控制与决策  2020, Vol. 35 Issue (2): 501-506  
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吴晓雪, 张国庆, 张卫东. 基于镜像映射原理的LNG液舱压力维持系统H优化控制[J]. 控制与决策, 2020, 35(2): 501-506.
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WU Xiao-xue, ZHANG Guo-qing, ZHANG Wei-dong. H optimized control for pressure maintenance system of LNG tank via the mirror-mapping technique[J]. Control and Decision, 2020, 35(2): 501-506. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.0662.
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基金项目

国家自然科学基金项目(51909018, 51679024);辽宁省国际教育“十三五”科研规划项目(18LNGJ006);辽宁省博士科研启动基金项目(20170520189);辽宁省自然科学基金项目(20180520039);大连市科技创新基金项目(2019J12GX026)

作者简介

吴晓雪(1989-), 女, 实验师, 从事鲁棒控制、过程控制的研究, E-mail: xuexidaxue@126.com;
张国庆(1987-), 男, 副教授, 博士, 从事船舶运动控制、鲁棒控制、自适应控制的研究, E-mail: zgq_dlmu@163.com;
张卫东(1967-), 男, 教授, 博士生导师, 从事定量过程控制、鲁棒控制及其在船舶控制系统中应用等研究, E-mail: wdzhang@sjtu.edu.cn

通讯作者

张国庆, E-mail: zgq_dlmu@163.com

文章历史

收稿日期:2018-05-17
修回日期:2018-08-31
基于镜像映射原理的LNG液舱压力维持系统H优化控制
吴晓雪 1, 张国庆 2,3, 张卫东 3     
1. 大连海洋大学 信息工程学院,辽宁 大连 116023;
2. 大连海事大学 航海学院,辽宁 大连 116026;
3. 上海交通大学 电子信息与电气工程学院,上海 200240
摘要:针对LNG液舱压力维持系统的压差控制问题, 提出一种基于镜像映射原理的H优化控制算法.对该压力维持系统的非线性数学模型进行线性化处理, 得到一类具有积分不稳定时滞形式的线性模型, 采用镜像映射技术将该模型的不稳定极点映射到其关于虚轴对称的复平面左半平面, 构建其镜像稳定模型.进而采用H最小灵敏度优化算法设计该镜像稳定模型的控制器, 分析可知, 该控制律能够有效镇定原积分不稳定系统且满足H优化性能要求.所设计的控制器可等效为PID控制串联一个二阶滤波器, 仅需对滤波器的“稳定度”单个参数进行整定, 并引入图形稳定理论对闭环系统中该参数的精确稳定域进行定量分析.仿真结果验证了所提出算法的有效性和优越性.
关键词LNG液舱    压力维持系统    镜像映射    最小灵敏度优化    鲁棒控制    图形稳定理论    
H optimized control for pressure maintenance system of LNG tank via the mirror-mapping technique
WU Xiao-xue 1, ZHANG Guo-qing 2,3, ZHANG Wei-dong 3     
1. College of Information Engineering, Dalian Ocean University, Dalian 116023, China;
2. Navigation College, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China;
3. College of Electronic Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China
Abstract: To address the pressure maintenance problem for the insulation space of liquefied natural gas (LNG) tanks, a H optimized scheme is proposed based on the mirror-mapping technique. Firstly, the nonlinear model of the pressure maintenance system is linearized around its equilibrium, so as to obtain a kind of integral unstable time-delay model. Using the mirror-mapping technique, the unstable poles of the linear model are mapped onto the left-half complex plane, and the corresponding stable mirror-mapping model is derived. Then, the controller is developed based on the H minimum sensitivity optimization, and the robust performance for the unstable plant and the mirror-mapping one is equivalent. In addition, the proposed control law can be expressed as a PID control in series with a second order filter, and only one "stability degree" related parameter should be tuned to guarantee the closed-loop performance. The graphical stability criterion is adopted to determine the exact stable region for the related parameter. Finally, the simulation results verify the effectiveness and superiority of the proposed algorithm.
Keywords: LNG tank    pressure maintenance systems    mirror-mapping technique    minimum sensitivity optimization    robust control    graphical stability criterion    
0 引言

液化天然气(liquefied natural gas, LNG)作为一种清洁能源, 在生产生活中得到了广泛使用, LNG船舶运输在LNG运输中占有相当大的比例. LNG的运输储存条件较为苛刻, 在常压环境下, 需保持零下160℃的低温才能保证LNG以液态储存(其体积为同量气体体积的1/625). LNG船的建造需克服许多的技术难题, 液舱压力维持系统压差控制是LNG船建造的重要技术环节之一, 对保证LNG船舶运输的安全性具有重要意义.

