0 引言

随着决策群体规模的扩大, 一些传统的群体决策方法不再适用, 大群体决策(决策者数目不少于20)问题逐渐引起人们的关注^[1], 如层次分析方法与和积法^[2]均需要决策者给出任意两方案比较的偏好信息.然而在实际决策中, 由于知识和经验等原因, 很难对一些方案进行两两比较, 而且当决策者数目较大时, 操作繁琐、算法复杂度高, 难以保证判断矩阵的一致性, 无法有效支持大群体决策问题.

针对决策属性间具有相关性的复杂大群体问题, 文献[3]运用偏最小二乘路径方法估计综合决策变量, 依据各决策变量与综合决策变量之间的相关系数确定其权重, 并据此给出决策步骤; 文献[4]考虑到决策变量与综合决策变量之间可能存在负相关的情况, 进一步提出两阶段偏最小二乘路径建模方法, 并运用其解决承包商选择问题.文献[5]提出大群体决策者聚类的启发式算法, 将决策者聚集为若干不同的决策子群体, 给出了群体偏好向量和一致性水平的计算方法; 文献[6]将此方法拓展到多方案多属性大群体决策中; 文献[7]进一步将该方法拓展到以效用值表征偏好信息的大群体决策问题中, 提出决策者意见反映度指标和差异度指标, 评价决策结果的合理性.文献[8]运用偏二叉树DEA-DA循环聚类模型, 将决策者划分为不同的决策子群体; 文献[9]在此基础上, 运用熵权法求解各决策子群体的权重、运用最小方差方法求解组内专家权重, 并集成两种权重得到决策者的组间权重, 实现方案的排序与优选.文献[10-11]提出了区间直觉模糊主成分分析方法, 据此计算决策属性的主成分, 并将归一化各主成分对应的特征值作为其权重, 达到方案决策的目的.

考虑到决策个体或子群体的非合作行为对一致性决策结果的影响, 文献[12-13]运用模糊聚类方法识别非合作决策者, 阐述对非合作决策个体或子群体的惩罚机制, 并基于自组织映射方法实现整个决策过程的可视化监控; 文献[14]在此基础上提出少数决策者决策信息处理方法以及时效性度量方式, 给出了应急方案一致性决策流程.

此外, 文献[15]针对不完全偏好信息大群体决策问题, 通过引入访问控制中的信任机制, 提出一种基于信任机制的补值方法和决策偏好二元相似度聚合方法, 运用聚类方法求解决策者权重, 从而给出方案排序结果.文献[16]简要概述了大群体决策方法及其应用的研究现状, 将大群体决策方法分为4类, 针对决策者具有多群组结构特征的大群体决策问题, 将给定的决策者群组主观权重和依据一致性水平确定的客观权重相集成, 得到每个决策方案的集体百分数分布和优势关系矩阵, 结合PROMETHEE Ⅱ方法对决策方案进行排序和优选, 在一定程度上避免了优势关系矩阵的不一致性.

上述研究成果推动了大群体决策方法的理论研究与实际应用, 为克服决策者权重求解主观性大和方法无标准问题, 文献[17]运用经验模态分解方法提取专家评价信息的客观趋势成分, 并将其均值作为方案排序依据.该方法不求解决策者权重, 最大程度排除了主观因素对决策结果的影响, 但在以下两个方面有待进一步研究:

1) 当输入序列长度短(决策者少)时, 经验模态分解结果极易受端点效应(运用插值方法求解端点附近包络曲线时, 端点处的误差不断累积, 并向内传播污染整个序列)的影响, 从而导致分解结果失真^[18], 影响决策结果的客观性.

2) 每个方案的决策者评价值是一个集合, 具有无序性特征, 而经验模态分解作为一种数据驱动的信号处理方法, 其将输入序列作为时间序列处理, 导致不同的排序方式对应不同的决策结果^[19].

为此, 本文将随机模拟和滤波分析方法相结合, 提出大群体随机滤波决策方法, 搜寻稳定的决策结果.该方法采用不放回随机抽样方法产生位置向量, 将方案评价值依位置向量排序构成序列, 运用滤波分析方法分离方案评价值的主客观成分, 计算客观成分的均值作为方案的综合评价值, 迭代上述过程搜寻稳定的决策结果; 在数据驱动视角下, 以经验模态分解为例, 给出大群体随机滤波决策方法的应用模式, 并运用案例验证该方法的可行性和有效性.

