控制与决策  2020, Vol. 35 Issue (11): 2780-2786  
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熊卫华, 董瑞华, 吴之昊, 顾敏明. 自适应事件触发的马尔科夫跳变多智能体系统一致性[J]. 控制与决策, 2020, 35(11): 2780-2786.
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XIONG Wei-hua, DONG Rui-hua, WU Zhi-hao, GU Min-ming. Adaptive event-triggered consensus for Markovain jumping multi-agent systems[J]. Control and Decision, 2020, 35(11): 2780-2786. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.1507.
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基金项目

浙江省自然科学基金项目(LQ18F030011);国家自然科学基金项目(61803339, 61503341)

作者简介

熊卫华(1979-), 女, 副教授, 博士, 从事信号处理、故障诊断等研究, E-mail: vihoo_2001@163.com;
董瑞华(1995-), 男, 硕士生, 从事多智能体系统协调控制的研究, E-mail: 463837688@qq.com;
吴之昊(1995-), 男, 硕士生, 从事图像处理与模式识别的研究, E-mail: wuzhihao_zstu@163.com;
顾敏明(1982-), 男, 讲师, 博士, 从事嵌入式、信号处理等研究, E-mail: guminming@163.com

通讯作者

熊卫华, E-mail: vihoo_2001@163.com

文章历史

收稿日期:2018-11-04
修回日期:2019-02-22
自适应事件触发的马尔科夫跳变多智能体系统一致性
熊卫华 , 董瑞华 , 吴之昊 , 顾敏明     
浙江理工大学 机械与自动控制学院,杭州 310018
摘要:针对非线性马尔科夫跳变多智能体系统在有向固定拓扑下的领导跟随一致性问题, 为减少智能体间不必要的通信传输, 节约网络资源, 保证系统性能, 提出一种自适应事件触发控制策略.首先, 将每一个智能体均视为马尔科夫跳变系统, 且马尔科夫链的转移概率部分未知; 通过简单的模型转换建立误差系统, 将多智能体系统一致性问题转化为误差系统的稳定性问题; 在此基础上, 构造合适的Lyapunov-Krasovskii泛函并利用Jensen不等式和线性矩阵不等式等技术给出使多智能体系统达到领导跟随一致性的充分条件及控制器设计方法; 通过求解线性矩阵不等式可以得到多智能体系统一致性控制器增益矩阵和事件触发参数矩阵; 最后, 通过数值仿真验证所提出方法的有效性.
关键词多智能体系统    自适应    事件触发    一致性    马尔科夫跳变    线性矩阵不等式    
Adaptive event-triggered consensus for Markovain jumping multi-agent systems
XIONG Wei-hua , DONG Rui-hua , WU Zhi-hao , GU Min-ming     
Faculty of Mechanical Engineering and Automation, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China
Abstract: Aiming at the leader-following consensus problem of nonlinear Markovian jumping multi-agent systems under the directed fixed topology, in order to reduce unnecessary communication between agents, save network resources and ensure system performance, an adaptive event-triggered control strategy is proposed. Firstly, each agent is taken as a Markovian jumping system, and the transition probabilities of Markov chain is partially unknown. Then, the error system is established by simple model transformation, and the consensus problem of multi-agent systems is transformed into the stability problem of the error system. On this basis, the appropriate Lyapunov-Krasovskii functional is constructed, and the sufficient conditions and the controller design method are provided for multi-agent systems to achieve leader-following consensus by using the Jensen inequality and linear matrix inequality techniques. In addition, by solving the linear matrix inequalities, the multi-agent system consensus controller gain matrices and the event-triggered parameter matrices can be obtained. Finally, the effectiveness of the proposed method is verified by numerical simulation.
Keywords: multi-agent systems    adaptive    event-triggered    consensus    Markovian jumping    linear matrix inequalities    
0 引言

近年来, 由于多智能体系统在传感器网络、无人机编队等[1-4]领域具有较好的应用前景, 对其相关问题的研究受到了广泛关注.一致性问题作为多智能体系统协同控制中的一个重要问题, 迄今为止一直是一个热门的研究课题.尤其, 当多智能体系统中存在领导者时的一致性问题引起了众多学者的研究兴趣[5-6].

