控制与决策  2020, Vol. 35 Issue (5): 1143-1150  
0

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王攀, 柴琳, 费树岷, 孟庆华. 一类非线性状态时滞系统的基于采样控制器的渐近稳定问题[J]. 控制与决策, 2020, 35(5): 1143-1150.
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WANG Pan, CHAI Lin, FEI Shu-min, MENG Qing-hua. Asymptotic stability for a class of nonlinear systems with state time-delay based on sampled-data controller[J]. Control and Decision, 2020, 35(5): 1143-1150. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.0949.
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基金项目

国家自然科学基金项目(61473079);江苏省“六大人才高峰”高层次人才计划项目(RJFW-001);浙江省自然科学基金项目(LY16E050003)

作者简介

王攀(1988-), 女, 博士生, 从事非线性时滞系统及其应用的研究, E-mail: panwangqf@126.com;
柴琳(1978-), 女, 教授, 博士生导师, 从事非线性系统等研究, E-mail: chailin1@seu.edu.cn;
费树岷(1961-), 男, 教授, 博士生导师, 从事非线性系统、切换系统等研究, E-mail: smfei@seu.edu.cn;
孟庆华(1977-), 男, 教授, 博士, 从事电动汽车、机械故障诊断等研究, E-mail: mengqinghua@hdu.edu.cn

通讯作者

王攀, E-mail: panwangqf@126.com

文章历史

收稿日期:2018-07-10
修回日期:2018-10-22
一类非线性状态时滞系统的基于采样控制器的渐近稳定问题
王攀 1,2, 柴琳 1,2, 费树岷 1,2, 孟庆华 3     
1. 东南大学 自动化学院,南京 210096;
2. 东南大学 复杂工程系统测量与控制教育部重点实验室,南京 210096;
3. 杭州电子科技大学 机械工程学院,杭州 310018
摘要:针对一类含有状态时滞的非线性系统, 利用采样控制方法研究其渐近稳定问题.解决这一问题的关键在于对系统时滞的处理, 以及对由于采样方法而产生的状态增长误差进行估计.由于所考虑的时滞是常时滞, 可以利用分割方法对系统时滞进行分割, 将时滞划分成与采样时间长度相同的数个时间区间, 并基于这种分割, 通过数学归纳法对系统状态增长误差进行估计.通过坐标变换引入一个比例增益压制系统的非线性项, 然后设计含有比例增益的状态采样观测器和采样控制器, 结合非线性时滞系统的Lyapunov泛函方法分析闭环系统的稳定性, 最终确定比例增益和采样时间需要满足的条件, 以保证闭环系统的渐近稳定性.最后通过数值例子表明所用研究方法以及所得研究结果是有效的.
关键词非线性时滞系统    观测器    采样控制    归纳法    比例增益    Lyapunov函数    
Asymptotic stability for a class of nonlinear systems with state time-delay based on sampled-data controller
WANG Pan 1,2, CHAI Lin 1,2, FEI Shu-min 1,2, MENG Qing-hua 3     
1. School of Automation, Southeast University, Nanjing 210096, China;
2. Key Laboratory of Measurement and Control of Complex Systems of Engineering of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China;
3. School of Mechanical Engineering, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou 310018, China
Abstract: This paper studies the problem of asymptotic stability for a class of nonlinear systems with state time-delay by using sampled-data control method. The key technology to solve this problem is the dispose of time-delay, as well as the error estimate of state growth which is resulted by using sampled-data methods. Since the time delay is a constant, it can be divided into several intervals which have the same length as the sampling period. Based on this division, a mathematical induction approach is proposed to estimate the state growth. A scaling gain is introduced by coordinate transformation to deal with the nonlinear terms of the system, and then the state observer and controller are designed, which contain the scaling gain via the sampled-data control method. Combined with the Lyapunov functional method of nonlinear time-delay systems, the stability of the closed-loop system is analyzed, and finally the appropriate scaling gain and sampling period are determined to guarantee the asymptotic stability of the closed-loop system. The numerical example verifies the availability of the method and the obtained results.
Keywords: nonlinear time-delay systems    observer    sampled-data control    inductive approach    scaling gain    Lyapunov function    
0 引言

本文研究如下非线性时滞系统的渐近稳定问题:

(1)

其中: x(t)=(x1(t), x2(t), ..., xn(t))TRn为系统状态; tτ=t-τ, τ>0为常时滞; u(t)∈R为系统输出, 且在采样和零阶保持器下进行离散时间的实现, 即

(2)

采样时刻tk(k=0, 1, ...)为采样点, T为采样间隔; y(t)∈R为系统输出; 时滞τ可以被分成N个小区间且区间长度为T, 即τ=NT, N是正整数; 非线性项fi(·)(i=1, 2, ..., n)是未知函数; ϕ(θ)为系统的初始函数.

