2. 复杂系统先进控制与智能自动化湖北省重点实验室,武汉 430074
2. Hubei Key Laboratory of Advanced Control and Intelligent Automation for Complex Systems, Wuhan 430074, China
欠驱动系统[1]是控制输入维数小于自由度维数的一类系统, 在控制领域较为常见.欠驱动系统由于成本低、能耗低的特点受到越来越广泛的关注, 已成为机械系统领域研究的新热点.然而, 部分驱动器的缺失给此类系统的控制带来很大的挑战.欠驱动系统在减少执行元件个数、减轻系统重量以及降低成本方面具有很大优势[2], 对欠驱动系统的研究能有效地推动非线性、轨迹跟踪、镇定等问题的研究, 因此其研究具有重要的理论意义和实用价值.
根据是否受重力作用, 欠驱动系统分为垂直欠驱动系统[3-5]和平面欠驱动系统[6-8].受重力影响的Pendubot是典型的垂直欠驱动系统, 在运动区域内只有有限个平衡点, 控制目标通常将其末端从垂直向下位置移动, 并稳定在垂直向上位置[9-10].其次, 该系统属于二阶非完整系统[11], 不满足Brockett必要条件[12], 很难使用光滑的控制器实现系统的位置控制.国内外学者普遍采用分区方法将运动区间分为摇起区和平衡区, 分别设计控制器实现各区间内的控制要求[13].但是, 分区方法对于摇起区和平衡区的范围并不统一, 当区域划分不合适时, Pendubot很难从摇起区平稳过渡至平衡区.在控制器切换时力矩突变较为明显, 容易造成系统的不稳定.部分学者利用智能优化算法调整欠驱动系统的能量、姿态以及保证分区控制中各控制器的切换平滑性[14].文献[15]通过智能优化方法设计连续控制器实现平面PAA系统的位置控制, 克服了机械臂在几何可达范围内的某些位置不能连续控制的缺点.也有学者利用轨迹规划方法实现了欠驱动系统的控制目标[16-19].然而, 轨迹规划方法在垂直欠驱动机械臂上的应用却很少涉及.
鉴于上述分析, 本文针对Pendubot提出一种基于遗传算法的轨迹规划与控制方法.首先, 为驱动连杆设计正向和反向轨迹, 并借助遗传算法优化轨迹参数, 使正向和反向轨迹拼合的同时, 对应的Pendubot末端点轨迹拼合为一条由垂直向下平衡位置到垂直向上平衡位置的完整轨迹; 然后, 设计滑模控制器跟踪优化后的驱动连杆轨迹, 并通过镇定控制器设计将系统末端点稳定在垂直向上平衡位置; 最后, 通过仿真实验表明所提出方法的有效性, 并对比说明所提出方法的优越性.
1 Pendubot动力学模型图 1为Pendubot模型示意图.图中: mi、Li、Ji分别为第i连杆的质量、长度和转动惯量; li为第i连杆质心到前一关节的长度, i=1、2; τ1为力矩.
由欧拉-拉格朗日方程可得Pendubot的动力学模型为
(1) |
(2) |
其中
(3) |
(4) |
(5) |
g=9.8N/kg; a1、a2、a3、a4、a5为模型参数, 表达式见文献[20].
式(1)和(2)可改写为
(6) |
其中
(7) |
(8) |
(9) |
(10) |
由于Pendubot的欠驱动特性, 只能为驱动连杆设计轨迹, 无法直接为欠驱动连杆进行轨迹规划.驱动连杆沿设计的轨迹运动时, 利用系统连杆间的耦合关系, 实现对欠驱动连杆的间接控制.
2.1 轨迹设计系统控制目标是将Pendubot末端点由垂直向下平衡位置移动并最终稳定在垂直向上平衡位置.由控制目标可知, 驱动连杆的初始角度和目标角度分别为q10=-π/2, q1d=π/2, 因此分别从驱动连杆的初始角度和目标角度出发进行轨迹规划.
为驱动连杆设计从初始角度q10到中间角度的正向轨迹Γ1, 有
(11) |
其中: q10=-π/2为驱动连杆的初始角度, q1m为驱动连杆的中间角度, k1为轨迹参数.
设计从中间角度到目标角度的反向轨迹Γ2, 有
(12) |
其中: q1d=π/2为目标角度, k2为轨迹参数.
当q1m确定后, Γ1和Γ2拼合为一条由初始角度q10到目标角度q1d的完整轨迹, 记为Γ. 图 2为轨迹Γ的示意图.
轨迹Γ到达中间角度的时刻和末端时刻分别为
(13) |
驱动连杆沿Γ1和Γ2运动时, 欠驱动连杆在耦合关系作用下以一定速度运动至相应角度.记在tm时刻Γ1和Γ2所对应的欠驱动连杆的角度、角速度分别为
为使Pendubot末端点运动轨迹拼合为一条完整轨迹, 需选取合适的参数q1m、k1、k2.目前大多通过试凑方法选择参数, 不易获得理想的运动轨迹.本文引入遗传算法求解一组较优的轨迹参数q1m、k1、k2, 解决欠驱动机械臂轨迹规划中参数难选择的问题.