现实中广泛存在随机噪声和参数不确定等因素, 导致系统的状态通常是随机变化的而不是确定的.因此, 系统的稳定性和性能难免受到系统结构和参数变化的影响.通过使用马尔科夫跳变系统模拟受随机变化影响的系统, 为解决上述问题提供了有效的方法, 相关研究成果见文献[7-8].随着研究的深入, 越来越多的研究者意识到多智能体系统与马尔科夫跳变参数的结合在许多领域存在应用前景(详见文献[9-10]及其引用文献).基于此, 文献[9-12]对实现马尔科夫跳变多智能体系统一致性进行了相关研究:文献[9]通过采用容错控制、Lyapunov-Krasovskii稳定性理论等, 研究了存在输入饱和及马尔科夫跳变参数的非线性多智能体系统的领导跟随一致性控制设计问题; 文献[12]通过线性矩阵不等式技术构建了保证马尔科夫跳变多智能体系统在随机采样事件触发控制下实现均方一致性的充分条件.

转移概率是马尔科夫跳变系统最重要的部分, 它对系统的行为起到了重要作用.在实际情况中, 转移概率矩阵中每个元素的值可能难以获得或不能使用. Zhang等[13]成功地解决了这类问题; 此外, Li等[14]对具有输入饱和及部分未知转移概率的马尔科夫跳变系统的事件触发控制器进行了设计.受此启发, 本文考虑了同时具有已知、在给定区间内不确定和未知3种类型转移概率的马尔科夫链.

由于智能体间的通信网络带宽通常是有限的, 为此研究者们将事件触发控制引入对多智能体系统的研究中.相比于周期采样控制, 事件触发控制仅在预设的事件触发条件不成立时, 系统才执行控制任务.因此能有效降低控制器更新频率, 节省网络带宽.关于多智能体系统的事件触发一致性研究见文献[15-19].

上述文献大多采用触发参数固定的“静态”事件触发控制方案.本文采用一种自适应事件触发控制策略, 它可以自适应地调整触发参数, 以节省有限的网络资源, 同时保证所需的控制性能, 最终使多智能体系统达到领导跟随一致性.

1 问题描述 1.1 图论知识

表示N阶有向有权图.其中: , 分别表示节点集合和边集合, 表示智能体i的邻居的集合.有向图的度矩阵可以表示为, 表示有向图的权重邻接矩阵, 如果, 则aij=1, 否则aij=0.相应图的Laplacian矩阵为.如果图中至少存在一个节点到其他节点各节点均有一条有向路径, 则称图中包含有向生成树.

1.2 模型描述

考虑带有马尔科夫跳变参数的随机多智能体系统, 包含一个领导者智能体和N个跟随者智能体, 其动态方程描述为

(1)

其中: x0(t)∈Rn表示领导者智能体的状态, xi(t) ∈Rnui(t)∈Rm分别表示智能体i的状态和控制输入; f(·)∈Rn表示一个连续可微非线性函数, A(r(t))、B(r(t))和C(r(t))表示与r(t)有关的具有合适维度的常数矩阵.

r(t)为属于有限集合的连续时间马尔科夫过程; 记马尔科夫转移概率矩阵为, πrs表示从模态r跳变到模态s的转移概率, 且满足如下条件:

其中: , β >0.当rs时, πrs≤ 0;当时, .定义马尔科夫转移概率矩阵.

智能体i的事件触发条件定义如下:

(2)

其中: Φr>0表示待设计的事件触发矩阵, tkih表示智能体ik个采样传输时刻, tkih+lih表示当前采样时刻.