近年来, 类似于系统(1)的系统其各类镇定问题已在非线性控制领域得到了很好的研究[1-3].文献[1]证明了在下三角线性增长条件和线性状态反馈控制器作用下, 非线性时滞系统(1)是全局稳定的.十几年后, 在同样的假设条件下, 为了解决全局输出反馈镇定问题, 文献[2]提出了输出反馈压制方法, 首次在不考虑非线性项的情况下设计了观测器, 然后在下三角线性增长条件下引入比例增益来压制非线性项.近年来, 利用输出反馈研究非线性系统稳定性的研究成果大量涌现[4-9].

时滞系统的稳定问题受到越来越多学者的关注, 很多有意义的研究成果已被提出[10-14].解决时滞系统最常用的方法是Lyapunov-Krasovskii泛函法.文献[15]利用齐次压制法解决了一类不确定非线性时滞系统的全局输出反馈镇定问题.为了解决系统(1)的全局稳定问题, 文献[16]设计了一个动态状态反馈控制率和自适应输出反馈控制器.文献[17]在下三角增长的条件下, 利用线性输出反馈控制器解决了系统(1)的半全局镇定问题.基于文献[17]的研究成果和齐次压制法, 文献[18]得到了一个含有比例增益的齐次观测器和输出反馈控制器, 以实现系统(1)的半全局渐近稳定.

在实际工程中, 大部分控制器是利用计算机实现的, 这导致如何通过设计数字控制器来实现非线性系统的稳定成为学者们面临的又一个重要问题.利用采样控制器解决非线性系统的稳定问题并不简单, 解决这类问题通常有3种方法:第1种是根据非线性系统的离散时间逼近方法构建离散时间控制器[19]; 第2种是基于仿真方法, 利用离散化的连续时间控制器设计采样控制器.对于非线性系统, 近似误差的存在是不可避免的, 因此第1种方法只能保证系统的局部和半全局稳定, 第2种方法可以通过选取适当的采样间隔保证某些非线性系统的全局稳定[20-21], 这两种方法的前提条件是系统的所有状态都是可测的.当系统并非全状态可测时, 文献[22]提出了一种利用采样输出反馈控制器解决非线性系统稳定问题的方法.基于文献[22]中的方法和结果, 文献[23]考虑了一类在原点处不可控不可观的非线性系统的全局镇定问题.近年来, 学者们也得到了一些利用采样控制方法的有意义的研究成果[24-29].

本文利用采样输出反馈控制解决一类满足下三角线性增长条件的非线性时滞系统的全局镇定问题.通过坐标变换引入一个比例增益压制系统的非线性项; 然后设计含有比例增益的状态采样观测器和采样控制器, 结合非线性时滞系统的Lyapunov泛函方法分析闭环系统的稳定性, 最终确定比例增益和采样时间需要满足的条件, 以保证闭环系统的渐近稳定性; 最后通过数值例子表明所用研究方法以及所得研究结果是有效的.

1 问题描述及准备工作

本文的目标是设计采样输出反馈控制器

(3)

使得系统(1)是全局渐近稳定的.其中: χ为系统状态, y为系统输出, u为控制输入, ΓΦ为相应维数的矩阵, K=(k1, k2, ..., kn)∈Rn.

为了更好地解决问题, 给出如下假设和引理.

假设1  非线性项fi(·)(i=1, 2, ..., n)和初始条件ϕ(θ)满足

(4)
(5)

其中c1i>0、c2i>0 (i=1, 2, ..., n)和m≥1是常数.

引理1  对于非线性时滞系统(1), ∀t ∈ [tk, tk+1), k=0, 1, ..., N-1, 若初始条件满足式(5), x(t)满足

(6)

则当T充分小时, 存在0 < Mk(T)≤ε, 使得

(7)

其中: ε为任意正常数, N为固定的有界正整数, α1α2α3为正常数.

