不确定系统的控制是控制科学的核心问题[1].围绕此问题, 涌现出大量的现代控制方法, 如自适应控制、鲁棒控制、内模原理、滑模控制等[2], 但这些方法在处理不确定性时, 往往因特定的局限性而不利于工程实用, 反倒是经典的PID控制, 以其“天生”的抗干扰性和模型不依赖性, 至今仍广泛应用于工业控制领域.沿承PID控制的思想精髓[3], 韩京清[4]在对依赖于精确数学模型的现代控制理论进行深刻反思的基础上, 于20世纪90年代提出了更为高效的自抗扰控制(Active distrbance rejection control, ADRC)技术.大量数值[4-7]和应用[7-9]方面的研究表明, ADRC不依赖被控对象的精确数学模型即可对存在复杂不确定性和外部干扰的系统实施有效控制, 具有很强的鲁棒性和抗干扰性, 同时控制能量更少, 非常适宜工程应用.
然而, 受限于ADRC中非线性、非光滑的反馈结构, 其理论分析十分困难, 在应用中需要调节的控制器参数也较多.为了简化ADRC的分析和实现, 文献[10]利用带宽概念, 提出了单参数调节的线性ADRC(Linear ADRC, LADRC)方法.之后, 文献[11]在直接假设系统不确定性的导数有界的条件下, 分析LADRC的收敛性, 得出了系统的估计和跟踪误差有界.文献[12]提出了一种利用扩张高增益观测器对系统不确定性进行估计的输出反馈控制方法, 给出了闭环系统的稳定性证明.本质上, 文献[12]的扩张高增益观测器与文献[11]的线性扩张状态观测器是一致的, 因此两者严格的理论分析极大地推动了ADRC的理论研究.文献[13-14]在此基础上分别针对MIMO下三角不确定非线性系统和不确定线性时变系统, 详细分析了LADRC闭环系统的动态性能, 揭示了系统误差与设计带宽的关系.文献[15]进一步研究了LADRC的控制性能与采样步长的定量关系.文献[16]从频域的角度分析了二阶LADRC的稳定性及其动态性能与控制器参数的关系, 扩展了LADRC的研究思路.文献[17-18]将上述LADRC变换为具有相似结构的非线性ADRC (Nonlinear ADRC, NLADRC), 在假设存在满足一定条件的Lyapunov函数的前提下, 给出了SISO和MIMO系统下的NLADRC收敛性证明.然而, 由于假设条件较为严格, 通常难以判断被控系统是否满足要求, 控制器设计也比较困难.
为此, 本文针对一类一般的SISO不确定非线性系统, 在文献[17]的基础上, 首先基于单参数高增益(Single-parameter and high-gain, SPHG)观测器思想, 设计一种通用的线性自抗扰控制器; 然后, 在对系统不确定性以适当限制的前提下, 证明所提出的LADRC方法的收敛性, 同时分析闭环系统的跟踪性能与控制参数的关系; 最后, 通过两个算例仿真的纵、横向对比验证所提出方法的有效性.
1 问题描述考虑如下SISO高阶非线性系统:
(1) |
其中: u为控制输入; y为系统输出; f(·)为系统不确定内部动态; w(t)为系统未知的外部干扰; b(t)为时变不确定的控制量系数, 满足b1<b(t)<b2.
取常数b0∈(b1, b2), 将(b(t)-b0)u(t)作为系统未知的控制扰动, 并将系统所有不确定性作为总和扰动; 取状态变量
将总和扰动扩充为新的状态变量
并记
(2) |
本文的控制目标是, 针对非线性系统(2), 设计线性自抗扰控制器, 使系统输出y及其至n-1阶导数
为实现控制目标, 作如下假设.
假设1 非线性函数f(·):Rn+1→R关于其自变量的所有偏导数连续且有界, 同时满足
其中: i=1, 2, ..., n, 常数M1>0.
假设2 除有限个时刻点外, 外扰函数w(t):R→R连续可导, 且满足
假设3 控制量系数b(t):R→R连续可导, 且满足
为方便表示, 在不引起歧义的前提下, 后文将省略时间变量t.针对非线性系统(2), 设计具有“扰动估计补偿”功能的线性自抗扰控制器, 如图 1所示.其结构主要由线性跟踪微分器(Linear tracking differentiator, LTD)、线性扩张状态观测器(Linear extended state observer, LESO)和线性状态误差反馈(Linear state error feedback, LSEF) 3部分组成.
LTD在LADRC中相对独立, 其作用在于跟踪给定的输入信号, 即v1→v0, 以避免较大的起始误差对系统的冲击, 起到信号过渡的作用; 同时得到输入的各阶微分信号, 即vi+1→v0(i), i=1, 2, ..., n.将文献[19]给出的二阶LTD推广到高阶SPGH-LTD形式, 有
(3) |
其中: v'1=v1-v0, R为决定跟踪快慢的调节增益, 系数ai(i=1, 2, ..., n+1)满足
为Hurwitz矩阵, v=[v1, v2, ..., vn]T.