考虑触发参数δi(t)是时变的, 且满足如下微分函数:

其中: δi(0)∈[0, 1]为触发参数初始值, 且有

这里ρ表示非负常数.为了便于理论研究, 假设触发参数δi(t)在区间[δm, δM]内有界变化, δmδM表示δi(t)的上界和下界.

注1  不难看出, 最小的事件触发间隔时间至少为一个固定采样周期h>0, 从而避免了Zeno现象.

基于之前的讨论, 给出如下事件触发一致性控制协议:

(3)

其中: t∈ [tkih, tk+1ih] ∩ [qh, (q+1)h]; q表示一个整数; K(r(t))表示待设计的控制器增益矩阵; bi表示智能体i与领导者之间的耦合权重, 定义如下, 如果领导者能传输信息到智能体i中, 则bi>0, 否则b0=0.

对于r(t) = r, ; 令ei(qh) = xi(tkih)-xi(qh), zi(t)=xi(t)-x0(t), f(zi(t), t)=f(xi(t), t)-f(x0(t), t).将式(3)代入(1), 并以矩阵形式重写可得

(4)

其中: H=L+B, B=diag{b1, b2, …, bN}, L表示Laplacian矩阵; 向量组z(t)=[z1T(t), z2T(t), …, zNT(t)]T, e(qh) = [e1T(qh), e2T(qh), …, eNT(qh)]T, F(z(t), t)=[fT(z1(t), t), fT(z2(t), t), …, fT(zN(t), t)]T, t∈ [qh, (q+1)h); τ=t-qh, τ是分段连续的, 其在tqh点的微分为, 0≤ τ <h.

为了更好地分析, 补充状态z(t)的初始条件为z(θ) = ϕ(θ), θ∈[-h, 0).其中: ϕ(0) = col{z1(0), z2(0), } …, zN(0)且, 这里表示连续函数[-h, 0) → Rn的Banach空间且满足.

以下给出文中要用到的几个假设和引理.

假设1  智能体系统拓扑图是以领导者为根节点的有向生成树.

假设2  f(x, t)是关于时间t全局Lipschitz连续的, 即存在正实数α>0使得所有xyRn满足

引理1[19]  对于具有合适维度的矩阵R>0、X和标量μ, 有如下不等式成立:

引理2[19]  对于给定的标量λ ∈(0, 1)以及矩阵R>0, 两个矩阵M1M2Rn×m, 对于所有的向量φ(t)∈Rm定义函数g(λ, R)为.如果存在一个矩阵SRn× n}满足, 则有

2 主要结果

选择如下Lyapunov-Krasovskii泛函:

(5)

且有Pr>0, Q>0, R>0, W>0.此外, 令

2.1 一致性分析

定理1  基于假设1及一致性控制协议(3), 对于给定h>0, α>0, Λ=diag{δ1M, δ2M, …, δNM}, 如果存在正定对称矩阵Pr>0, Φr>0, , Q>0, R>0, W>0及适当维数的矩阵S, 满足以下线性矩阵不等式:

(6)
(7)

其中:

则系统(4)是指数均方稳定的.

证明  定义Lyapunov-Krasovskii函数的弱无穷小算子

由式(5)可得

(8)

使用Jensen不等式并根据引理2可得

(9)

其中: I1=[I, 0, 0, 0, 0], I2=[0, I, 0, 0, 0], I3=[0, 0, I, 0, 0], I12=I1-I2, I23=I2-I3.

由式(2)可得

(10)

根据假设2可得以下不等式成立:

(11)

联合式(4)和式(8) ~ (11)可得

(12)

对式(12)两边求数学期望, 在区间t∈[qh, (q+1)h)上可得

显然, 如果Ξ1+Ξ2T(R+W)Ξ2 < 0, 则存在足够小的常数c1>0, 使得

即系统是均方稳定的.使用类似文献[5-6]中的方法可得系统(5)是指数均方稳定的, 然后使用Schur补引理可得不等式(6)和(7).

