控制与决策  2020, Vol. 35 Issue (5): 1039-1051  
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蒲明, 袁建英. 控制输入受限的准全控制利用率有限时间稳定控制[J]. 控制与决策, 2020, 35(5): 1039-1051.
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PU Ming, YUAN Jian-ying. Quasi-complete control utilization finite time stable control with input constraint[J]. Control and Decision, 2020, 35(5): 1039-1051. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.1269.
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基金项目

四川省科技厅基金项目(18ZDYF3191);四川省教育厅基金项目(17ZB0095);成都信息工程大学科研基金项目(KYTZ201636))

作者简介

蒲明(1981-), 男, 讲师, 博士, 从事有限时间控制及其应用等研究, E-mail: msznuaa@163.com;
袁建英(1982-), 女, 讲师, 博士, 从事智能控制的研究, E-mail: 393556743@qq.com

通讯作者

蒲明, E-mail: msznuaa@163.com

文章历史

收稿日期:2018-09-17
修回日期:2018-12-07
控制输入受限的准全控制利用率有限时间稳定控制
蒲明 , 袁建英     
成都信息工程大学 控制工程学院,成都 610225
摘要:针对控制输入受限的非线性系统, 分6种情况证明有限时间稳定控制器(finite time stable controller, FTSC)作用下的系统状态收敛速度在论域空间中每一点必快于非有限时间稳定控制器(non-FTSC, NFTSC)作用下的系统状态收敛速度, 并给出每一类情况下设计参数应满足的充分性约束条件, 同时证明这些条件的存在性.在此基础上, 提出全控制利用率控制器(CCUC)的定义, 证明CCUC必然引起抖振, 进而提出准全控制利用率控制器(QCCUC)设计的思想, 并证明控制输入受限条件下, FTSC的控制利用率必优于任意快速FTSC(FFTSC), 即具有更优的控制性能, 从而得到一系列关于参数优化的结论.理论证明的结论通过图表、数例和仿真得到了验证.所得结论对终端滑模控制、加幂积分控制、有限时间稳定backstepping控制等多种FTSC均广泛适用.
关键词输入受限    有限时间稳定控制    控制利用率    非线性控制系统    终端滑模控制    加幂积分控制    有限时间backstepping控制    
Quasi-complete control utilization finite time stable control with input constraint
PU Ming , YUAN Jian-ying     
Automation Engineering College, Chengdu University of Information Technology, Chengdu 610225, China
Abstract: For nonlinear systems with input constraint, it is proved that the convergence speed of state under the action of a finite time stable controller (FTSC) is faster than that under the action of a non-FTSC at any point in state space. Sufficient conditions in six cases are summarized to guarantee the conclusion and it is proved that these conditions are attainable with appropriate parameter selection. Then, the definition of a complete control utilization controller (CCUC) is proposed, and it is proved that the convergence speed under the action of the FTSC is faster than that under the action of fast FTSC with input constraint. A series of conclusions concerning the parameter optimization are proposed to improve the control performance. Numerical examples, simulations, figures and tables are used to illustrate the proposed theory and make the conclusions more understandable. The proposed conclusions are fit for the improvement of nearly all kinds of FTSC methods, such as terminal sliding mode control, adding one power integrator control and finite time stable backstepping control.
Keywords: input constraint    finite time stable control    control utilization ratio    nonlinear control systems    terminal sliding mode control    adding one power integrator control    finite time stable backstepping control    
0 引言

有限时间稳定控制器(FTSC)是现代非线性控制领域中性能优异的控制方法.基于FTSC的系统状态轨迹或误差轨迹将在有限时间内从任意有限初始点收敛到原点[1]. FTSC包含多种先进非线性控制方法, 如:与滑模控制结合产生了终端滑模控制(terminal sliding mode control, TSMC)[2-3]; 与backstepping控制(backstepping control, BC)结合产生了有限时间稳定BC(FTSBC)[4]; 又进一步发展得到加幂积分控制(adding one power integrator control, AOPIC)[5]和齐次理论[6]等.所以FTSC的研究结果具备普适性, 其研究结论可推广到多种控制方法中.另外, 工程中的控制任务总是要求在有限时间内完成, 所以FTSC是工程需要的产物, 并在应用中体现了优良性能.从2008年开始, FTSC逐渐成为研究热点并应用于具有扰动和不确定的高超声速飞行器的姿态控制[7-8]、永磁同步电机的速度控制[9]、基于观测器的未知信息有限时间提取[10-11]等.但FTSC目前仍处于起步阶段, 研究成果相对于非有限时间稳定控制器(NFTSC)较少, 且主要集中在二阶系统的TSMC控制.原因有二:一方面是FTSC提出的时间并不长, 较为成熟的TSMC提出也不过20余年, 而FFTSC、齐次理论和AOPIC则是近10余年提出和开始发展的; 另一方面, 现有FTSC还存在大量需要完善和改进的地方, 例如高阶系统TSMC奇异性问题[12]、子系统具有非匹配复合干扰的任意阶非线性系统FTSC控制器有界性证明问题[10, 13]、AOPIC保守性问题[14-15]等.这些问题既是需要解决的难题, 也是FTSC性能改进和提升的突破点.