2.2 线性扩张状态观测器针对非线性系统(2), 利用实时输入u、输出y构造SPGH-LESO如下:
(4) |
其中: z=[z1, z2, ..., zn]T为系统状态x的估计, zn+1为总和扰动xn+1的估计, r为调节参数(LESO增益的倒数), 系数ki(i=1, 2, ..., n+1)满足
为Hurwitz矩阵.
2.3 线性状态误差反馈定义系统的状态误差e=z-v=[e1, e2, ..., en]T, 并考虑对总和扰动xn+1的实时补偿, 设计如下的LSEF:
(5) |
其中: g(e)= l1e1+l2e2 +... +lnen, 系数lj(j=1, 2, ..., n)满足
为Hurwitz矩阵.
3 收敛性分析定义1 LADRC的收敛性是指, 对于任意给定的非线性系统(2)、LTD(3)和LESO(4)的初始状态, 有:
由于LTD在LADRC中的相对独立性, 在分析LADRC的收敛性时不再将LTD耦合于闭环系统, 关于LTD(3)的收敛性有如下结论[20].
引理1 若矩阵A是Hurwitz的, 光滑函数v0:[0, ∞)→R满足
其中常数T, B>0.则LTD(3)在如下意义下收敛:对于任意给定的LTD(3)的初始值以及任意的ρ> 0和0<τ0<T, 存在常数R0> 0, 使得
在t∈[τ0, T]上对任意的R>R0都成立.
根据引理1可知, 对于任意的R>R0, 存在常数M5>0, 使得‖vT, vn+1‖≤ M5.
注1 若无特别说明, 文中‖·‖均指Euclid范数.
定理1 对于满足假设1~假设3的SISO高阶非线性系统(1), 设计如式(3)~(5)的通用LADRC, 控制器系数ai, ki, lj满足矩阵A, K, L是Hurwitz的, 那么对于任意给定的闭环系统初始值, 存在常数r0>0, 使得对于任意r∈(0, r0), 有:
1) 存在τ1>0和依赖于τ1的常数T1>0, 使得对于任意t∈(τ1, ∞), 满足
2) 存在τ1>0和依赖于τ1的常数T2>0, 满足
证明 1)构造闭环系统误差模型.令
(6) |
沿式(2)和(4)求导可得
(7) |
其中
(8) |
令
(9) |
沿式(2)、(3)和(5)求导可得
(10) |
令
则有e = ζ-ε, 进而式(7)和(10)可写为
(11) |
(12) |
其中:
2) 证明闭环系统误差有界.取Lyapunov函数V:R2n+1→R如下:
(13) |
其中:矩阵P1, P2>0分别为如下Lyapunov方程:
(14) |
(15) |
的解, In+1, In分别为n+1、n维单位矩阵.
对式(13)沿式(11)和(12)求关于t的导数, 得到
(16) |
由假设1、Lagrange中值定理和Cauchy-Schwarz不等式, 可得
(17) |
同理可得
(18) |
根据式(5), 有
移项可得
其中
根据式(6), ∀r ∈(0, 1), 有|εi|≤|ξi|, i = 1, 2, ..., n, 进而有
即‖ε‖≤‖ ξ‖, 从而可得
(19) |
继续考虑式(8)最后1项, 结合式(3)和(4)可得
其中
根据式(17)、(19)、假设2、假设3和‖vT, vn+1‖≤ M5可知, 存在常数M7, M8, M9>0, 使得
从而可得
(20) |
其中
将式(17)~(20)代入(8), 并结合假设1~假设3可得, 存在常数M10, M11, M12>0, 使得
(21) |
对于式(16)的其他项, 有
(22) |
此外有
其中‖P‖F为矩阵P的Frobenius范数.令λmin(P)和λmax(P)分别为矩阵P的最小和最大奇异值, 则有
(23) |
同理可得
(24) |
最后, 将式(14)、(15)、(21)~(24)代入(16), 得到
(25) |
其中
令
对于任意r∈(0, r0), 当‖ η‖>σ时, 分以下两种情况讨论.
情况1
情况2
综上所述, 对于任意r∈(0, r0), 当‖η‖>σ时, 有
3) 估计闭环系统误差大小.
考虑子系统(11), 取Lyapunov函数V1:Rn+1→R为V1(ξT) = ξTP1 ξ, 则有
其中
由‖η‖≤σ和式(21)可得,
其中:
因此∀t>τ11, 有
表明存在τ12>τ11和依赖于τ12的常数T1>0, 使得∀t>τ12, 满足‖ξ‖≤T1r.