2.2 控制器设计

基于定理1, 可以给出多智能体系统达到领导跟随一致性的控制器设计方法.主要结果如下:

定理2  对于给定h>0, α>0, μ>0, Λ=diag{δ1M, δ2M, …, δNM}, 如果假设1成立且存在正定对称矩阵, , , , , 及适当维度的矩阵, 满足以下线性矩阵不等式:

(13)
(14)

其中

则多智能体系统(1)能达到领导跟随指数均方一致性, 且一致性控制器增益为.

证明  令

同时根据引理1可得

对不等式(6)和(7)两端分别乘以对角矩阵diag{Pr-1, Pr-1, Pr-1, Pr-1, INn, INn}和diag{Pr-1, Pr-1}, 然后利用Schur补引理可得不等式(13)和(14).

3 数值仿真

考虑包含一个领导者和5个跟随者的马尔科夫跳变多智能体系统, 其常数矩阵ArBrCr, r=1、2、3及马尔科夫转移概率矩阵Π如下:

其中: π11和π23为矩阵中给定区间内不确定元素, “?”为未知元素.

非线性函数假设为f(xi(t), t)=0.01sin(xi(t)), i=0, 1, 2, 3, 4, 5.智能体间通信拓扑图如图 1所示.

图 1 通信拓扑图

由拓扑图容易得到B=diag{1, 1, 0, 0, 0}和相应的Laplacian矩阵.

设定采样周期h=0.06 s, α=0.1, μ=4, ρ=0.000 4, 触发参数上界为δiM=0.3, i=1, 2, 3, 4, 5.通过解定理2中的线性矩阵不等式可得一致性控制器增益矩阵

触发参数矩阵

假设各智能体初始状态分别为

情况1  自适应触发参数初值、上下界分别为δi(0) =0.1, δim=0.001, δiM=0.3, i=1, 2, 3, 4, 5.其余参数为设定值.仿真结果如图 2所示.

图 2 马尔科夫状态图

图 2为具有3种模态的一种可能的马尔科夫跳变状态图; 图 3为智能体i(i=1, 3)触发参数变化过程; 图 4为领导者与跟随者智能体间跟踪误差, 可知误差趋于0, 故多智能体系统达到领导跟随一致性.

图 3 自适应触发参数δ(t)变化过程
图 4 跟踪误差z的状态

情况2  取固定触发参数分别为δ=0.001, δ=0.1, δ=0.3, 其余参数不变.在与情况1相同的马尔科夫跳变状态下进行仿真.

图 5(a)为智能体1在自适应事件触发参数时的事件触发时刻及触发间隔时间(所有智能体触发总数为330次); 图 5(b) ~ 图 5(d)为智能体1在不同固定触发参数时的事件触发时刻及触发间隔时间(所有智能体触发总数分别为899次、185次、114次).

图 5 事件触发时刻及间隔时间

图 5(b) ~ 图 5(d)可知:触发参数越大, 触发次数越少, 控制器更新次数越少, 数据传输量越少; 触发参数越小则相反.由图 3可知:自适应事件触发参数在误差较大时, 触发参数迅速减小, 但不低于设定的最小值, 保证传输数据的准确性; 当误差逐渐减小时, 触发参数增大, 但不超过设定的最大值, 降低控制器更新频率, 节约网络资源.仿真结果表明, 所设计的控制器不仅能有效节省网络资源, 还能较好地保证系统的性能.

4 结论

本文研究了基于自适应事件触发控制策略的具有部分未知转移概率的马尔科夫跳变多智能体系统领导跟随一致性.通过模型转换, 将多智能体系统的一致性问题转化为误差系统的稳定性问题.利用Lyapunov-Krosovskii泛函和弱无穷小算子等技术, 得到了使系统达到指数均方稳定的充分条件.在此基础上, 设计了相应的一致性控制器, 使得多智能体系统最终达到领导跟随一致性.最后, 通过数值仿真验证了理论分析的正确性.

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