理论应用中更加紧迫的实际问题是, 任何物理控制系统的控制能力总是有限的, 因此, FTSC控制器设计中应考虑控制输入受限的约束.但现有相关研究成果非常少[16-18], 且存在以下3个问题: 1)普遍使用饱和函数或符号函数来限制控制器, 避免超过允许的最大值.尽管该方法简单易行、运算量小, 但它相对于替换前的非线性FTSC控制器, 控制性能缺乏理论证明, 也不具备自适应能力.而当被控系统状态(或误差状态)接近原点阶段时, 饱和函数引起控制性能下降, 造成相当部分的控制能力闲置.符号函数虽是一种FTSC控制器, 也是一种全控制利用率控制器, 但却会引起强烈抖振, 理论和工程都无法应用. 2)现有文献都是针对某一种控制方法进行讨论的, 没有上升到FTSC这一层面进行研究, 其结论也被限制于某一种具体的控制方法, 难以推广. 3)设计和选择参数都是依据尝试和经验进行, 缺乏理论的指导和保证, 未考虑如何在控制输入受限的情况下, 使得被控性能最优或接近最优.

针对上述问题, 本文开展以下工作: 1)在给定的初始条件及控制输入受限的约束条件下, 证明FTSC作用下的状态收敛速度必然在原点及初始状态以外的任意点均快于NFTSC作用下的状态收敛速度, 并给出参数选择的充分性约束条件, 进而证明这些约束条件总是可以选择设计参数使之成立; 2)定义了控制利用率和任意控制器对应状态收敛时间的积分表达式, 并证明满足所给约束条件的FTSC必然在控制利用率和状态收敛时间两方面都优于NFTSC; 3)证明全控制输入利用率控制器必然会带来抖振, 进而设计准全控制利用率的FTSC控制器; 4)证明在控制输入受限的情况下, 满足给定约束的传统FTSC必然在状态收敛速度和控制利用率等方面优于任意FFTSC; 5)讨论参数选择对控制性能的影响, 并给出定性的结论; 6)对于多个结论, 采用数例、图表、仿真等进行证明和阐释, 并利用本文结论对AOPIC控制器进行改进.这些工作均直观地表明了所提出结论对控制性能的提升作用.

本文工作的主要创新和贡献在于: 1)所研究的输入受限条件下的QCCUC-FTSC是第一次提出, 其本质在于约束条件下控制性能的最优化, 得到用于参数定量选择的充分性约束条件. 2)现有文献中, 当控制输入不考虑受限约束时, 所得结论总是FFTSC优于普通FTSC[10].但本文证明在输入受限约束下, FTSC优于任何FFTSC.这一全新结论是对现有结论的有益补充.考虑到实际工程中控制输入总是有限的, 因此, 本文结论相对于现有结论更具工程应用意义. 3)所得控制器具有有限时间稳定、无抖振等优点. 4)改进后的控制器具有自适应调节控制量大小的能力, 但未附加复杂控制算法, 从而可以避免大运算量. 5)所得结论是FTSC这一层面的, 不局限于某一具体控制方法, 所以, 对于属于FTSC分支的终端滑模控制、加幂积分控制、有限时间backstepping控制等均适用.

1 问题陈述和预备知识

在控制理论的研究中, 通常存在如下两个问题.

问题1  不考虑控制量约束时, 总是可以通过增大控制参数, 使NFTSC的控制量大于给定的FTSC控制量.该问题反过来, 以及在FTSC与FFTSC之间也存在.因此, 不同控制器的控制性能优劣似乎难以认定, 甚至认为相关研究并不必要.

问题2  控制器的设计未考虑实际控制装置的最大输出.这存在两方面的问题:一是控制理论解算得到的控制器可能超过控制装置最大允许值umax, 使得理论不匹配实际; 二是理论所得控制器小于umax, 使控制装置的控制能力存在一定程度的闲置.若能尽量减小这部分硬件可以提供而因控制理论闲置的控制量, 则将有助于进一步优化控制性能.

此外, 受限FTSC的设计也受限于无抖振、最优化或者次优化等性能的要求.针对这些问题, 在本文中首先证明输入受限条件下FTSC(包括FFTSC)必然在每一点均优于NFTSC, 并给出充分性约束条件.

考虑如下MIMO系统:

(1)

其中: x=[x1, x2, …, xn]T; f(x): RnRn, g(x) : RnRn × m为已知非线性函数; g - 1(x)对于任意x存在; d(x, t):Rn + 1Rn为未知有界干扰; u:Rm为控制器.

