0 引言

DC / DC变换器是一种实现直流电路电压转换的电力电子设备, 其基本拓扑可以分为Buck变换器、Boost变换器、Buck-Boost变换器等.其中Buck变换器又称降压变换器, 因其具有降压的特性以及结构简单、稳定性高、易于分析等特点而被广泛使用.随着电源变换器的性能要求日益提高, 越来越多非线性控制技术被应用于Buck变换器, 如反步法^[1]、模糊控制^[2]、神经网络^[3]、自适应动态规划^[4]、滑模控制^[5-10]等.其中滑模控制方法具有稳定范围宽、动态响应快、鲁棒性强、控制实现简单等优点.文献[5]将滑模控制方法应用于Buck变换器, 并采用PWM调制方法, 以降低开关频率变化的影响; 文献[6]基于扩张状态观测器和滑模控制方法, 设计了一种基于扰动补偿的滑模控制律以提高系统抗干扰能力并实现系统渐近稳定; 文献[7-8]基于终端滑模理论设计了Buck变换器系统的有限时间控制器, 实现了变换器输出电压的快速跟踪控制; 文献[9-10]设计了有限时间自适应控制器, 用于解决Buck电路中系统不匹配干扰问题以及输出负载变化问题.然而, 文献[7-10]中系统收敛时间上界与系统初始状态变化有关, 即当系统初始状态变化时, 其收敛时间上界也随之发生变化. 2012年, 文献[11]提出了固定时间控制方法, 保证系统收敛时间一致有界, 且其时间上界与系统初始条件无关.目前, 固定时间控制方法已被应用于多智能体、电力系统、航天器等诸多领域^[12-20], 但在DC / DC变换器控制领域尚未见报道.此外, Buck变换器中电阻、电感、电容受温度及外部干扰影响, 其参数值易发生变化且不易准确测得, 因此控制器设计需要考虑电容、电感等参数变化对控制器效果的影响.

本文针对Buck型DC / DC变换器系统, 提出一种新的固定时间自适应降压控制方法.针对参数已知的Buck变换器系统, 设计固定时间终端滑模面和控制器, 保证系统输出电压误差在固定时间内收敛到平衡点, 且其收敛时间与系统初始状态无关, 仅由控制参数决定.针对Buck变换器系统参数易发生变化且不易准确测得的问题, 本文进一步提出自适应参数更新律估计系统中所有未知参数, 并在此基础上设计固定时间自适应控制器, 保证在系统参数未知的情况下, 输出电压误差能够在固定时间内收敛至平衡点附近的邻域内.

1 系统描述及预备知识 1.1 Buck型DC / DC变换器模型描述

Buck型DC / DC变换器工作原理如图 1所示.

其中: V_o、V_in、i_C分别是输出电压、输入电压和输出电容电流; S_w是MOS场效应管开关元件; D是续流二极管; C是输出电容; L是输入电感; R是负载电阻; u是控制器输出, 即为MOS场效应管开关元件S_w的占空比, 满足u∈[0, 1].如图 1所示, 根据开关的通断情况, Buck变换器的数学模型^[5]可表示如下:

当开关导通时, 可得

(1)

当开关截止时, 可得

(2)

由式(1)和(2)可知, 在连续导通模式下的Buck变换器平均模型可表示为

(3)

假设V_ref为期望参考输出电压, 令x₁ = V_o - V_ref为输出电压误差, x₂ = i_C为输出电容电流, 则式(3)可改写为

(4)

本文控制目的是设计控制器保证系统(4)的输出电压误差x₁在固定时间内收敛.