证明  利用归纳法证明此引理.根据式(6), 利用Gronwall-Bellman不等式易知

(8)
(9)
(10)

定义

可以发现, 当T非常小时, Qi(T)→0(i=0, 1, 2).由系统的连续性和不等式(8)可知

(11)

将式(11)代入(9), 有

(12)

T充分小时, 对于任意给定的正常数ε, 有

结合式(12)和系统的连续性, 可得

(13)

由式(11)和(13)可知x(t0)满足

(14)

所以

(15)

T非常小时, 有

假设下列不等式成立:

(16)
(17)

T充分小时, 有

易知

(18)

结合式(17)和(18), 有

(19)

因此有

(20)

T充分小时, 有

注1  利用采样控制解决非线性连续时滞系统控制问题的难点在于对状态误差的估计.引理1提供了一种在采样控制器作用下的闭环系统的状态误差估计的方法.

引理2  令U表示实数轴上的区间[a, ∞)或[a, b)或[a, b], 其中a < b, g(t)、h(t)、ρ(t)是定义在U上的实函数, h(t)和ρ(t)是连续函数.如果h(t)是非负的且ρ(t)满足

(21)

则有

(22)

证明  记

(23)

计算ϱ(s)的导数

(24)

由不等式(21)可得

(25)

式(24)和(25)表明下述不等式成立:

(26)

根据ϱ(b)=0, 对上述不等式两端进行积分, 得到

(27)

由式(23)和(27)可以发现

(28)

因此, 不等式(22)成立.

注2  引理2与Gronwall-Bellman不等式的区别在于:在Gronwall-Bellman不等式中积分区间为[a, t], 引理2的积分区间是[t, b], 二者只是积分区间不同, 证明过程类似.

引理3  对于非线性时滞系统(1), τ=NT>0, 这里N是一个固定的有界正整数, ∀t∈[tk, tk+1), k=0, 1, ..., N-1, θ∈[-τ, 0].如果初始条件ϕ(θ)满足式(5)且x(t)满足(6), 则存在ζN(m)使得

(29)

其中ζN(m)>0与mN有关.

证明  证明过程类似于引理1的证明, 同样利用归纳法.由式(6)和引理2可知

(30)
(31)
(32)
(33)

由式(30)可以得到

(34)

其中.因此有

(35)

不等式(31)和(34)表明

(36)

其中

由式(34)和(36)容易得出

(37)

不等式(31)、(36)和(37)表明

(38)

结合式(32)和(37), 有

(39)

其中

因此有

(40)

进而, 由式(32)、(39)和(40)可知

(41)

假设不等式

(42)

其中

(43)

进而有

(44)

k=N-1, 则有

(45)

式(45)表明∀t∈[0, τ), 不等式(29)成立.

注3  近年来, 采样控制方法也被利用到非线性时滞系统, 然而, 在现有的研究结果中, 采样间隔的选取受到很大限制, 通常被取为与时滞相等, 这与实际工程应用是不相符的.引理3解决了这一问题, 这也是本文的创新点之一, 采样时间没有必要一定与时滞相等, 使得本文所提出的方法和参数更具有实用性.

2 主要结论

利用采样控制解决系统(1)的全局渐近稳定问题.为了实现目标, 需要设计如式(3)的采样输出反馈控制器.下面给出定理及其证明.

定理1  对于非线性时滞系统(1), 如果系统满足假设1, 则在采样输出反馈控制器(3)的作用下, 系统(1)是全局渐近稳定的.

分4步证明此定理: 1)系统(1)在坐标变换下可以转化为一个与之等价的系统; 2)在只有输出可测的情况下设计离散时间观测器; 3)基于离散时间观测器构建采样输出反馈控制器; 4)分析在采样输出反馈控制器作用下的闭环系统的稳定性.

2.1 对系统(1)的预处理

定义如下的坐标变换:

(46)

其中L≥1为待定的比例增益.在上述坐标变换作用下, 非线性时滞系统(1)转化为

(47)

其中fi(·)=fi(·)/Li-1, i=1, 2, ..., n.由于L≥1, 假设1等价于如下假设.

假设2  对于系统(47), 非线性项fi(·)(i=1, 2, ..., n)和初始函数ϕ(θ)满足下列不等式

(48)
(49)

定义

(50)

系统(47)转化为

(51)
2.2 离散时间观测器设计

在只有输出可测的情况下, 设计如下观测器:

(52)

A-λD, 系统(52)可以写为

(53)

观测器(53)等价于离散时间系统

(54)

其中

控制器v(tk)具有形式, K将在下一部分中定义, 系统(54)变为

(55)

其中Θ4=Θ1-Θ2K.观测器(53)与(55)具有相同的估计事实上, 可以利用离散时间观测器(55)构建输出反馈控制器(3).为简单起见, 在后面的研究中将利用观测器(53).