结合式(6)可得
即
同理, 考虑子系统(12), 取Lyapunov函数V2:Rn→R为
其中
利用上述‖ξ‖≤ T1r, 求V2沿式(12)对t的导数, 可得
其中:
因此∀t>τ12, 结合式(9)有
即存在依赖于τ12的常数T2>0, 满足
本节通过两个算例仿真验证所提出LADRC算法的有效性, 以及ADRC固有的鲁棒性和抗干扰性.在仿真前, 首先给出LADRC参数选取的一般原则:
1) 基于控制器带宽的概念, 选择ai, ki, lj在满足矩阵A, K, L是Hurwitz的前提下, 使得
比其他选择要好, 其中h(λA), h(λK), h(λL)分别代表矩阵A, K, L的特征多项式, 通常使wA = wK = wL = 1即可.
2) 对于R, 由于LTD在LADRC中的相对独立性, R的取值变化对系统的性能影响不大, 无需精确调节, 通常取R∈{10, 20, 30, 40, 50}即可满足需要.
3) 需要重点调节LESO参数r, 可兼顾控制性能和控制量, 在[0.001, 1)之间调节.通常, 系统不确定性越大, r取值越小.若要减少控制量, 则可适当增大r.
仿真1 考虑如下SISO三阶非线性系统:
(26) |
假设系统的未知内部动态为
外界干扰为
令扩张状态x4=f(t, x1, x2, x3)+w(t), 容易验证系统(26)满足假设1~假设3.
为此, 设计四阶LADRC如下:
(27) |
这样, 系统(26)和LADRC(27)构成闭环系统.令其初始值
ϱ为0~1之间的随机数; 设定轨迹v0(t)=2sin(0.5t), 并令v01, v02, v03, v04分别代表v0及其1~3阶导数; 取调节参数R=20, r=0.01, 积分步长h=0.001.得到实时数值仿真结果如图 2和图 3所示.
由图 2可见, 基于设定轨迹的良好跟踪微分效果([v1, v2, v3, v4]→[v01, v02, v03, v04])以及系统状态和总和扰动的精确估计效果([z1, z2, z3, z4]→[x1, x2, x3, x4]), 系统输出能够稳定跟踪设定轨迹y→v0, 且有
图 3显示控制输入在初始时刻比较大, 这是由于随机选取的系统初始值导致了较大的初始误差ei(i=1, 2, 3).在实际控制过程中, 精确掌握系统初始值可以有效减小控制量, 同时减少R和增大r也可以减小控制量, 但这需要在跟踪精度与控制量之间权衡.
仿真2 倒立摆系统是一个复杂的、不稳定的、非线性的系统, 其控制一直是控制研究的一个典型问题.一级倒立摆系统的模型[21]如下:
(28) |
其中: x1为摆的角度(相对于垂直方向), x2为摆的角速度, 2l为摆长, a=1/(m+M), m为摆的质量, M为小车的质量, u为加在小车上的控制力.
针对系统(28), 取g=9.8 m/s2, 2l=0.65 m, m=0.21 kg, M=0.45 kg.令初始值x1(0)=x2(0)=0, 设定值v=π/4, 即控制倒立摆与垂直方向的夹角稳定在π/4, 据此估计控制量系数b0=-2.8.系统(28)可转化为如式(2)所示的三阶形式, 其中扩张状态为
代表系统的总和扰动.
由于系统(28)的实际状态总是有界的, 满足假设条件, 可以设计如式(27)的三阶LADRC.取控制器系数[a1, a2, a3]=[-1, -3, -3], [k1, k2, k3]=[3, 3, 1], [l1, l2]=[-1, -2], 以满足矩阵A, K, L是Hurwitz的.同时, 利用韩式ADRC算法作为比较, 算法如下[3]:
(29) |
其中:非线性函数fal(e, α, δ)的表达式为
最速控制综合函数fhan(x1, x2, r0, h0)的具体算法为
在仿真中, 取LADRC参数R=10, r=0.001;取ADRC(29)参数r1=2, r2=15, β1=100, β2=200, β3=3 000, h1=0.005, h2=0.05, c=1.令两个控制器的初始值均为0, 积分步长h=0.001, 仿真结果如图 4和图 5所示.
图 4和图 5表明, 对于强非线性不稳定系统, 所提出的LADRC算法同样具有良好的控制效果, 进一步体现了LADRC的鲁棒自适应性.虽然得益于ADRC(29)的最速控制效应, LADRC的过渡时间较长, 但控制输入更为平滑, 更重要的是, LADRC待调节参数少且整定容易, 便于实际工程应用.
5 结论本文针对一类具有内部不确定和外部扰动的SISO高阶非线性系统, 提出了一种基于SPHG的LADRC方法.该方法控制器结构简单, 需要调节的参数很少, 易于实现.理论分析表明, 取足够大的LTD参数和足够小的LESO参数, 可保证闭环系统的跟踪误差达到任意小.算例仿真验证了所提出方法的有效性, 显示了该方法具有良好的鲁棒自适应性和抗干扰性, 具有一定的工程应用价值.
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