因为总是可以结合观测器等方法设计控制器为

其中: 为观测器对d(x, t)的估计值, v为新控制器.代入系统方程并考虑到观测器误差可任意小, 所以式(1)可化为=v.由于||v|| = ||g(x)u+f(x)+d(x, t)||, 可定义受限控制器v的上界为

鉴于以下论证过程较为复杂, 为便于清晰地阐明思路和论述的简洁, 下面针对如下一阶SISO系统进行讨论:

(2)

根据不同的控制方法, 系统(2)中的u可包含多种控制器, 但总体可分为两大类, 即

其中: l2 ∈ (0, 1), l3 ≥ 1, k1 > 0, k2 > 0, k3 ≥ 0.当k3 = 0时, u1 (x)是FTSC的核心部分, 如TSMC控制器[7, 9]、AOPIC控制器[8, 14]、齐次控制器[6]、高阶滑模控制器[11]中的吸引子项; 当k3 > 0, l3 = 1时, u1 (x)是FFTSC[3, 15]; 当k3 > 0, l3 > 1时, u1 (x)可代表一大类新型FFTSC[10, 19].所以u1 (x)几乎涵盖了现有各种FTSC.由于文献[10]已证明这类NFTSC性能较u2 (x) = - k1 x更差, 本文仅以u2 (x) = - k1 x作为NFTSC的代表.

注1  k3可以为0, 但不允许k2=0, 否则无论其他参数怎么选择, 都会使u1(x)为NFTSC.

注2  l2小于1的原因是保证u1(x)为FTSC[10]; l2不能等于0的原因在于避免控制器和被控系统状态出现抖振[19]; l2不能取为负值的原因是避免奇异性[3].严格地, xl2应写为|x|l2sgn(x)以避免出现复数, 但xl2为习惯性简写, 本文保留该写法以简化推导.

注3  为了避免反复“冲过”原点形成抖振, 控制器在原点处应为0值.对于这一约束要求, u1(x)和u2(x)均满足.

下面给出几个常用引理和推论.

引理1[20]  对于正数a1, a2, …, an, p1, p2, …, pn, 有下式成立, 当且仅当a1 = a2 = … = an时等号成立:

当引理1中n=2时, 有如下推论1.

推论1  对于正数a1, a2, p1, p2, 有下式成立:

引理2  若0 < x1 < x3 < 1 < x2, 0 < α1 < α2 < 1, 1 < β1 < β2, 则x1α1 > x1α2, x2β2 > x2β1, x3α1 >x1α1.

证明  令f1(α) = x1α, α∈ (0, 1); f2(β) =x2β, β > 1; f3(x) = xα1, x ∈ (0, 1);则有1(α) = x1α×ln x1 < 0, 2(β) = x2β ln x2 > 0, 3(x) = α1xα1 - 1> 0.根据函数的单调性, 引理2结论即可得证.

引理3  若f1 = (x + Δ)l, f2 = xl + Δl, x > 0, l ≥ 1, Δ为一正数, 则f1f2, 当且仅当l = 1时等号成立.

证明  令f(x) = f1 - f2 = (x + Δ)l - xl - Δl, 显然有f(0) = 0以及 = l[(x + Δ)l-1-xl-1] ≥ 0, 仅当l = 1时等号成立.所以根据函数的单调性, 引理3结论即可得证.

引理4  若0 < y < x < 1, 0 < l < 1, 且满足, 则xl - yl > x - y.

证明  令f(x) = xl - x, 则有

所以满足, 故有(x) > 0.结论可得.

2 控制输入受限下FTSC必优于NFTSC

首先, 根据现有结论[3, 6-11, 14-15, 19]可知, u1(x)或u2 (x)作用下的系统(2)都是渐近稳定的.因此, 对于任意t1 > t2 > 0都有x(t1)≤x(t2), 也即系统的状态必然属于区间[0, x0].

其次, 设允许的最大控制量为umax>0, 被控系统初始状态为x0 > 0.一般地, 总是选择设计参数使控制器在初始时刻达到允许的最大值, 即|u1(x0)|=|u2(x0)|=umax.因此得到本文第1个约束为

(3)

t ≥ 0的时刻, 均要求控制器不超过允许的最大值.因此得到如下的第2个约束:

(4)

根据约束方程(3), 对于给定的umaxx0, u2(x)中参数k1固定, 即

(5)

u1(x)中的可选参数有4个, 当k3(或k2)为负时, 虽然在约束(3)下也可满足控制系统的稳定性要求, 但不一定满足约束(4), 例如下例.

例1  设x0 = 1, umax = 10, 若选择参数l2= 1/2, l3=3/2, k1= 10, k2 = 20, k3 =- 10, 则u1 (x), u2 (x)在[0, 1]上的曲线如图 1所示. u1 (x0) = 20 × 10.5 - 10 × 11.5 = 10, 满足约束(3), 但在x ∈ (0.381 9, 1)的区间上u1 (x) > umax, 不满足约束(4).

图 1 例1控制器曲线

可以证明如下结论成立.

定理1  若取k2> 0, k3≥0, 则u1 (x)满足约束(3)和约束(4).

证明  设x = x0 - Δ, Δ ∈ [0, x0], 由约束(3)有umax =k2 (x + Δ)l2 + k3 (x + Δ)l3.由引理2有k2 (x + Δ)l2 > k2 xl2; 由引理3有k3 (x + Δ)l3k3 xl3 + k3 Δl3.所以umaxk2 xl2 + k3 xl3 + k3 Δl3k2 xl2 + k3 xl3 = | u1 (x) |.

由定理1得到本文第3个约束为

(6)

k2 > 0, 根据约束(3)必有

(7)

注4  本文的分析证明中仅考虑了x∈[0, x0], x0 > 0的情况.当x ∈ [x0, 0], x0 < 0时, 结论同样成立, 证明过程仅差一负号, 这里不再给出.

