例较低, 此时EX算法已偏离真值; 与EX算法相比, Huber函数法具有明显优势; 而本文算法的估计结果更加接近真值.由图 4~图 6可以看出:在算例2中适当增加了错误关联与观测野值的比例, 因EX算法中使用了标准RLS, 故受野值的影响较大, 其估计结果偏离真值较远; Huber函数法此时的精度有所下降; 而本文算法以近似最小一乘得到目标函数, 抗野值能力强, 仍能保证较好的估计精度.
图 7和图 8给出了算例1和算例2中第1条航迹Huber算法与本文算法协方差矩阵条件数的比较, 图中以采样次数为横坐标, 以两种算法条件数比值的对数
为纵坐标.可以看出:绝大多数情况下, Huber函数法的协方差矩阵的条件数均比本文算法大; 而由式(31)可知, 增量
由表 2~表 5可以看出: LMedS算法总体上优于RLS, 仅在个别参数上优于其余算法, 但该算法不能用于实时递推; 而本文算法可在实时递推的前提下仍有较高的稳健性.
表 6给出了100轮仿真下两个算例中4种算法每轮所需的平均时间.可以看出: RLS算法用时最少; 因需对数据排序, LMedS算法用时其次; RALAD算法再次; 由于稳健因子的分段形式以及需要计算协方差矩阵Rk, l的平方根, 基于Huber函数的M估计算法所需时间最长.与Huber函数法相比, RALAD算法不需要计算协方差矩阵Rk, l的平方根, 其计算代价大大降低.
4 结论本文使用一个近似最小一乘函数替换偏差估计问题中常用的最小二乘函数, 基于牛顿方向及其秩1修正推导出递推求解框架.该方法克服了最小一乘函数不可求导的困难, 并提高了算法的稳健性, 在保证算法的实时性的前提下明显改善了估计精度.通过Monte-Carlo仿真表明, 在含有较多错误关联和观测野值的情况下, 本文算法仍具有较好的稳健性, 所得估计结果更接近真值, 具有一定的工程应用价值.
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