0 引言

灰色预测模型作为灰色系统理论的重要组成部分, 因其建模过程简单、所需样本少等优点, 目前, 已成功地应用于工业、科技、农业等领域^[1-3]. GM(1, 1)模型是灰色预测模型的经典形式, 如今已成为应用最为广泛的灰色预测模型.然而, 传统的GM(1, 1)模型存在诸多缺陷, 人们对此进行了研究改进, 大致可分为以下几类:灰导数白化值的改进^[4-5];初始条件的改进^[6];背景值构造方法的改进^[7-8]等.

上述研究成果促进了GM系列模型的日趋完善, 然而, 在实际应用中, 由于GM(1, 1)模型适用数据序列类型的局限性, 随着各类系统不断涌现出新特性、新问题, 需要对灰色预测模型进行拓展研究.文献[9]构建了一种基于分数阶累加方法的灰色预测模型; 文献[10]提出了一类可以较好描述具有部分指数并含时间幂形式系统过程的含时间幂次项灰色预测模型; 文献[11]通过对具有近似非齐次指数律特征的数据序列进行研究, 提出了一种改进的灰色预测模型NGM(1, 1, k); 文献[12]利用模式搜索法对GM(2, 1)模型的参数求解进行了优化改进; 文献[13]对小样本振荡序列建模和预测问题进行研究, 构建了一种含有时变参数和系统延迟的振荡型GM(1, 1)幂模型; 文献[14]认为传统灰色NGM(1, 1, k)模型的参数估计误差是导致该模型精度不稳定的重要因素, 构建了一种基于背景值优化的改进NGM(1, 1, k)模型; 文献[15]针对灰色预测模型拟合非齐次指数序列时的误差, 从灰导数和背景值两个角度分别优化, 提出了NGM(1, 1, k)的两类无偏基本形式.

现实社会中存在着许多发展过程为孕育、匀速变化、加速变化3个阶段到另一个平衡状态的系统, 人们不能简单地应用指数规律来刻画此类系统的内在发展规律, 因此, 需要构建能反映其本质特征的新模型.本文通过对具有部分指数并含时间幂函数项序列进行研究, 在分析现有含时间幂次项灰色模型局限性的基础上, 提出一种新的含时间幂次项灰色模型, 并研究该模型的建模机理, 以期能够进一步拓展灰色预测模型体系.

1 改进的含时间幂次项灰色模型的构建

首先, 给出文献[10]提出的模型, 并分析该模型的不足.

定义1  设X⁽⁰⁾=(x⁽⁰⁾(1), x⁽⁰⁾(2), ..., x⁽⁰⁾(n)), X⁽¹⁾=(x⁽¹⁾(1), x⁽¹⁾(2), ..., x⁽¹⁾(n))为X⁽⁰⁾的一阶累加生成序列, 其中 ..., n.称Z⁽¹⁾ = (z⁽¹⁾(1), z⁽¹⁾(2), ..., z⁽¹⁾(n))为X⁽¹⁾的紧邻均值生成序列, 其中 x⁽¹⁾(k)+x⁽¹⁾(k-1)), k=2, 3, ..., n.则称

为GM(1, 1, t^γ)的基本形式^[10];称

为GM(1, 1, t^γ)的白化方程.

当γ=2时, 定义1中的模型GM(1, 1, t^γ)适用于近似x⁽⁰⁾(k)=ge^ak+pk+q(k=1, 2, ..., n)规律的序列建模^[10].根据x⁽⁰⁾(k)的表达式, 可以得到它的累加和有

即可以得到x⁽¹⁾(k)的表示形式

将其代入定义1给出的白化方程, 可得

可以发现aD+2C并不一定恒为0, 而定义1中模型只是在aD+2C为0的情况下才适用, 因此, 定义1中的模型并不具有一般性.

同理, 当γ取其他值时, 定义1中模型同样存在局限性, 为此, 本文给出一个具有一般性的模型.

定义2  若为参数列, 则称

(1)

为本文所提出的NGM(1, 1, t^γ)的基本形式.将一阶微分方程

(2)

称为NGM(1, 1, t^γ)的白化方程.

对式(2)在区间[k-1, k](k=2, 3, ..., n)取定积分, 可得

即

定理1  设X⁽⁰⁾=(x⁽⁰⁾(1), x⁽⁰⁾(2), ..., x⁽⁰⁾(n)), x⁽¹⁾(n)为X⁽⁰⁾的一阶累加生成序列, z⁽¹⁾(n)为X⁽¹⁾的紧邻均值生成序列.若为参数列, 且

则NGM(1, 1, t^γ)模型的最小二乘估计参数满足

定理2   的时间响应函数为

2 NGM(1, 1, t^γ)模型的性质

定理3  当γ=0时, NGM(1, 1, t^γ)模型变为x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)=b₀, 即退化为GM(1, 1)模型.