约束(3)、约束(4)和约束(6)在本节后续部分均成立.

下文中将证明FTSC优于NFTSC的思路是:若u1(x)作用下系统状态的收敛速度在每一点均快于u2(x)作用下系统状态的收敛速度, 则FTSC优于NFTSC.考虑到u1(x)和u2(x)的正负性总是相同的且均能保证系统稳定, 以及系统(2)的收敛速度大小等于控制器的绝对值, 所以设比较函数为| u1 (x) | - | u2(x)|.由于在x∈[0, x0], x0 > 0的论域内有

(8)

目标可转化为在上述区间内证明Θ (x) > 0.

由式(8)和约束(3)知Θ (x)在初始点和原点处均有0值, 即

(9)

下面根据初始条件和参数选择的不同, 分6种情况证明Θ (x) > 0对于任意x ∈ (0, x0)均成立.

情况1  x0 = 1, l3 = 1.由式(9)和引理2有

(10)

由约束条件(3)可知

(11)

将式(11)代入(10)有Θ (x) > 0.无新增约束.

情况2  x0 = 1, l3 > 1.约束(11)同样满足, 再根据推论1可得

根据引理2, 若, 则必有Θ (x) > 0成立.考虑到x0 = 1并将约束(3)代入不等式Θ (x) > 0, 有l2k2 + l3 (umax - k2) ≤ umax.即如下约束可使Θ (x) > 0成立:

(12)

式(12)与k2umax不矛盾, 所以k2可得, 同时k3 = umax - k2 ∈ (0, umax)也可得.综上, 在约束(3) ~约束(6)下, 对于给定的umax, l2l3总可以选择恰当的k2k3使得约束(12)和Θ (x) > 0成立.

由引理2可知越小Θ (x)越大, u1 (x)相对于u2 (x)的优势越明显.因此有

所以对于给定的umax, 若k2越大, l2越小, l3越小, 则Θ (x)越大.该结论表明在x ∈ (0, 1)范围内, xl2项在u1 (x)中起主导作用且控制作用明显强于xl3.这一结论也可由有限时间稳定Lyapunov定理推得[10].

例2  若x0 = 1, x = 1/4, l2 =1/2, l3 =3/2, umax= 10, 则由式(5)可知k1 = 10.选取参数k3 = 5, 由式(11)可得k2 = 5.且满足

即满足约束(12).代入式(8)有Θ (1/4)=5/8 > 0.在其他条件不变的情况下, 增大k2, 减小k3l2l3, 根据约束(3) ~约束(6), 取k2 = 8, k3 = 2, l2 = 1/4, l3 = 1.01, 经检验满足约束(12).代入式(8)有Θ (1/4) = 3.661 9 >5/8.相对于第1种参数选择, 后一种参数选择下, u1 (x)控制性能将更优于u2 (x).

情况3  0 < x0 < 1, l3 = 1.此时有0 < x < x0 < 1.将上述条件代入约束(5)和约束(9), 有umax =k2 x0l2 +k3 x0 = k1 x0, 再根据式(9)有

(13)

式(13)的导数为

, 可得

因为约束(6)要求k2 > 0, 所以必有umax - k3 x0 > 0, 于是可进一步化为.将该极值代入式(13), 有

根据约束(6)有k3 x0 - umax < 0, 再由引理2有x1 - l2 - x01 - l2 < 0, 又x0 >0, xl2 > 0, 所以Θ (x) > 0.令, , 于是有

因为xΘ(x)唯一的极点, 所以当x ∈ (0, x)时, 0;当x ∈ (x, x0)时, 0.再由Θ(x) > 0可知, x ∈ (0, x0)时必有Θ (x) > 0.该情况下无新增约束条件.

情况4  0 < x0 < 1, l3 > 1.代入约束(3)有umax=k2x0l2 + k3x0l3 = k1x0.进一步有

其导数为

(14)

类似于情况3中证明, 由式(14)有

上式分母为正, 所以只要k3满足

(15)

则必有 0.在以上结论基础上, 若有 0, 则类似于情况3中证明, 可证必存在唯一极点x ∈ (0, x0)使得Θ (x) > 0, 0.进一步可得Θ (x) > 0, x ∈ (0, x0).因为

l2 - 2 < l3 - 2, 所以由引理2有xl2 - 2 > xl3 - 2, ∀ x ∈ (0, x0).若

则必有0.要满足上述不等式, 应有

代入约束(3), 上面不等式转化为

再一次代入约束(3), 使上述不等式仅含k3, 转化为

所以参数k3若满足约束

(16)

0, 从而得到结论Θ (x) > 0, x ∈ (0, x0).

Θ (x)状态变化示意如图 2所示.

图 2 情况4中Θ (x)曲线

下面证明满足约束(16)就必然满足约束(15).式(16)中, 分子分母每一项都为正, 因此右边项为正数.再令式(16)左右两边同乘以x0l3, 可得

因为 0, 所以

这意味着满足约束(16)则必然使得约束(7)成立.所以k3必然存在.进一步, 将式(16)变形为

上式右端第2项, 其分子与分母相减可得一新函数为

其中: l3/l2> 1, x0l3 - l2 ∈ (0, 1).所以 > 1, 故Γ < 0, 即有

这说明k3若满足约束(16), 则必然满足约束(15), 因此在该情况下, 参数选择只需考虑约束(16).