将评价函数设计为
(14) |
遗传算法的具体执行流程如下.
step 1:设定基本参数:种群数目N, 遗传代数gen, 最大遗传代数G, 变量数Nvar, 参数初始范围, 选择因子ns, 交叉因子nc, 变异因子nm.
step 2:初始化参数(q1m, k1, k2), 将(q1m, k1, k2)代入设计的轨迹(11)和(12)中, 结合系统动力学模型(1)和(2), 计算
step 3:将
step 4:如果f < δ(δ为正数), 则(q1m, k1, k2)=(q1m, k1, k2)|gen, 算法结束; 否则, 经过变异、交叉和选择操作, 更新(q1m, k1, k2), gen=gen+1, 转至step 2.
将优化的参数q1m、k1、k2代入式(11)和(12)中, Γ1和Γ2拼合为一条完整的驱动连杆轨迹Γ.此时, 末端点运动轨迹也拼合为一条垂直向下平衡位置到垂直向上平衡位置的轨迹, 记为Γy.当驱动连杆在跟踪控制器作用下沿Γ由初始角度q10运动到目标角度q1d时, 欠驱动连杆在系统耦合关系作用下运动至相应角度.根据驱动连杆和欠驱动连杆角度的变化, 对应的Pendubot末端点沿着轨迹Γy由垂直向下平衡位置运动至垂直向上平衡位置.
3 控制器设计本节通过设计相应控制器, 实现Pendubot末端点从垂直向下平衡位置运动并稳定至垂直向上平衡位置的控制目标.
3.1 跟踪控制器设计设计滑模面s1为
(15) |
其中: c0为常数, q1p和
(16) |
设计跟踪控制器τ1t为
(17) |
其中c1、ε1为正数.构造李雅普诺夫函数V1为
(18) |
对V1求导, 可得
(19) |
令
受重力影响, Pendubot末端点不能在垂直向上平衡位置保持长时间稳定, 因此, 设计镇定控制器使其维持在垂直向上平衡位置.记e1 = q1 - π/2, e2 = q2, 则
设计滑模面s21、s22为
(20) |
其中γ1、γ2为大于0的常数.
设计二级滑模面s2为
(21) |
其中α> 0、β> 0.结合式(20)和(21), 可展开为
(22) |
其中: d1=β, d2=βγ1, d3=α, d4=αγ2.对s2求导, 可得
(23) |
设计镇定控制器τ1s为
(24) |
其中c2、ε2为正数.同样地, 构造李雅普诺夫函数
(25) |
对V2求导, 可得
(26) |
当
当控制器(24)参数满足如下关系[21]时:
(27) |
可使e1→ 0,
通过上述分析, 整个控制过程可分为跟踪控制阶段和镇定控制阶段.当0≤ t < tf时, τ1=τ1t, 在跟踪控制器作用下Pendubot末端点运动到垂直向上平衡位置; 当t > tf时, 系统控制切换为镇定控制, τ1= τ1s, 从而保证Pendubot末端点稳定在垂直向上平衡位置.控制过程如图 3所示.
利用Matlab/Simulink仿真平台, 选择两组不同模型参数进行仿真, 验证所提出基于遗传算法的轨迹规划与控制方法的有效性和优越性.
4.1 仿真1选取Pendubot的模型参数为
(28) |
控制器(17)、(24)及遗传算法中各参数取为
(29) |
轨迹参数k1、k2的取值范围为
(30) |
由式(28) ~ (30), 通过遗传算法可得
(31) |
因此tm=0.102 3 s, tf=0.997 8 s.
由极点配置方法得到λ1、λ2、λ3.令(λ+3)3=0, 则λ3+9λ2+27λ+27=0, 可得λ1=9, λ2=27, λ3=27.结合式(27)和(28)可求得
(32) |
仿真结果见图 4.当t=tm=0.102 3 s时, 完成轨迹拼合.当0≤ t < tf=0.997 8 s时, 在控制器(17)作用下,
为与文献[22]中的控制效果进行比较, 选取模型参数为
(33) |
轨迹参数k1、k2的取值范围为
(34) |
控制器(17)、(24)及遗传算法中各参数取值同(29).由式(29)、(33)和(34), 通过遗传算法求得
(35) |
因此tm=1.037 7 s, tf=1.621 2 s.取λ1=9, λ2=27, λ3=27, 由式(27)和(33)可得
(36) |
仿真结果如图 5所示.当t=tm=1.037 7 s时, 轨迹(11)、(12)拼合为一条完整轨迹.当0≤ t < tf=1.621 2 s时, 在跟踪控制器(17)作用下,
本文针对垂直Pendubot提出了一种基于智能优化算法的轨迹规划与控制方法, 解决了分区控制中Pendubot难以从摇起区平稳过渡至平衡区的问题.为驱动连杆设计正向和反向轨迹, 利用遗传算法优化轨迹参数, 使正向轨迹反向轨迹拼合的同时, Pendubot末端点由垂直向下位置直接运动至垂直向上目标位置.设计相应控制器实现了系统位置控制目标, 控制过程中无需限定摇起区和平衡区的范围, 在控制器切换时, 控制力矩收敛到零, 力矩不会出现较大突变, 控制器切换更加平滑.
本文主要创新点如下:
1) 将轨迹规划方法应用于垂直Pendubot, 利用遗传算法优化轨迹参数, 从而间接得到由垂直向下位置直接运动至垂直向上位置的末端点轨迹.控制过程中无需限定摇起区和平衡区的范围, 解决了分区控制中难以从摇起区过渡至平衡区的问题.
2) 控制器设计简单.当跟踪优化后的驱动连杆轨迹运动至目标角度时, 各连杆角度、角速度均收敛到目标值, 控制力矩收敛到零, 在控制器切换时力矩不会出现较大的突变, 切换更加平滑.
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