定理4  当γ=1时, NGM(1, 1, t^γ)模型变为x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)=b₀(k-1/2)+b₁, 即退化为NGM(1, 1, k)模型.此处不再赘述.

定理5  当γ=2时, NGM(1, 1, t^γ)模型变为NGM(1, 1, t²)模型.称

(3)

为NGM(1, 1, t²)的基本形式, 其白化方程为

(4)

若为参数列, 且

则

1) NGM(1, 1, t²)的白化方程(4)的时间响应函数为

在上式中令

则可以得到NGM(1, 1, t²)模型x⁽⁰⁾(k)+az⁽¹⁾(k)= 的时间响应函数为

2) 还原值

定理6  在定理5中, NGM(1, 1, t²)模型的时间响应函数为

其中: D、E、F为确定参数, C为待求参数.则该时间响应函数的最优常数C^*为

证明   考虑还原值

构造误差平方和函数

为了求解该误差平方和的最小值, 令f^'(C)=0, 可得该时间响应函数的最优常数为

于是定理得证.

由此可得NGM(1, 1, t²)模型的时间响应函数为

推论1  由定理4可知, 当γ=1时, NGM(1, 1, t^γ)模型适用于任意具有近似x⁽⁰⁾(k)≈ ge^ak+q规律的序列建模.

推论2  由定理5可知, 当γ=2时, NGM(1, 1, t^γ)模型适用于任意具有近似x⁽⁰⁾(k)≈ ge^ak+pk+q规律的序列建模.

本文中当γ取其他值时的情况, 此处不一一讨论, 在实际应用中, 可以利用智能算法对γ的取值进行寻优.

3 算例分析 3.1 实验1

选取某沿海高速路某观测点软土地基沉降观测值数据^[10]进行建模分析, 原始数据为(3.3, 5.6, 7.9, 10.3, 14.5, 18.1, 23.8, 28.6).利用前6项数据为原始序列, 分别采用GM(1, 1)、GM(1, 1, t²)和NGM(1, 1, t²)建模, 可以得到NGM(1, 1, t²)模型还原式为 1)=59.21e^{-0.153 7k}+8.2k-54.299, k=1, 2, ..., n.实验结果如表 1所示.

由表 1可以看出: GM(1, 1, t²)模型的最大相对误差为4.28 %, GM(1, 1)模型的最大相对误差为15.69 %, 而本文NGM(1, 1, t²)模型的最大相对误差为2.92 %; 本文模型的平均误差为1.74 %, 低于GM(1, 1, t²)模型的平均误差2.28 %和GM(1, 1)模型的平均误差5.50 %.本文模型的精度高于GM(1, 1, t²)模型的原因是, 本文模型能对任意具有近似x⁽⁰⁾(k)≈ ge^ak+pk+q规律的序列建模, 有效克服了GM(1, 1, t²)模型的局限性.因此, 本文提出的NGM(1, 1, t²)模型具有更广的适用范围和应用空间.

3.2 实验2

选取文献[12]中的地基沉降数据进行建模分析, 原始数据为(23.36, 43.19, 58.73, 70.87, 83.71, 92.91, 99.73, 105.08, 109.73, 112.19, 113.45).利用前10个数据进行建模, 分别采用传统GM(1, 1)、文献[12]中模型、本文提出的NGM(1, 1, t²)模型进行建模分析.实验结果如表 2所示.

由表 2可以看出: GM(1, 1)模型的最大相对误差为34.65 %, 文献[12]模型的最大相对误差为2.39 %, 而本文模型的最大相对误差为0.68 %; 本文模型的平均误差为0.22 %, 低于文献[12]模型的平均误差0.95 %和GM(1, 1)模型的平均误差9.20 %; 本文模型的预测误差为0.25 %, 低于文献[12]模型的预测误差1.75 %和GM(1, 1)模型的预测误差18.23 %.由此可知, 本文所提出的模型对于地基沉降数据在拟合与预测精度上优于GM(1, 1)和文献[12]模型.本文模型精度较高的原因是, 该地基沉降数据序列呈现匀速-加速-稳定的变化趋势, 与本文NGM(1, 1, t²)模型的序列特征相符合.

4 结论

本文针对传统含时间幂次项灰色模型的局限性, 提出了一种改进的含时间幂次项灰色模型NGM(1, 1, t^γ).对该模型的建模机理进行了研究, 通过积分变换, 得到了与该模型白化方程相匹配的灰色微分方程, 并讨论了幂次项指数几种特殊取值下该模型的性质和适用范围.经讨论发现, GM(1, 1)和NGM(1, 1, k)模型均是NGM(1, 1, t^γ)模型的特殊形式, 因此, 该模型拓展了灰色预测理论的应用范围.最后, 对NGM(1, 1, t²)模型初始点进行优化并通过算例验证了本文所提出模型的有效性和实用性.