1 决策方法 1.1 问题分析与基本假设

设大群体决策者D={D₁, D₂, ..., D_n}, n≥20, 决策方案集C={C₁, C₂, ..., C_m}, 属性集U={U₁, U₂, ..., U_p}, u_{i, j}^(k)表示决策者D_k对方案C_i的属性U_j的评价值, 试确定方案的排序.决策者评价信息具有3个维度:方案维度、属性维度和决策者维度, 为清晰展示评价值的数据形式, 将其转换成二维表, 如表 1所示.

设属性权重为ω={ω₁, ..., ω_j, ..., ω_p}, 则决策者D_k对方案C_i的评价值为

(1)

鉴于本文旨在给出一种无需决策者权重信息的方案排序方法, 故以表 2为基础数据, 由基本假设出发, 将随机模拟与滤波分析相结合, 构建具有数据驱动特征的随机滤波决策方法.

在群决策过程中, 决策者受社会背景、知识结构、个人经验的限制, 以及对有关情况的把握程度和个人偏好的不同, 使得不同决策者对同一方案的评价值存在一定的差异(主观成分), 同时也必定存在决策认知的一致性信息(客观成分), 隐含于决策信息中, 且不随主观因素的干扰而变化, 如图 1所示.

假设1  决策者对方案的评价值包含主观成分(S_{i, k})和客观成分(O_{i, k}), 即

(2)

在决策过程中, 如何提取决策者评价值所隐含的客观成分, 减少主观成分对决策结果的影响, 加强决策结果的客观性, 显得至关重要.由图 1可知, 主观成分围绕客观成分随机波动, 使得决策者评价值具有明显的波动特征.将评价值集合视为围绕一定均值水平随机波动的信号序列, 选择合适的滤波分析方法, 可将信号序列分解为两部分:具有高频波特征的主观成分和具有近似水平趋势特征的客观成分.

1.2 随机滤波决策方法

在决策过程中, 决策者给出评价值的先后顺序对决策结果是无影响的, 如组织5位专家对备选方案进行评估, 有

(3)

式(3)表明, 方案的评价值之间本质上不存在时间的先后顺序, 不构成时间序列, 这使得现有的滤波方法不能直接适用.因此, 结合随机模拟的思想, 构建随机滤波决策方法, 具体过程如下.

Step 1:依据方案C_i(i=1, 2, ..., m)的评价值集合X_i计算集合的势card(X_i)=n, 并生成评价值位置集合{1, 2, ..., n}.

Step 2:对位置集合采用不放回随机抽样方法生成位置向量pos(对应决策者顺序), 按照位置向量将方案评价值集合转换为序列, 记作x(t)=X_i[pos].

Step 3:以x(t)为输入序列, 运用滤波方法分解序列, 得到此位置向量下决策者评价值的主观成分和客观成分.

Step 4:迭代执行Step 2和Step 3, 直到迭代次数大于预设的迭代阈值N, 依据位置向量汇总主观评价值和客观评价值, 如表 3和表 4所示.

Step 5:计算决策者迭代分解所得的客观评价值的均值

(4)

表征决策者对方案C_i的客观评价值, 如表 4所示.

Step 6:计算所有决策者对方案C_i的客观评价值的均值

(5)

表征该方案的综合评价值, 并据此对方案进行排序.

在上述决策过程中, Step 5运用迭代分解所得的客观评价值的均值表征客观评价值, Step 6运用客观评价值的均值表征方案的综合评价值, 下面分析其理论基础和物理意义.

引理1^[20]  设随机变量X₁, ..., X_l, ..., X_L相互独立, 且具有相同的期望和方差, 即E(X_l)=μ, Var(X_l)=σ², 作前N个随机变量的均值

则对于任意正数ε, 有

(6)

引理1表明, 样本均值依概率收敛于总体均值, 且样本数目越大样本均值越集中在总体均值的附近, 同时样本均值是总体均值的最优无偏估计, 故运用样本均值估计总体均值是合理的.