在船舶工业过程控制中, LNG船液舱压力维持系统是一种典型的不稳定过程, 较稳定及临界稳定过程更加难以控制, 其难点主要体现在: 1)闭环系统的右半平面极点使控制过程更容易发散; 2)时滞效应同右半平面极点的耦合作用使控制器设计更为复杂[1].针对不稳定时滞过程的控制问题, 国内外学者开展了深入广泛的研究, 近年来的主流控制思路包括: Smith预估器方法[2-4]、双自由度反馈结构[5-7]、基于状态观测[8]的控制器设计、内模控制[9-11]、滑模变结构控制[12]等.文献[2]提出了一种具有局部反馈补偿结构的改进型Smith预估器, 对大时滞和不稳定模态具有较强的鲁棒性; 文献[9]采用了两自由度控制结构, 在标称情况下, 参考输入和负载干扰响应是完全解耦的, 可以分别设计控制器和扰动观测器调节闭环系统响应性能; 文献[11]针对不稳定时滞过程设计了一种级联结构的控制器, 内环采用内模控制器, 外环采用H2优化的PID控制器串联滤波器的形式, 并依据系统灵敏度的H范数调整PID参数.相比于以上控制方案, 基于单位反馈结构的控制系统设计形式更为简单、可靠, 易于应用于船舶工程实际.文献[5-6]以单位反馈结构为基础, 分别对多种不稳定过程进行了控制器设计, 包括:含有零点动态的一阶时滞不稳定过程、全极点不稳定过程等, 并给出了相关设计参数调节的充分必要条件; 文献[13-14]提出了一种适用于单位反馈控制结构的镜像映射技术, 并证明了不稳定过程及其镜像过程与所提出控制器组成的闭环系统具有相同的稳性性能和鲁棒性.

事实上, 多数船舶工业过程都可以采用PID控制实现预期调节任务.基于单位反馈结构的PID控制具有形式简捷、计算过程简单、易于工程应用的优点, 然而采用传统试凑方法获得PID控制器通常存在鲁棒性差、控制器参数整定困难的缺陷[12].为此, 文献[7]基于递推劳斯判据提出了一种针对二阶不稳定系统的PID控制参数稳定域计算方法; 文献[15-16]提出了一种图形稳定性理论, 适用于确定控制器参数稳定域, 给出的结果更为直观.

基于以上分析, 本文采用标准单位反馈结构, 基于镜像映射技术和H最小灵敏度优化方法提出一种LNG液舱压力维持系统H优化控制算法, 并从理论上证明了闭环系统具有与稳定镜像过程等效的鲁棒性能, 对比实验结果验证了本文控制策略的有效性.本文的创新点主要有以下两点: 1)利用本文所提出的算法, 设计者只需针对其镜像过程(稳定对象)进行控制器设计, 最终控制律具有PID控制串联二阶滤波器的形式结构; 2)利用图形稳定性理论, 本文给出该算法中唯一的设计参数(即“稳定度”参数)相对于模型参数的稳定域确定方法.设计者可更直观地进行参数整定以保证闭环系统的鲁棒性能.本文提出的H优化控制算法具有形式简捷、鲁棒性强、易于工程应用的优点.