2.3 采样输出反馈控制器设计

设计基于状态估计的采样控制器

(56)

其中K=[k1, ..., kn], ki>0 (i=1, ..., n)为多项式p2(s)=sn+knsn-1+...+k2s+k1的系数.

将式(56)代入(51)和(53), 可得

(57)

定义, 结合z1(tk)=Dz(t)+D(z(tk)-z(t)), 系统(57)可写为

(58)

, 由于A-BK是Hurwitz的, 是Hurwitz的, 即存在正定矩阵P=PTR2n×2n>0, 使得

2.4 闭环系统(58)的稳定性分析

选取如下Lyapunov函数:

(59)

其中PT=PQ是正矩阵. Lyapunov函数V(Z(t))沿系统(58)的导数为

(60)

由式(48)可知

(61)

其中

因此有

(62)

其中λmax(P)为矩阵P的最大特征值.

对式(60)右端的Z(t)-Z(tk)项进行估计.对于0≤ tτT=τ/N, N≥1, 不等式(58), (61)表明

即若选取

则满足引理1条件.由引理1可知存在函数δ(T)使得

(63)

对于任意给定的正常数ε, 当T充分小时, δ(T)≤ε.因此有

(64)

由此可得

(65)

将式(62)和(65)代入(60), 有

(66)

其中λmax(Q)和λmin(Q)分别为Q的最大和最小特征值.通过选取适当的PQ, 可以得到λmin(Q)-c2λmax(P)>0.选取适当的T, 使得

(67)

因此有

(68)

在条件T=τ/N下, 对于给定的τ, 取

(69)

由式(68)和(69)可知, 对于k=0, 1, ..., N-1, 若Z(tk)≠0, Z(tk-τ)≠0, 则(Z(t)) < 0, ∀t∈[tk, tk+1).下面验证V(Z(tk+1)) < V(Z(tk)).事实上, 由V(Z(t))的连续性和(Z(t)) < 0可知, 对于任何序列(Z(tn)) < 0.取递增子序列显然有

对上述不等式两端同时取极限, 可得V(Z(tk+1)) < V(Z(tk)).

注4  式(63) ~ (68)是在区间t∈[0, τ)上得到的结论. ∀t∈[τ, 2τ), 状态轨迹依赖于时间区间[0, τ)上的状态响应, 而这个状态响应又依赖于初始条件ϕ(θ).由于ϕ(θ)满足假设1中的条件(5), 因此若x(t), ∀t∈[0, τ)满足‖x(t)‖≤ m*x(τ)‖, 这里m*≥1是常数, 则结论(63) ~ (68)在时间区间t∈[τ, 2τ)上也成立.

由引理3和x(t)的连续性可知

(70)

符合假设1中的条件(5), 因此重复式(63) ~ (68)的过程.这里, 条件(70)中的x(t)与假设1中的ϕ(θ)等价.

类似式(63) ~ (68), 可得当t∈[τ, 2τ)时, (Z(t)) < 0.利用递推法有(Z(t)) < 0, ∀t∈[iτ, (i+1)τ), i=0, 1, ..., 即(Z(t)) < 0, ∀t∈[tk, tk+1), k=0, 1, ..., N-1, N, N+1, ..., 因此, 系统1在采样输出反馈控制器(3)作用下是全局渐近稳定的.

3 数值例子

考虑如下2维非线性时滞系统:

(71)

可以验证系统(71)满足假设1.下面证明∀t∈[tk, tk+1), 采样控制器

(72)

可以全局镇定系统(71).选取τ=1 s, λ1=3, λ2=6, k1=3.5, k2=5, L=3, N=50, 采样间隔为T=0.02 s.对于-1≤ t≤ 0, 初始函数取为

(73)

仿真结果如图 1 ~ 图 3所示. 图 1图 2为状态响应x(t)和, 图 3为采样控制器u(t)的轨迹.仿真结果表明, 非线性时滞系统(71)在采样控制器(72)作用下是渐近稳定的.

图 1 状态x1(t)和的响应曲线
图 2 状态x2(t)和的响应曲线
图 3 采样控制器u的轨迹
4 结论

本文利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法和采样控制方法研究了一类含有状态时滞的非线性系统的全局渐近稳定问题.时滞被划分为与采样间隔有相同长度的数个时间区间, 并基于此提出了3个主要引理.设计含有比例增益的采样输出反馈控制器, 通过选取适当的比例增益和采样间隔, 使得闭环系统是渐近稳定的.

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