情况5  x0 > 1, l3 = 1.由约束(3)和式(8)有

(17)

下面根据x不同取值分3种情形具体讨论.

1) 当x = 1时.此时

其中x01 - l2 > 1.再由式(7)可知, 必有Θ(1) > 0.

2) 当x < 1时.由引理2可知xl2 > x, x0l2 < x0, 所以由式(17)有下式成立:

(18)

Θ (x) > 0.

3) 当1 < x < x0时.式(17)的导数为

(19)

= 0, 可解出

因为umax - k3 x0 > 0, 所以有, 即Θ (x)存在唯一的极点

(20)

因为1 - l2 ∈ (0, 1), 所以 > 1, 进一步有l2 < 1, 从而证明了x ∈ (0, x0).

由式(17)可知Θ (1) = k2 + k3 - k1.再由约束(3)有

所以必有Θ(1)>0.同样, 根据约束(3)有Θ(x0) =0.由情形3)中所得结论可知, Θ(x)曲线必属于图 3中3种可能曲线之一.

图 3 Θ(x)的3种可能曲线

图 3中:曲线A对应于x ∈ (1, x0), Θ (x) > Θ(1), > 0, ∈ (1, x), < 0, ; 曲线B对应于x < 1, Θ (x) > Θ (1), 0;曲线C对应于x ∈ (1, x0), Θ (x) < 0, 0, , 0, .

下面证明只可能是A、B两种情况, 并分别给出约束条件.由式(19)必有

(21)

图 3中曲线C与式(21)矛盾, 因此曲线C不可能是Θ (x)的曲线.曲线A和曲线B则均满足式(21).进一步考察

(22)

如果x ≤ 1(对应于曲线B), 则根据式(20)有1 ≥ , 从而有1≥ l2x01 - l2.代入式(22)有≤ 0, 等号当且仅当x = 1时成立.由于x为唯一极点, 同时由式(21)可知, 在x ∈ (1, x0)区间上均有 < 0.再根据Θ (x0) = 0可知, 在x ∈ (1, x0)区间上均有Θ (x) > 0.所以约束(20)足以保证Θ (x) > 0.

进一步证明约束(20)对于任意l2均是必然成立的.因为1 ≥ , 所以约束(20)等价于x0 > 1, 即要求 < 1.对于任意l2 ∈ (0, 1), 显然有 < l2 < 1成立.所以对于任意x0 > 1, 总是存在l2 ∈ (0, 1)使得约束(20)成立.

x > 1(对应于曲线A), 则有

(23)

代入式(22)有 0.考虑到x为唯一极点、式(21)以及Θ (1) >0, Θ (x0) = 0, 所以必有Θ (x) > Θ (1) > 0 = Θ (x0).将Θ (x)和Θ (1)的表达式代入式(23), 有

(24)

所以, 若选择参数l2满足约束(24), 则必有Θ (x) > Θ (1).再考虑到x为唯一极点、式(21)以及Θ (1) > 0, Θ (x0) = 0, 则有Θ (x) > 0, x ∈ (0, x0)成立.

下面证明满足式(23)(x > 1), 则约束(24)必然对于任意l2成立.由x > 1有.又因 ∈ (0, 1), 所以1/x0 < 1.根据引理4, 对于任意x0 > 1和l2 ∈ (0, 1), 下式成立:

即式(24)成立.

综合以上3种情形下的结论, 情况5无需新增约束条件即可保证Θ (x) > 0, x ∈ (0, x0)成立.

情况6  x0 > 1, l3 > 1.下面根据x不同取值分两种情形讨论.

1) 当x = 1时, 有

(25)

若式(25)满足Θ (1) > 0, 则应满足如下约束:

(26)

不等式(26)右端分子分母均大于0, 因此总存在参数k3使该不等式成立.

2) 当x < 1或1 < x < x0时, 有

基于上式, 要使Θ (x) > 0, 则要求满足如下约束:

(27)

其中x0l2 - 1 x1 - l2 =(x/x0)1 - l2 ∈ (0, 1), 所以式(27)右边分子分母均为正数, 因此, 总可以选择k3使式(27)成立.但式(27)中存在变量x, 使得基于该式选择k3变得非常困难.若能求得式(27)中

在∀ x ∈ (0, 1) ∪ (1, x0)区间内的一个下限, 则选择k3小于该下限自然满足式(27).考虑到umax是一个常数, 令

f(0) = 1/x0l3.根据洛必达法则, 有

(28)

同时有f(x0) < f(0).进一步, 求f(x)的导数, 有

(29)

式(29)中因为xl3 - l2 < x0l3 - l2, 所以分母必为正.分子整理后为

其中x0l2 x - l2 > 0.令

(30)

其中 > 0对于任意x ∈ (0, x0)成立, 所以ġ(x) > 0, ∀ x ∈ (0, x0).进而有g(x) < 0, ∀x ∈(0, x0), 也即(x) < 0, ∀ x ∈ (0, x0)成立, 所以f(x)单调减小.再由式(28)知其最小值为fmin (x) = , 所以若k3满足

(31)

k3必满足式(27).式(31)右边是一常数, 较式(27)更便于k3的选择.