1 基础知识 1.1 LNG液舱控制模型

本文以占有率最高的薄膜型LNG液舱的压力维持系统作为控制对象.为了保证LNG液货操作的安全性, 液舱两层绝缘层之间必须保持恒定的压力差.根据文献[17], 绝缘层压差Pe和泄放阀流量up具有如下非线性关系:

(1)

其中: κ为常数, 取决于气体的成分; Fr为非理想状态下的阻尼力; ρ为LNG蒸汽的密度; g为重力加速度.易知, 式(1)为非线性模型.为方便后续控制器设计, 需在平衡点处对其进行线性化处理, 可得流量变化量Δup到压差变化量ΔPe的线性不稳定时滞模型如下:

(2)

其中: kτ为控制对象参数, τd为时滞参数, 均与模型(1)的参数有关.令s=τs, τd=τd/τ, k=k/τ, 对式(2)进行正则化处理, 并应用Padé逼近对式(2)所示的时滞项进行处理, 即令e-τds≈(1-τds/2)/(1+τds/2), 可得

(3)

本文的控制器设计在单位反馈控制结构的基础上进行, 图 1给出了标准的单位反馈控制结构.

图 1 单位反馈控制结构

其中: r为参考输入; y为控制输出; e为误差; u为控制输入; d为负载干扰; d'为输出干扰; C(s)为控制器; G(s)为控制对象, 即式(3)所示的积分不稳定系统.

1.2 不稳定系统的镜像映射原理

定义1[13]  对于具有单个或多个位于右半平面极点的不稳定系统, 将其不稳定极点置换为对应的镜像极点(即, 与该不稳定极点关于虚轴对称, 且位于复平面左半平面的稳定极点), 定义所得的稳定对象为其镜像映射过程.如式(3)所示的不稳定系统, s=-1为不稳定极点s=1的镜像极点, 下式给出了其对应的镜像映射过程:

(4)

引理1  根据定义1, 不稳定系统与其镜像映射过程具有相同的幅频特性曲线.因此, 如果适当选择设计参数, 以其镜像映射过程为被控对象进行控制器设计仍能够有效镇定原不稳定系统[13-14], 且闭环系统具有相同的鲁棒稳定性.

1.3 H优化基础

对于工业过程的控制器设计, Youla参数化可以表征所有镇定该过程的控制器[1].对于如图 1所示的单位反馈系统, Youla参数化首先构造能够镇定被控对象G(s)的参考输入r到控制输入u的稳定传递函数Q(s), 再根据下式构造控制律C(s):

(5)
(6)

由于非正则传递函数物理上无法实现, 要求C(s)具有正则的形式.已知物理系统G(s)通常满足正则条件, 由式(6)可知, Q(s)应为正则的.

从内模控制角度出发, Q(s)可视为内模控制器, 其设计应能保证闭环系统所有变量之间的传递函数都是稳定的, 即满足内稳定条件.下式给出了单位反馈控制结构中从r(s)、d(s)到y(s)、u(s)的传递函数关系:

(7)

且有

(8)

若闭环系统是内稳定的, 则等效为H(s)的所有元素都是稳定的, 即要求Q(s), (1-G(s)Q(s))G(s)稳定.

定义闭环系统的灵敏度函数为S(s), 本文的控制器设计基于H最小灵敏度优化技术.为保证H范数的存在性, 并结合上述分析可知, 内模控制器Q(s)应当满足如下要求:

1) Q(s)是正则的;

2) Q(s)应满足系统内稳定条件;

3)

本文采用系统灵敏度函数S(s)与补灵敏度函数T(s)的最大奇异值作为鲁棒性能指标, 见下式:

(9)

为了保证系统的鲁棒稳定性及对参考信号的跟踪能力, S(s)在低频段应尽可能小, 而为了避免执行机构试图抑制高频噪声而进行有害的抖动, 在高频段S(s)→1.此外, 补灵敏度函数T(s)的成形应尽量保证闭环频谱|T(jω)|无峰值.

2 控制器设计

按照H最小灵敏度优化设计的要求, 设计控制器满足min‖W(s)Sm(s)‖, 其中Sm(s)为镜像映射过程的灵敏度函数, W(s)为权值函数.本文选取阶跃信号为参考信号, 因此W(s)=1/s.由式(4)可得

(10)

又知Gm有唯一右半平面零点2/τd, 且控制器设计要求W(s)Sm(s)稳定.根据最大模态定理可得

(11)

可知min‖W(s)Sm(s)‖=τd/2, 由此设计最优化的内模控制器如下:

(12)

由式(12)易知, 内模控制器Qopt不具备正则的形式, 不符合内稳定条件.为了保留优化控制器的性能, 同时使控制器满足要求, 引入下式所示的低通滤波器对Qopt进行串联, 即Q(s)=Qopt(s)f(s).

