0 引言

分数阶微积分理论的提出已有几百年的历史, 但直到近期分数阶微积分才有了快速的发展^[1].因为分数阶混沌系统自身具有复杂性, 比整数阶混沌系统具有更强的保密性和抗破译能力, 所以分数阶混沌系统具有广泛的应用前景^[2].分数阶混沌系统的同步有其特殊性, 特别是系统的动力学行为具有分数阶系统的某些特性, 因此, 研究分数阶混沌系统的同步控制具有更重要的意义^[3].

柔性变结构控制(Soft variable structure control, SVSC)是变结构控制发展的另一个分支^[4], 它不同于滑模控制, 而是通过排除滑动模态以达到较高的调节率和较短的整理时间为控制目标.柔性变结构控制可以实现线性系统控制信号的连续、平滑^[5].目前, 柔性变结构控制研究大多针对整数阶系统控制.文献[6]研究了变饱和状态柔性变结构控制; 文献[7]研究了一种应用双线性法优化的动态柔性变结构控制; 文献[8]研究了奇异系统动态柔性控制方法; 文献[9]研究了线性分数阶系统的柔性变结构控制; 文献[10]研究了一种在不消除非线性项的情况下, 运用终端滑模实现一类三维分数阶混沌系统的同步方法.针对线性系统, 柔性变结构缩短控制系统的调节和整理时间, 在控制性能上能够几乎等同于时间最优控制, 而且能够得到更加平滑的控制信号, 但采用柔性变结构控制对非线性分数阶混沌系统同步的研究相对较少.

在有控制约束的情况下, 本文设计一种线性自适应控制器, 并采用柔性控制策略对控制器进行优化, 以实现分数阶混沌系统的同步.通过分数阶Chen系统进行数值模拟来验证所设计的控制器的有效性和可行性.

1 问题描述

考虑如下n维分数阶混沌系统:

驱动系统为

(1)

响应系统为

(2)

其中: D_t^q为Caputo微分算子, 0 < q < 1;x∈ Rⁿ, y∈ Rⁿ分别为系统的状态变量; A∈ R^{n× n}为分数阶混沌系统的系统矩阵; f(x)∈ Rⁿ, f(y)∈ Rⁿ为系统的n维非线性项, f(x), f(y)满足Lipschitz条件||f(y)-f(x)||≤γ||y-x||, γ为Lipschitz常数.控制器u=(u₀₁, u₀₂, ..., u_0n)^T, |u_0i| < V_0i(i=1, 2, ..., n), V_0i为大于零的常数.

定义驱动系统(1)与响应系统(2)的同步误差向量e=y-x, e=(e₁, e₂, ..., e_n)^T.当, 即同步误差渐近趋于零时, 驱动系统(1)与响应系统(2)实现同步.

同步误差系统为

(3)

为研究上述同步问题, 需要引用如下引理.

引理1^[9]  任意分数阶系统为

其中: x∈ Rⁿ, x=0是它的一个平衡点.假定存在一个李雅普诺夫函数V(t, x(t)):[0, ∞)→R是连续可微的, 且满足局部Lipschitz条件.若有α₁||x||^a≤V(t, x(t))≤α₂||x||^ab, D_t^q(t, x(t))≤-α₃||x||^ab, 则x=0是Mittag-Leffler稳定的.如果在Rⁿ上条件亦满足, 则x=0是Mittag-Leffler全局稳定的.其中: t≥0, α∈(0, 1), α₁、α₂、α₃、a、b是正常数.

引理2^[11]  设存在实数z₁, z₂, ..., z_n和0 < q < 2, 则有下列不等式:

引理3^[12]  假设x(t)是连续可微的向量函数, 对于任何t≥t₀>0, 如下不等式成立:

其中0 < α < 1.

2 线性自适应控制器设计

分别针对同步误差系统的线性部分与非线性部分, 将线性控制器与自适应切换控制结合, 设计如下控制器:

(4)

针对误差系统线性部分设计线性控制器u₁=(u₁₁, u₁₂, ..., u_1n)^T, 即

针对误差系统非线性部分设计自适应控制器u₂=(u₂₁, u₂₂, ..., u_2n)^T, 即

k为正定n维矩阵, (A, k)是可控的.存在正的常数m>0, μ>0, 使|γ|≤μm. η的自适应律定义为

其中ω为大于零的常数.

