0 引言

切换系统被称为一类特殊类型的混杂系统, 它被广泛应用于传输系统、网络控制系统和通信工业中.切换系统可以由有限个子系统和协调这些子系统的切换信号组成.近年来, 结合多李亚普诺夫函数和平均停留时间方法, 研究者们深入研究了切换系统的稳定性问题, 并取得了一些有价值的结果^[1-2].同时, 考虑到系统建模过程中存在的时滞和非线性特性^[3-4], 研究者们进一步研究了切换系统的鲁棒性和控制器设计问题^[5-7].

作为一种鲁棒控制方法, 滑模控制方法一直是学术界的研究热点.滑模控制可以处理系统建模过程中的不确定参数和外部干扰的不敏感性^[8-9].近年来, 滑模控制方法也被应用到切换系统领域^[10-12].需要指明的是, 针对切换系统设计的滑模控制器主要是基于无限时间区间的, 这对工业过程中的暂态性, 或者短时间控制问题, 并不奏效.

针对短时间控制问题, Dorato^[13]做了许多开创性的工作.同时, 有限时间稳定、有界、镇定、控制等问题也得到了研究人员的广泛研究, 并取得了较好的成果^[14-18].近年来, 有限时间稳定、有界和镇定等概念也扩展到滑模控制的研究中^[19-22].如文献[20]中, 基于观测器方法研究马尔可夫跳变系统的有限时间滑模控制问题.需要指出的是, 基于平均驻留时间的非线性时滞切换系统的有限时间滑模控制存在的问题并没有得到根本解决.

本文针对一类具有时滞和非线性参数的切换系统, 研究其有限时间滑模控制问题.基于有限时间有界和滑模控制理论, 设计带有状态时滞的滑模控制器, 以确保每个子系统状态的轨迹在规定的时间内能够被驱使到相关的滑模面上.通过应用多李亚普诺夫函数和平均驻留时间方法, 给出使得滑模趋近段和滑模动态系统是有限时间有界的充分条件.最后, 通过仿真算例验证了本文设计方法的可行性.

1 系统描述

考虑如下一类时滞非线性切换系统：

(1)

其中:x(t)∈Rⁿ, x(t-τ)∈Rⁿ是系统的时滞向量, u(t)∈R^p是系统控制输入, ω(t)∈R^q是具有能量有界的外部干扰, 即ω(t)∈₂[0, ∞); f_σ(t)(x(t), x(t-τ))是系统建模过程中的非线性函数; ϕ(t)是系统的初始状态; A_σ(t), A_dσ(t), B_σ(t), F_σ(t), H_σ(t)是具有适当维数的常系数矩阵, σ(t):[0, T_f]→I={1, 2, ..., M}是系统的切换信号, M是子系统的个数.切换信号σ(t)具有如下切换序列:

当t∈[t_k, t_k+1)时, 第σ(t_k)子系统被激活.假设σ(t) =i, i∈I, 则矩阵A_σ(t), A_dσ(t), B_σ(t), F_σ(t), H_σ(t), K_1σ(t), K_2σ(t)可表示为A_i, A_di, B_i, F_i, H_i, K_1i, K_2i.

假设1  在本文中, 考虑在时间范围[t₁, t₂]内的扰动信号满足如下不等式:

(2)

假设2  系统状态x(t)在切换时刻不发生跳变, 这意味着系统状态轨迹x(t)是连续的.

假设3  对于∀i∈I, 非线性函数f_i(x(t), x(t-τ))满足如下条件:

(3)

其中U_1i和U_2i是已知的Lipschitz常系数矩阵.

定义1^[2]  对于t∈[0, T_f], N_σ(t, T_f)表示σ(t)在时间间隔[t, T_f]内的切换次数.如果N_σ(t, T_f)≤N₀+(T_f-t)/τ_a, 则τ_a称为平均驻留时间, 其中τ_a>0, N₀≥ 0.为了计算方便, 一般选择抖振界N₀=0.