(13)

其中: λ>0为滤波器的设计参数, 其值的选取直接影响了系统的稳定性, 故称为稳定度; A(s)为满足A(0)=1的有理分数式, 滤波器阶数n的选取必须保证Q(s)的正则性.由式(11)可知:当控制输入为低频时, f(s)≈1, 进而有|W(s)Sm(s)|≈τd/2, 闭环系统保留了H优化的鲁棒性能; 当控制输入为高频时, 优化性能不满足.因为最优解不能工程实现, 所以只能得到控制器的次优解, 由式(5)可得

(14)

式(14)所示的控制器可表达为PID控制串联二阶滤波器的形式, 即

(15)

对于积分不稳定过程Gp(s), 选择滤波器f(s)的参数n=4, A(s)=βs+1, 其中β=4λ+τd/2可由约束条件进行求解, 控制器参数如下:

(16)

由式(15)和(16)可知, 控制器参数由过程参数和稳定度λ计算确定, 且过程参数已知, 仅需调节单个稳定度参数即可实现对控制器(15)的调整.

3 稳定性分析

定理1  对于LNG液舱压力维持系统压差控制问题, Gm(s)为不稳定模型Gp(s)的镜像映射过程.以标准单位反馈控制结构为基础, 当且仅当Cact(s)能够有效镇定其镜像映射过程(4)且具有最优性能, 即min‖W(s)Sm(s)‖时, 由不稳定过程(3)和控制律(15)构成的闭环控制系统满足H优化性能要求, 其中Sm(s)= 1/(1+Gm(s)Cact(s))表示对应的灵敏度函数.

证明  该算法以图 1所示的标准单位反馈控制结构为基础, 选取‖W(s)Sp(s)‖为优化性能指标.根据∞-范数的定义, 存在如下不等式关系:

(17)

其中Sm(s)、Sp(s)分别表示以Gm(s)、Gp(s)为被控对象闭环系统的灵敏度函数.

进一步, 根据灵敏度函数的定义可得

(18)

结合上述控制器设计过程, 对于镜像映射稳定系统Gm(s), 控制律(15)在右半平面零点2/τd处获得最优鲁棒性能min‖W(s)Sm(s)‖.由式(18)可知, 对于该性能点, ‖Sm(s)/Sp(s)‖=1.因此, 由不稳定过程(3)和控制律(15)构成的闭环控制系统同样满足H优化性能要求, 即min‖W(s)Sp(s)‖=τd/2.

接下来, 对控制器(15)参数的稳定域进行分析.因为被控过程(3)的模型参数ττd均为已知, 控制器参数β1, β2, α0, α1, α2只取决于λ, 见式(16).假设β1, β2为两个独立的变量, 为便于区分, 将其记作βset1βset2.基于图形稳定性理论对其稳定域进行分析, 不稳定系统的开环传递函数可整理为

(19)

进一步可得闭环系统特征多项式如下:

(20)

为求解Δ(s)=0的复数根, 假设该多项式的根具有s=x+iy的复数形式.根据文献[15-16], 闭环系统处于不稳定状态可等效为多项式(20)在y∈[0, +∞)的空间内有右半平面的根.以下分两种情形对该多项式的根进行讨论.首先, 对于y=0, x≥0情况, Δ(s)=0可以等效为

(21)

βset2-βset1的平面内:当x>0时, βset2βset1具有负梯度的线性关系; 当x=0时, 特征多项式(21)等效为直线βset1=0.以τd=0.2, λ=0.12为例, 在βset2-βset1平面绘制直线(21), 具有正实数根的不稳定集合即为图 2中左侧实线扫过的区域.