如下定理给出了误差系统(3) Mittag-Leffle稳定的条件.

定理1  在控制器(4)的作用下, 误差系统(3)是Mittag-Leffler稳定的.

证明  选取如下Lyapunov函数：

则

其中.

由||f(y)-f(x)||≤γ||y-x||可得

选取k, 使A-k矩阵特征值为负, 由Rayleigh不等式可得

因此有

其中ξ=-λ_max{A-k}-(γ-μm)>0.由引理1可知, 系统是Mittag-Leffler稳定的, 即误差系统(3)稳定在平衡点上.

考虑控制约束|u_0i| < V_0i(i=1, 2, ..., n), 令V_0i=V_1i+V_2i, V_1i、V_2i为正实数.其中自适应控制器|u_2i|=μη||e||≤μm||e||, 因e有界, 存在正实数矩阵V₂=(V₂₁, V₂₂, ..., V_2n)^T, 使得|u_2i| < V_2i(i=1, 2, ..., n).要使控制器u满足控制约束, 则|u_1i|≤ V_0i-V_2i=V_1i.因e有界, 可选取适当k, 使得|u_1i|≤V_1i.

在系统由初始状态运动到平衡状态e=0的过程中, 在初始阶段自适应参数η趋于0, 线性控制器起主要调节作用.由于自适应律在调节过程中增大, η将在调节过程中趋近于参数上界估计值m, 而且D_t^qV(η, e)将朝着负无穷方向减小, 因此, Lyapunov函数V(η, e)将快速减小, 这样调节过程加快, 即自适应控制器的调节可加快系统的整理时间并提高调节率.

在调节临近结束时, 状态变量e将连续地减少为更小的值.由于η趋近于最优控制参数, ||e||≈0, 自适应的控制效果减弱, 降低了控制系统的抖振.将线性控制与自适应切换控制结合可增加控制器控制速度和灵敏性, 同时自适应切换控制可以更好地消除系统中的扰动, 增加系统的鲁棒性能.但考虑状态变量e将连续减少, 线性控制器|u_1i|也随之减少, 控制效果会随之减弱, 自适应控制器η在调节过程中调节范围较小, 故控制器还不能充分利用控制约束达到最优.

3 改进的柔性自适应控制器

针对上述情况, 设计柔性变结构控制器.柔性变结构控制器提供的无限子控制器能够使控制器更好地贴近控制约束, 可缩短系统的调节和整理时间.

改进柔性控制器u₁为

其中: l+l^T=Q, Q为正定矩阵; p为连续的选择变量, 选择策略为

如下定理给出了系统在改进的柔性自适应控制器作用下Mittag-Leffler稳定的条件.

定理2  如果存在正定对称矩阵Q₁以及k, 使得A₀+A₀^T=(A-k)+(A-k)^T=-Q₁, 其中Q₁正定对称, 则在柔性变结构自适应控制器(4)作用下, 系统(3)是Mittag-Leffler稳定的.

证明  选取如下Lyapunov函数:

其中: ζ为正实数, 通过Leibniz法则可求得V(η, p, e)分数阶微分, 即

将D_t^qe、选择策略D_t^qp、自适应律D_t^qη代入, 可得

其中

由引理2可得

为了简化表达式, 定义函数φ(p, e)>0, 令

(5)

代入可得

由Rayleigh不等式可得

因此可证出

其中δ=-λ_max{Q₁}+2(μm-γ)>0.

由引理1可得, 系统是Mittag-Leffler稳定的, 即误差系统(3)稳定在平衡点上.

由式(5)可以得到选择策略

(6)

选择函数φ(p, e)时, 需要将控制约束考虑在内, 使得控制器满足控制约束|u_0i| < V_0i(i=1, 2, ..., n), 柔性控制器要满足|u_1i|≤V_1i.分别取第j个柔性控制器为最大控制器输出u_1max、最小柔性控制约束V_n, |u_1max|≥u_1i(i=1, 2, ..., n), V_n≤V_1i.如果|u_1i|_max≤V_n, 则控制约束将得到满足.取第j个控制器中k, l最大值分别为k_j、l_j, 可得

(7)

整理可得

注1  当e接近平衡点e=0时, 上式定义的范围变得非常大.在这种情况下, 选择变量p将取值很大, 这将引起执行问题和严重的噪声放大及控制器中控制信号的扰动.受这些不确定性的影响, 通常需要加载额外的约束在p上, 即

其中P为较大正数.