定义2^[14]  对于时间间隔T∈[0, T_f], 给定正常数c₁, c₂, h和正定对称矩阵R, 其中c₂>c₁>0, 切换系统(1)是关于(c₁, c₂, T, R, h)有限时间有界(Finite-time Bounded, FTB)的, 如果如下条件对系统状态x(t)成立:

(4)

本文的主要目的是设计一个合适的滑模控制器u(t), 确保切换系统(1)的状态轨迹能在时间T^*内被驱使到设定的滑模面s_i(t)=0上, 其中T_f≥ T^*, 并且滑模趋近段和滑动模态是FTB的.基于此, 构造如下的滑模函数:

(5)

其中K_1i和K_2i是需要设计的控制器增益.令L_i=B_i^TX_i, B_i为列满秩矩阵, 通过选择适当的矩阵X_i>0, 使得L_iB_i是非奇异的.对于切换系统(1), 构造如下滑模控制器:

(6)

其中_i(t)为需要设计的鲁棒项.

引理1^[5]  对于适当维数的矩阵X, Y, 正定对称矩阵T和正标量ρ, 有以下矩阵不等式成立:

(7)

为了使得系统在趋近段和到达后的状态都满足FTB, 引入如下分段策略的引理.

引理2^[21]  对于具有指定参数(c₁, c₂, T, R, h)的切换系统(1), 当且仅当存在一个辅助标量c^*满足c₁ < c^* < c₂, 使得闭环切换系统在趋近段是关于(c₁, c^*, T₁, R, h)FTB的, 同时使得到达后的滑模动态系统是关于(c^*, c₂, T₂, R, h)FTB的, 则闭环系统可被确保是关于(c₁, c₂, T, R, h)FTB的.其中: T∈[0, T_f],

2 主要结果 2.1 滑模动态可达性的分析

下面将对滑模动态可达性进行证明, 切换系统的滑模动态可达性条件为

(8)

定理1  对于切换系统(1)和滑模函数(5), 切换系统(1)的状态轨迹能在时间T^*内被驱使到给定的滑模面s_i(t)=0上, 其中T_f≥ T^*, 如果存在合适的滑模控制律(6), 则鲁棒项_i(t)可被构造为如下形式:

(9)

其中

并且标量ξ_i>0, 满足如下条件:

(10)

证明  构造如下多李亚普诺夫函数:

(11)

沿着滑模函数(5)的轨迹对V_1i(t)求导, 可得

(12)

考虑到‖s_i(t)‖≤‖s_i(t)‖₁, 式(12)可改写为如下形式:

(13)

通过对式(11)使用Rayleigh's不等式, 可得

(14)

结合不等式(13)和(14), 可得如下不等式:

(15)

其中

对不等式(15)进行积分, 可得如下不等式:

(16)

因为V_1i(t)≥ 0, 不等式(16)可被改写为

(17)

对于t≥ T^*时刻, V_1i(t)=0, 所以s_i(t)=0.

将s_i(0)=L_ix(0)代入不等式(17), 并结合条件(10), 可得

(18)

这意味着对于任意给定的时间T_f≥ T^*, 切换系统(1)的状态轨迹能在滑模控制律(6)的驱使下在有限时间T^*内到达滑模面s_i(t)=0上, 并维持在其上运动, 其中T_f≥ T^*.

2.2 滑模趋近段的FTB分析

将滑模控制律(6)代入到切换系统(1)中, 可得如下的闭环切换系统:

(19)

其中:A_i=A_i+B_iK_1i, A_di=A_di+B_iK_2i.

令_si(t)=_i(t)sign[s_i(t)], 因在该阶段s_i(t)≠0, 可得如下不等式:

(20)

在下面的定理中, 将证明闭环系统(19)在趋近段是关于(c₁, c^*, T₁, R, h)FTB的.

定理2  对于任意i, j∈I, i≠j, 给定常数c₁> 0, h>0, α>0, β>0, μ≥ 1, ν_i>0, 闭环切换系统(19)是关于(c₁, c^*, T₁, R, h)FTB的(其中R>0), 如果存在正定对称矩阵P_i∈R^n×n, Q_i∈R^n×n, W_1i∈R^n×n, W_2i∈R^n×n和正标量c^*, ζ_i使得如下不等式成立:

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

并且切换信号σ(t)的平均驻留时间满足如下条件:

(28)

其中

证明  构造如下的多李亚普诺夫函数:

(29)

沿着闭环系统(19)的轨迹对V_2i求导, 结合条件(21) ~ (28)并经过一系列复杂计算可得

(30)

由定义2和引理2可知, 闭环切换系统(19)是关于(c₁, c^*, T₁, R, h)FTB的.

2.3 滑模动态的FTB分析

由滑模控制理论可知, 当系统状态轨迹到达滑模面s_i(t)=0上时, 会有情形s_i(t)=0和_i(t)=0存在.基于_i(t)=0, 可得如下等价控制律:

(31)

将等价控制律u_eq代入切换系统(1)中, 可得如下的滑模动态系统:

(32)

其中_i=I-B_i(L_iB_i)^-1L_i.