考虑到在情形1)和情形2)下均能使Θ (x) > 0成立, 参数的选择应同时满足这两种情形下的约束(26)和(31).下面证明参数若满足式(31), 则必满足式(26).令

上式分母必为正数, 因此只考虑分子.令

x0 = 1代入上式有g(1) = 0.再求上式关于x0的偏导, 得

所以g(x0) > 0对于任意x0 > 1成立, f(x0) >0对于任意x0 > 1也成立, 即必有

因此, k3满足式(31)必满足式(26).综上考虑, 情况6新增约束条件为式(31).

至此, 证明了在约束条件(3) ~式(8)下, 对于任意的给定初值总可以选择参数使得Θ (x) > 0, ∀ x ∈ (0, x0)成立.将上述所有情况下的约束条件归纳总结于表 1中.

表 1 控制输入受限情况下FTSC优于NFTSC所需的充分条件

表 1中条件1~条件3是6种情况下均应满足的约束.

以上证明分析的结果总结在如下定理中.

定理2  输入受限的被控系统(2), 若设计参数的选取满足表 1中的约束条件, 则在整个状态空间内任意一点, FTSC控制器作用下的系统状态收敛速度均快于NFTSC控制器作用下的系统状态收敛速度.

注5  由于式(3)自然包含式(5), 也证明了式(6)必然导致式(4)满足, 而式(3)和(6)联立可得式(7), 所以约束条件(4)、(5)、(7)无须在表 1中给出.

注6  虽然表 1只给出了k2(或k3)的约束条件, 但在此基础上再考虑约束1, 即可得出另外一个参数k3(或k2)的约束条件.例如情况2中有k2约束, 代入k2=umax - k3便可得到关于k3的约束为k3.

注7  由于参数选择的限制及证明中存在不等式缩放, 以上结论为充分而非必要的结论.这意味着若某些参数即使不满足表 1中的约束, 也可能使FTSC控制性能比NFTSC控制性能更优.采用缩放程度更小(更精准)的不等式证明上述结论将有助于放松参数选择的约束.

3 准全控制利用率控制器设计

在第2节中, 并未解决参数满足受限条件的约束下, 怎样选取才能使得FTSC的控制性能更优甚至最优.为解决这个问题, 本节首先讨论收敛时间这一性能指标对评价FTSC和NFTSC的不足, 然后给出控制器利用率的定义, 再证明该性能指标正比于FTSC的控制性能, 进而证明输入受限下FTSC优于快速FTSC.

由微积分及动力学知识可知控制器u1作用下, 系统状态从初始出发点到原点的收敛时间为

(32)

虽然t1一般难以获得积分的解析表达式, 但对于任意给定参数, 总可以通过数学软件获取高精度的数值解[21], 并且可以证明为一有限值[10].

控制器u2作用下, 系统状态从初始出发点到原点的收敛时间为

(33)

当满足表 1中约束时, 由Θ (x) > 0可知| u1 (x) | > | u2 (x) |, ∀ x ∈ (0, x0).再由式(32)和(33)可知t1 < t2.若设收敛时间比为r = t1 /t2, 则必有r = 0.所以, 收敛时间这一性能指标在分析中存在局限性.本文采用控制利用率这一新的性能指标, 其定义如下.

定义1  系统状态从初始值x0收敛到原点的整个过程中, 某一控制器u对应的积分定义为P = , 而最大输入量umax对应的积分定义为Pmax = umax x0, 则比值r =P/Pmax 被称为控制利用率.若r =1, 则称为全控制利用率控制器; 若r小于1但接近于1, 则称为准全控制利用率控制器.

由式(32)和(33)给出的收敛时间和定义1可知, 控制利用率r反比于收敛时间.且容易证明对于任意的umax > 0和x0 > 0, 必有u2对应的NFTSC控制利用率恒为

图 4中:这一控制利用率代表u2曲线和横轴所围面积必占虚线正方形总面积的一半; 而u1所占面积比更大一些, 代表FTSC; u3所占面积比接近于1, 代表准全控制利用率控制器.

图 4 控制利用率曲线

r2说明在输出状态x0和最大控制量umax给定的受限情况下, 不可能通过改变k1值的方法提高r2.这与控制输入不受限的情况是不同的.

根据第2节中的结论Θ (x) > 0, ∀ x ∈ (0, x0), 必然有

(34)

即对于满足表 1中约束的任意参数, FTSC的控制利用率高于NFTSC的控制利用率.

例3  1)设umax = 10, x0 = 1, 根据表 1中条件1 ~条件3选取参数为l2 = 1/2, l3 = 3/2, k2 = 8, k3 = 2.检验表 1中条件4, 即

满足所有约束.按照上文定义有Pmax = 10, u1对应的

r1 = 61.33 %, 因此, r1r2提高了11.33 %.