事实上, 每对序列作一次分解(Step 2和Step 3)就是一次随机试验, 试验结果为样本空间中的一个向量.对序列进行N次分解等同于在相同的条件下, 独立地进行N次试验, 则完全有理由认为, 样本[O_{i, 1}^(l), ..., O_{i, k}^(l), ..., O_{i, n}^(l)], l=1, 2, ..., N, 分布的总体均值为[μ_{i, 1}, ..., μ_{i, k}, ..., μ_{i, n}].同样地, 不同决策者对同一方案的评价值也是相互独立的, 且分解过程中评价值在评价信息序列中的位置为随机的, 故认为O_{i, 1}^(l), ..., O_{i, k}^(l), ..., O_{i, n}^(l)为相互独立的随机变量.所以, 结合引理1可知, Step 5和Step 6运用均值来表征决策者客观评价值和方案客观评价值是合适的.

联立式(5)和(6), 有

(7)

且

(8)

式(7)在理论上给出了用均值逼近方案真实值的可靠度误差下界, 且随着迭代次数的增加, 可靠度的误差下界逐渐增大, 故可设置较大的迭代次数阈值.此外, 式(7)表明, 决策者数目越多(n→∞), 该方法的可信度越高, 这是该方法适用于大群体决策的原因之一.

由方案C_i的客观成分的样本均值依概率收敛于总体均值可知, 给定精度ϵ或最大迭代次数N, Step 4中迭代终止条件有以下3种:

1) 若, 则迭代结束;

2) 若, 则迭代结束;

3) 若迭代次数l>N, 则迭代结束.

迭代终止条件1)和2)具有自适应特征, 且相互等价.由式(2)可知S_{i, k}^(l)+O_{i, k}^(l)=X_{i, k}, 故

即.

1.3 随机经验模态分解滤波决策方法

不同于傅里叶分解、小波分解和奇异谱分解等常用的滤波分析方法, 经验模态分解是一种完全由数据驱动的自适应方法, 其在信号序列分解过程中无需指定先验基函数, 已广泛应用于非线性、非平稳时间序列的分析.

数据驱动视角下, 选择经验模态分解为Step 3中的滤波方法, 即可构建随机经验模态分解滤波决策模型.经验模态分解通过迭代搜寻固有模态序列和剩余趋势序列, 具体过程如下.

Step 1:对x(t)的局部极大值和局部极小值分别做3次样条插值, 得到对应的上包络曲线u(t)和下包络曲线v(t), 计算局部均值m(t)=[u(t)+v(t)]/2.

Step 2:若h(t)=x(t)-m(t)为固有模态序列(又叫IMF分量), 则c₁(t)=h(t)为第1个固有模态序列; 若h(t)不为固有模态序列, 则将h(t)作为新序列, 转Step 1, 直至产生第1个固有模态序列, 记作c₁(t).

Step 3:以r(t)=x(t)-c₁(t)为新序列, 转Step 1, 求解其他固有模态序列c_j, 直至r(t)为剩余趋势序列.

在上述过程中, 固有模态序列是具有不同频率特征的高频分量, 需同时具备如下特征: 1)局部极值点的个数和过零点的个数相等或相差1; 2)任何时刻, 局部极大值点确定的上包络曲线和局部极小值点确定的下包络曲线均值为0.剩余趋势序列需满足以下条件之一: 1)近似为常数或单调序列; 2)局部极值点个数等于1^{[18, 21]}.

最终, 输入序列可表示为固有模态序列与剩余趋势序列之和, 即

(9)

故

(10)

结合随机滤波决策方法的Step 1~Step 6可计算所有方案的综合评价值, 并以此为每个方案的排序度量, 即可得到所有方案的最终排序结果, 如图 2所示.

2 算例分析 2.1 数据描述

葡萄酒质量的确定一般是通过聘请一批有资质的品酒员(Wine taster, WT)进行品评, 每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分, 确定葡萄酒的质量.现有20位品酒员依据10个属性对27种葡萄酒样品(Wine sample, WS)进行品评打分(数据来源: http://www.mch.edu.cn/problem/2012/2012.html, 访问时间: 2017-10-23), 限于篇幅, 此处仅给出样品01的评价结果以说明评价值的数据形式, 如表 5所示.

由表 5可知, 各属性的重要性程度已包含于评价值.为表述方便, 将评价值均缩小10倍, 即ω_j=0.1, j=1, 2, ..., 10, 依据式(1)计算得到20位评酒员对27种酒样品的评价值, 如表 6所示.