图 2 由式(21), (23)确定的βset2-βset1曲线

对于特征多项式Δ(s)=0含有复数不稳定根的情况, 只需考虑y>0, x=0, 即可确定参数稳定集与不稳定集的边界.将s=iy代入式(20), 整理可得

(22)

其中

特征多项式(22)含有虚轴上的根, 可等效为Δr(y)=0, Δi(y)=0.此时, βset1βset2可通过下式求解:

(23)

其中: Jβset1βset2对于Δr(·)和Δi(·)的Jacobian矩阵.当y>0时, det[J]=y3(1+y2)>0, 故J-1存在.随着y的增长, 可以确定唯一一条(βset1, βset2)曲线.根据图形稳定性理论, 若det[J]=y3(1+y2)>0, 则参数的不稳定集在该曲线上随着y的增长而向右侧延伸.因此, 图 2中右侧填充区域Ωβ为不稳定过程Gp(s)的βset1-βset2稳定域.由式(15)和(16)可知, β1β2的位置取决于λτdτ三个参数, 其中τ为已知, 当时滞参数τd给定以后, 可以确定稳定度参数λ的稳定域.当且仅当λ∈[λmin, λmax]时, 存在(β1, β2)∈Ωβ.

4 仿真实验

本文参考文献[17]中LNG液舱绝缘层压力维持系统模型, 在平衡点Pe0=5.0 mbar, up0=42 m3/h处对该系统进行如式(2)所示的线性化处理, 可得线性模型如下:

(24)

对式(24)进行如式(3)所示的正则化处理, 可以得到Gp(s)=5.342/s(s-1)e-0.195s.选取压差参考值为Pe=6 mbar, 即ΔPe=1 mbar, 控制流量变化为Δup.

根据以上设计, 首先确定Gp(s)的λ参数稳定域如图 3所示.

图 3 Gp(s)的λ参数稳定域

已知标准化的系统有τd=0.195, 在λ的稳定域内选取λ=0.1, 根据式(15)和(16)设计控制器, 并进行反正则化, 可得实际的控制律为

(25)

将本文控制策略同文献[3]中基于Smith预估器的控制策略进行对比, 在t=0 s时给定阶跃参考信号r(t)=1 mbar, 在t=30 s时施加d=-1m3/h的负载干扰.为了验证控制策略对模型不确定的鲁棒稳定性, 选取该压力维持系统的摄动模型如下:

(26)

考虑到篇幅有限, 图 4直接给出了模型存在不确定摄动情况下系统响应及控制输入对比结果.

图 4 输出响应及控制输入:摄动模型

由实验结果可知, 本文控制策略响应更快, 且没有超调.在30 s处, 本文控制策略波动更小, 抗干扰能力强.与标称条件下结果相比, 本文控制策略对摄动模型同样有效, 且控制效果变化不大, 优于文献[3]的结果.为了进一步定量描述本文算法的优越性, 图 5给出了两种控制策略下灵敏度函数S(s)、补灵敏度函数T(s)曲线的对比结果.

图 5 灵敏度函数S(s)/补灵敏度函数T(s)对比

图 5中:采用本文控制策略, 灵敏度函数最大奇异值MS=5.57, 补灵敏度函数最大奇异值MT=6.05;对于文献[3]中的控制结果, MS=8.72, MT=8.41.很明显, 本文控制策略相比文献[3]中结果提升了闭环系统鲁棒性能, 且控制器结构简捷实用.

5 结论

本文提出了一种基于镜像映射技术的LNG液舱绝缘层压力维持系统的H鲁棒控制算法.该算法中, 只需针对该不稳定系统的镜像映射稳定过程进行H最小灵敏度优化设计.相比于其他基于不稳定系统模型本身的控制器设计方案, 本文提出的控制律形式简捷, 仅需要调节单个“稳定度”参数.最终控制律可表达为PID控制串联二阶滤波器的形式, 在保证优化鲁棒性能的同时, 易于应用于工程实际.最后, 利用图形稳定性理论确定了控制器稳定度参数的合理选取范围.本文提出的控制策略不仅适用于LNG液舱压力维持系统这类积分不稳定系统, 对于其他类型的不稳定系统同样可获得具有泛化形式(14)的控制器, 具有重要的推广价值.

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