下面将证明滑模动态系统(32)是FTB的.

定理3  对于任意i, j∈I, i≠j, 给定常数T_f >0, c₂>0, h>0, α>0, β>0, μ≥1, 滑模动态系统(32)是关于(c^*, c₂, T₂, R, h)FTB的, 如果存在正定对称矩阵P_i∈R^n×n, Q_i∈R^n×n和正标量c^*, ε_i, χ_i使得如下不等式成立:

(33)

(34)

(35)

(36)

并且切换信号σ(t)的平均驻留时间满足如下条件:

(37)

其中

证明  构造如下的多李亚普诺夫函数:

(38)

沿着滑模动态系统(32)的轨迹对V_3i求导, 结合条件(33) ~ (37)并经过一系列复杂计算可得

(39)

由定义2和引理2可知, 滑模动态系统(32)是关于(c^*, c₂, T₂, R, h)FTB的.

2.4 控制器增益K_1i, K_2i求解

定理4  对于任意i, j∈I, i≠j, 给定常数T_f>0, c₁>0, c₂>0, h>0, α>0, β>0, μ≥ 1, 闭环切换系统(19)是关于(c₁, c₂, T, R, h)FTB的, 如果存在正常数c^*, ζ_i, ε_i, χ_i, 正定对称矩阵X_1i∈R^n×n, Z_i∈R^n×n, M_i∈R^n×n, Z_1i∈R^n×n, Z_2i∈R^n×n和矩阵Y_1i∈R^p×n, Y_2i∈R^p×n使得如下矩阵不等式成立:

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

且切换信号σ(t)的平均驻留时间满足如下条件:

(49)

其中

证明  为了使得定理2和定理3同时成立, 对不等式(21)和(33)运用Schur补引理并经过计算, 给出如下不等式:

(50)

以及条件(22) ~ (27)和条件(36), 其中

矩阵(50)两边同乘diag{P_i^-1, Q_i^-1, I, I, I, I, I, I, I, I, I}, 并定义X_1i=P_i^-1, Z_i=Q_i^-1, Y_1i=K_1iX_1i, Y_2i = K_2iZ_i, M_i=X_1iQ_iX_1i, Z_1i=W_1i^-1, Z_2i=W_2i^-1, 可得到不等式(40).

另一方面, 取X_1i=R^1/2X_1iR^1/2, Z_i=R^1/2Z_iR^1/2, (λ_min(Z_i))≥ σ₁, (λ_max(X_1i))=1/(λ_min(P_i)).并考虑到σ₁≤(λ_min(X_1i))和(X_1i))≤ 2, 不等式

(51)

可保证不等式(27)成立.同理, 不等式

(52)

可保证不等式(36)成立.再结合Schur补引理, 式(47)可以由不等式(51)容易得到.

3 数值仿真

假设切换系统(1)存在如下两个子系统, 其系数分别为

仿真参数选择为α=0.03, β=0.19, ν₁=7, ν₂ =4, τ=0.1, h=0.6, T_f=4, c₁=1, c₂=5, μ=1.016;非线性项选为

根据假设3, 可取Lipschitz常数矩阵为

同理, 可得

求解矩阵不等式(40) ~ (48), 可得c^*=2.727 5, τ_a^*=1.086 6, 据此, 选择τ_a=1.2.

由不等式(10)可得, ξ₁≥ 0.144 3, ξ₂≥ 0.143 0, 本文选择ξ₁=0.3, ξ₂=0.2.

为了抑制抖振现象, 符号函数sign[s_i(t)]用s_i(t)/(0.005+‖s_i(t)‖)代替.选取初始状态为x₀=[0.6  0.5]^T, 则仿真结果如图 1和图 2所示.由图 1可知, 闭环系统的状态轨迹在控制器的作用下是收敛的.由图 2可知, 闭环系统状态轨迹满足FTB条件.

4 结论

本文针对一类含有非线性和时滞参数的切换系统, 研究了其有限时间滑模控制问题.首先, 设计了积分型滑模面和合适的滑模控制器, 以确保系统状态的有限时间可达性; 然后, 基于矩阵不等式和平均驻留时间方法, 得到了滑模趋近段和滑模动态FTB的充分条件; 最后, 通过仿真示例验证了本文设计方法的有效性和可行性.