综上所述, 可以得到

(8)

误差状态变量e包含在如下范围内:

选择g(p, e)中的函数φ(p, e)>0, 则不等式(7)将得到满足, 控制约束也将得到满足.

注2  常数θ < 1确定了控制器的抗饱和域的范围, 令常数θ>1能够防止积分器输出参数的值低于α(e)或者超过β(e).常数0 < θ₀ < 1限制控制器的抗饱和域的不起作用范围.这样约束(7)和(8)以及稳定条件φ(p, e)>0将得到满足, 有效地抑制积分饱和现象.

在调节的初始阶段, 选择变量p≈0.在这种状态下, pφ(p, e)≈0, 这样式(6)可以改写为D_t^qp≈.由于p将在调节过程中快速增大, 且D_t^qV < 0, Lyapunov函数V将快速减小, 这样调节过程非常快, 即柔性控制器比线性控制具有更短的整理时间和更高的调节率.

在调节临近结束时, 状态变量e将减少为更小值.式(6)中的e^TQe将近似等于0, 这样式(6)可以改写为

参数p将快速趋近于0, η将趋近于最优控制参数m, 即控制器(4)可近似为

4 数值仿真

考虑三维分数阶Chen系统.

驱动系统为

响应系统为

系统参数a=35, b=3, c=28, q=0.9, 要求控制器满足的控制约束为30, 即|u_0i|≤30(i=1, 2, 3).

选取ω=2, μ=0.01, m=0.13, 则线性控制器约束应为|u_1i|≤29(i=1, 2, 3).

选取柔性变结构控制器参数为:柔性控制器u₁=-(k+pl)^Te.其中: k满足λ_max{A-k} < 0及控制约束|u_1i|≤29(i=1, 2, 3), 选取对角阵k为diag(k)=[0,29,0], 最小特征值λ_max{A-k}=-3.

连续的选择变量为p, 选择策略为

选取θ₀=10^-2, θ=10⁶, φ(p, e)=30, ζ=10, Q为单位矩阵, 可以有效防止选择变量p出现积分饱和.为增强柔性控制器作用, 选取l为对角阵diag(1 000, 1 000, 1 000).

驱动与响应系统的状态变量初始值为x(0)=[-0.5, 0, 0.1], y(0)=[0.5, 1, -1].通过Matlab进行数值仿真, 误差系统响应曲线如图 1(a)所示, 文献[10]相应仿真结果如图 1(b)所示. 图 2为本文与文献[10]的控制变量变化.

从图 3可以看出, 在调节初始阶段自适应参数η趋近于0, 柔性变结构控制器起主要调节作用.当时间在0 ~ 0.2 s时, 选择变量p在调节过程中快速增大, 控制器效果增强.在图 1中, 当时间在0 ~ 1.5 s时, 虽然调节过程中e逐渐变小, 线性控制器效果减弱, 控制器远离控制约束, 但由于柔性变结构中选择变量p的增加, 增加了控制器的控制效果, 使调节过程中控制器下降趋势减弱, u₀₁和u₀₃反而有增强趋势, 控制器远离控制约束趋势减弱, 调节过程变快, 即柔性变结构控制器的调节加快了系统的整理时间.由图 3可以看到, 选择变量p在调节过程中快速减少, 自适应律在调节过程中增大, η在调节过程中快速趋近于参数上界估计值m, 控制器效果增强, 调节过程变快, 可以有效降低系统的抖振, 使系统更加平稳.

5 结论

本文给出了线性自适应控制器, 并用柔性变结构对线性部分进行了改进, 实现了分数阶非线性混沌系统的自适应同步.利用自适应控制降低了控制器的抖振, 增强了控制器的鲁棒性.在有控制约束的前提下, 利用柔性变结构控制策略提高了控制器的控制效果, 有效缩短了系统的同步时间.最后, 通过仿真算例验证了所提出的算法的优势.