2) 初始条件和l2k2k3取值不变, 而

满足表 1中所有约束, 并得

r1 = 58.33 %.该方案下, 尽管r1r2提高了8.33 %, 但比方案1)中提高值要低.这是因为在(0, 1)段, u1xl3项的控制能力弱于xl2项的控制能力, 且l3越大其控制能力越弱.同理, 若l2l3不变, 而增大k3减小k2, 也会使得r1下降.

上例既证实了式(34)的结论, 同时又说明在定理2的基础上需要继续探究如下定量问题:在满足表 1约束的情况下, 如何选择参数使r1更大甚至最大.考虑下式:

(35)

其中: x0umax是客观给定的, l2l3k2是可以选择的参数.分类讨论后可以得到如下结论.

定理3  在输入受限条件下: 1)无抖振FTSC的u1的控制利用率r1必小于1; 2) r1的上界为1/(l2+1); 3)全控制利用率控制器必有抖振; 4) FTSC的控制利用率必高于任意快速FTSC的控制利用率.

证明  1)式(35)中k2 x0l2umax, l3 - l2 < l3, 所以有

因此, 不论初值怎么给定, 参数如何选择, 都有r1小于1.

2) 式(35)也可记为

对于固定的x0l2l3umax, 上式中的变量仅为k2, 且k2越大, r1越大.因为k3 =(umax - k2 x0l2)/x0l3, 所以k3越小, r1越大.在表 1的约束下, 当k3 = 0时, k2可取最大值为umax/x0l2代入r1

在该式基础上可知, l2越小, r1越大.若l2 = 0+, 则r1 = 1, 控制器成为全控制利用率控制器.

3) 全控制利用率FTSC控制器为

(36)

该控制器将会产生严重抖振, 进而使系统状态也产生抖振.这在滑模变结构控制中体现得尤为明显, 也讨论得非常充分[2, 9-10, 19].但注意到只要l2为一正数, 则是连续的, 即可避免抖振.因此, 可以选择一足够小的l2以充分提高r1, 成为准全控制利用率FTSC.

4) 令u11 (x) = - k21 xl2, k21 x0l2 = umax, u12 (x) = - k22 xl2 - k3 xl3, k3 > 0, k22 x0l2 + k3 x0l3 = umax.取比较函数为

(37)

根据引理2, 若x0 = 1, 则

x0 < 1, 则

其中x0l2 - l3 < xl2 - l3, 所以

x0 > 1, 则,

其中x0l3 - l2 > xl3 - l2, 所以

综上, 任意初始条件下均有| u11 (x) | > | u12 (x) |, ∀ x ∈ (0, x0).再考虑定义1中关于r的定义即可得到结论.

注8  现有一些文献中将l2定义为(1/2, 1), q < pqp均为互质正奇数.这存在一些问题.首先, 有限时间稳定Lyapunov定理中关于l2定义在(0, 1)区间而非(1/2, 1)区间, 也并不要求l2一定为两个正奇数的比[10].其次, 可以发现许多文献中FTSC设计存在明显的情况, 但同样可以保证有限时间收敛或稳定.如Levant等[22]在HOSMD或高阶滑模控制器中最后一层滑模面的指数设计为1/2.再次, 要避免复数, 采用| x |l2 sgn(x)的形式即可.最后, 由定理3可知, l2被限制得过大是对FTSC控制能力的严重闲置.例如, 在x = 10 - 4处:若l2 =1/2, , 则该点处状态收敛速度大小为10 - 2; 若l2 =1/4, , 则该点处状态收敛速度大小为10 - 1.两者对比, 后者的收敛速度提高了10倍.

注9  若不考虑输入受限的初始约束条件umax = k2 x0l2 + k3 x0l3 = k1 x0, 则可以选择参数l2l3使得k2 x0l2 +k3 x0l3 >k2 x0l2, ∀ k3 >0.所以k1=k2= k3时, 有快速项k3 x0l3的FFTSC优于无快速项的FTSC[3, 10, 19].但考虑输入受限的初始约束条件下, 定理3表明无快速项的FTSC更优.这一结论是对现有成果的补充, 可以避免错误使用FFTSC反而造成控制性能下降.

4 仿真研究

仿真1  考虑6种FTSC控制器, 其中example 1 ~ example 3为FFTSC, example 4 ~ example 6为非快速FTSC.设初始条件为umax = 10, x0 = 4, l3 =2, 根据表 1约束选择参数并计算r1t1, 如表 2所示.其中:~example 1和example 4的l2=0.9;~example 2和example 5的l2=0.5;~example 3和example 6的l2=0.01. 6个控制器作用下系统的状态曲线如图 5所示; 控制量如图 6所示, 其中矩形框面积表示Pmax, 控制器曲线和横轴所围面积表示P1.矩形框面积不变, 所以所围面积越大, 控制器利用率r1越大.

表 2 不同参数下的r1t1
图 5 example 1 ~ example 6状态轨迹
图 6 example 1 ~ example 6控制曲线

分析表 2图 5图 6可知:

1) 根据表 1所得的控制器参数, 使得6种FTSC输出总是小于最大允许值umax, 表明了表 1中所得约束条件的正确性.