2.2 决策过程

由表 6可知, 样品01的评价值集合X₁={5.1, 6.6, 4.9, 5.4, 7.7, 6.1, 7.2, 6.1, 7.4, 6.2, 6.8, 7.1, 8.0, 5.2, 5.3, 7.6, 7.1, 7.3, 7.0, 6.7}, 以此样品为例, 说明随机经验模态分解滤波决策方法的计算过程.

Step 1:依据评价值集合X₁计算得card(X₁)=n=20, 其对应位置集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

Step 2:对位置集合采用不放回随机抽样方法生成位置向量pos=[18,2,7,11,10,4,9,19,5,17,3,12,8,20,14,16,6,1,15,13],其对应序列x(t)=[7.3,6.6,7.2,6.8,6.2,5.4,7.4,7.0,7.7,7.1,4.9,7.1,6.1,6.7,5.2,7.6,6.1,5.1,5.3,8.0].

Step 3:运用经验模态分解得到此位置向量下决策者评价值的主观成分S₁= [0.00, -0.25, 0.62, 0.34, -0.24, -1.10, 0.82, 0.36, 1.07, 0.52, -1.58, 0.72, -0.18, 0.49, -0.95, 1.50, -0.05, -1.31, -1.69, 0.00]和客观成分O₁=[7.30, 6.85, 6.58, 6.46, 6.44, 6.50, 6.58, 6.64, 6.63, 6.58, 6.48, 6.38, 6.28, 6.21, 6.15, 6.10, 6.15, 6.41, 6.99, 8.00].

Step 4:取迭代阈值N=2 000, 重复执行Step 2和Step 3, 并依据位置向量汇总主客观评价值, 得如表 3和表 4所示的二维表(2 000×20), 此处不再给出.

Step 5:计算每位决策者对样品01的客观评价值, 随着迭代次数的逐渐增加, 客观评价值快速收敛为: 6.14, 6.52, 6.09, 6.24, 6.78, 6.42, 6.65, 6.42, 6.70, 6.44, 6.57, 6.63, 6.91, 6.19, 6.21, 6.75, 6.63, 6.67, 6.62, 6.55, 如图 3所示.

Step 6:计算样品01的综合评价值为6.505.

类似地, 依次计算27种酒样品的综合评价值, 随着迭代次数的增加, 序关系逐渐稳定, 算法达到收敛状态, 如图 4所示, 排序结果如表 7所示.

2.3 对比分析

随机经验模态分解滤波决策方法克服了主客观分离结果受序列元素先后顺序影响的不足, 是文献[17]的进一步改进.为此, 与文献[17]中的方法进行对比, 分析两种方法结果的差异, 说明本文方法的合理性及其对应决策结果的稳定性.设定3种不同的序列元素排列次序(即位置向量), 依据文献[17]的方法计算排序结果, 如表 7所示.

由表 7可知, 依据文献[17]的决策方法所得的3种排序结果不一致, 表明决策结果依赖于位置向量的选择, 决策方法不稳定.进一步地, 结合图 4可知, 随着迭代次数的增加, 位置向量对决策结果的影响逐渐减弱, 决策结果快速趋于稳定, 达到稳定状态, 表明了本文方法的稳定性与合理性.

此外, 图 4展示了样品等级的聚集分布情况, 给定等级数, 可快速将样品进行等级类别划分, 且结果的可解释性强.

3 结论

考虑决策者受自身社会文化背景、知识结构、个人经验和经历的限制, 使得其评价信息包含主观成分和客观成分这一客观事实, 本文将随机模拟和滤波分析方法相结合, 给出了大群体决策随机滤波方法的初步理论模式, 并对其进行了深入研究:

1) 以大数定律为工具, 给出了以客观成分的均值作为大群体决策者一致化结果的理论基础, 解释了其物理意义, 论证了方法在大群体决策中的优势.

2) 给出了大群体随机滤波决策算法, 分析了算法的收敛性与收敛速度, 讨论了自适应收敛条件之间的联系.此外, 该算法具有无需求解专家权重和易于并行计算的优点.

3) 以经验模态分解方法为例, 给出了大群体决策随机滤波方法的应用模式, 将其应用于葡萄酒等级划分中, 验证了方法的合理性和有效性.

4) 对决策者评价信息为区间数、模糊数、语言变量或多种数据类型相混合的大群体决策问题, 构建相适应的随机滤波决策方法有待于进一步研究.