2) 图 5中实际状态收敛时间与表 2中根据式(32)理论计算所得的收敛时间完全一致, 表明了该计算式正确.

3) FTSC的收敛时间总是小于NFTSC无穷大的收敛时间; FTSC的控制利用率r1总是高于NFTSC的50 %控制利用率.

4) 将情况1 ~情况3视为第1个对照组, 情况4 ~情况6视为第2个对照组, 随着l2的减小, 这两个对照组中控制利用率r1均上升, 收敛时间t1均下降.例如:情况3相对于情况1, r1提升了30.40 %, t1减小了85.33 %; 情况6相对于情况4, r1提升了88.12 %, t1减小了89.79 %.

5) 将情况1和情况4视为第1个对照组; 情况2和情况5视为第2个对照组; 情况3和情况6视为第3个对照组.每组中的两个l2l3的取值都相同, 但每组中后者的k3小于前者的k3.这3组均表明, 较小的k3对应着较大的控制利用率r1和较小的收敛时间t1.例如:情况4相对于情况1, r1提升了3.44 %, t1减小了8.24 %; 情况5相对于情况2, r1提升了20.00 %, t1减小了26.06 %; 情况6相对于情况3, r1提升了49.22 %, t1减小了36.16 %.

6) example 6中, l2 = 0.01, 在该准全控制利用率控制器作用下, r1=99.01 %, 接近于100 %, 而t1=0.404 1 s, 也接近于理论下限t1 = x0/umax = 4/10 = 0.4 s.同时, 控制器无抖振.

7) 对比情况6和情况3可知, 虽然两种情况下l2 = 0.01都为充分小的数, 但因为情况3中的k3 ≠ 0, 所以情况3中的r1远小于1.这说明准全控制利用率FTSC必须是传统的仅含终端吸引子项的控制器, 如u = -x0.01; 而不可以是含快速项的控制器, 如u = - x - x0.01.

8) 从图 6(a) ~ 图 6(c)看, 若控制器含有快速项, 则在状态靠近x0附近, 控制器曲线为一凹函数, 随着x减小迅速下降; 从图 6(d) ~ 图 6(f)看, 没有快速项的控制器在整个状态区间均为一凸函数, 所以下降较慢, 从而始终保持较大的控制量, 提高了控制利用率.

仿真2  验证本文结论对FTSC的改进作用.文献[23]作为AOPIC核心论文之一, 在仿真中为二阶积分系统1 = x2, 2 = u设计了具有非奇异、有限时间稳定、无抖振等优点的AOPIC控制器: u = - 1.5× (x25/3+ 0.15x1)1/5.初始状态为x1(0) = 5, x2(0)=-3.定义, 于是u = -1.5s1/5(实际上s也可视为二阶系统的非奇异TSMC滑模面[18]).可以假设控制器最大输出为umax = - 1.5× (- 5.490 3)1/5=2.108 7.根据本文提出的结论设计改进的AOPIC控制器为u = - 2.108 7(x28/3+3.944 9x1)1/100.所得控制器、滑模面和系统状态的曲线如图 7所示.

图 7 AOPIC与改进AOPIC的控制器、滑模面及状态曲线

图 7(a)表明:随着时间增加, 传统的AOPIC控制器输出迅速下降, 造成控制器部分控制能力的闲置; 而基于本文提出的改进AOPIC控制器(准全控制利用率AOPIC)几乎不下降, 控制量始终接近umax.在这两种控制器差异的影响下, 图 7(b) ~ 图 7(d)清晰地显示了控制性能的差异:图 7(b)中改进AOPIC的滑模面s收敛于0的时间远小于原AOPIC滑模面收敛于0的时间; 图 7(c)图 7(d)中的状态轨迹也具有类似的改进和趋势.

上述两个仿真均表明, 在控制输入受限的条件下, 按照本文的结论, 改进的FTSC控制器均可以最大程度地发挥控制器的性能, 以求得最小的收敛时间和最快的收敛速度, 同时保持了FTSC有限时间收敛、无抖振、非奇异等一系列的优点.另一方面, 通过这两个例子可以看出, 本文的结论广泛适用于FTSC控制的各个分支, 具有普适性.

5 结论

本文提出输入受限的准全控制利用率FTSC控制器具有以下意义: 1)每一点的控制输入均不大于允许最大值umax, 符合工程实际的限制; 2)尽可能在状态轨迹的每一点上使控制量接近umax, 以获取可能的最优性能; 3)控制器仍然是有限时间收敛的, 同时控制器在原点又是连续的, 因此不存在抖振; 4)无需增加或融合在线调整参数、自适应率等额外复杂控制方法, 准全控制利用率FTSC本身即具有自适应调节控制量大小的能力; 5)所得结论广泛适用于目前已知的大部分FTSC控制方法; 6)从理论上严格证明了输出受限时FTSC优于NFTSC, 并给出了充分性的约束条件, 且所得条件易于参数的选择, 简单易行; 7)证明了准全控制利用率FTSC只含终端吸引子项xl2而不含快速项xl3, 即FTSC优于快速FTSC, 这是对“快速FTSC优于FTSC”这一结论在输入受限条件下的一个重要补充.

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