1.2 预备知识

引理1^[13]   考虑如下系统:

(5)

其中: sig^m₁y=sign y·|y|^m₁, l₁>0, l₂>0, m₁>1, 0 < m₂ < 1.则系统(5)的平衡点是固定时间稳定, 且收敛时间T满足

(6)

引理2^[19]  考虑非线性系统(5), 假设存在一个李雅谱诺夫函数V(x), 常量α, β > 0, 0 < λ₁ < 1, λ₂ > 1以及0 < η₀ < ∞, 可以得到如下公式:

(7)

则V(x)可以在固定时间内收敛到平衡点附近的邻域, 且该邻域可表示为

(8)

其中: θ是一个常量, 满足0 < θ < 1.系统状态变量收敛到邻域(8)所需时间满足如下关系:

(9)

引理3^[20]   对于任意θ₁, θ₂, ..., θ_m≥0, 存在如下关系成立:

(10)

(11)

其中: 0 < λ₁ < 1, 1 < λ₂ < ∞.

2 固定时间控制

本节考虑Buck变换器(4)参数已知的情况, 设计固定时间滑模面为

(12)

其中: k₁、k₂、a₁、a₂是正常数, k₁>0, k₂>0, 0 < a₁ < 1, a₂>1.

由式(4)和(12)可得s导数为

(13)

则固定时间控制器u设计为

(14)

其中τ、α、β、λ₁、λ₂是正常数, 0 < λ₁ < 1, λ₂ > 1, 且有

(15)

饱和函数项sat(k₁a₁| x₁ |^{a₁ - 1}x₂, τ)有助于避免由k₁a₁| x₁|^{a₁ - 1}x₂引起的奇异值问题, τ是正常数.

定理1  针对系统(4), 设计滑模面(12)和控制器(14), 则系统输出电压误差x₁在固定时间T_max内收敛到平衡点, 且收敛时间T满足

(16)

其中:

(17)

(18)

且有

证明  选取如下Lyapunov函数:

(19)

对式(19)求导可得

(20)

当|k₁a₁|x₁|^{a₁ - 1}x₂| < τ时, 将式(14)代入(20)可得

(21)

由于0 < (λ₁ + 1)/2 < 1, (λ₂ + 1)/2>1, 由引理1可得, 系统输出电压误差x₁可以在固定时间T₁内收敛到s=0的滑模面上, 其中T₁满足关系式

当|k₁a₁|x₁|^a₁-1x₂|≥τ时, 由式(4)可得x₁(t)的解为

(22)

由式(22)可知:当x₂(t)>0时, x₁(t)单调递增并离开不等式|k₁a₁|x₁|^a₁-1x₂|≥τ所在区域.当x₂(t) < 0时, x₁(t)单调递减并离开该区域.从以上两种情况可知, 输出电压误差x₁不会停留在该区域, 且能够在有限时间内穿过该区域.因此, 不等式|k₁a₁|x₁|^{a₁ - 1}x₂|≥τ所在区域的存在并不影响系统稳定性分析的结果.由于系统输出电压误差x₁在该区域停留时间很短, 系统收敛时间估计上界仍可用式(16)表示.为保证s=0不在该区域内, τ的取值应满足如下关系:

(23)

其中: |x₁| < x_1max, x_1max为输出电压误差上界.

当到达滑模面s=0时, 系统运动方程可表示为

(24)

由式(4)中的可得

(25)

由引理1可得, 系统输出电压误差x₁可以在固定时间T₂内从滑模面s=0收敛到平衡点, 其中收敛时间T₂满足关系式.

综上, 在控制器(14)的作用下, 系统输出电压误差x₁在固定时间T_max内收敛到平衡点, 其收敛时间T满足T≤T_max = T₁ + T₂.

3 固定时间自适应控制

本节考虑Buck变换器(4)参数未知的情况, 设计自适应参数更新律在线估计所有未知参数, 并根据参数估计值设计固定时间自适应控制器, 其中固定时间滑模面设计如式(12)所示.根据式(14), 定义待估计参数c₁、c₂、c₃为

(26)

则固定时间自适应控制器设计为

(27)

其中: 为c_i的估计值, i = 1, 2, 3, 且自适应参数更新律设计为

(28)

这里: γ_i > 0, i = 1, 2, 3.

定理2  针对Buck变换器系统(4), 设计滑模面(12)、控制器(27)及参数自适应更新律(28), 则系统输出电压误差x₁在固定时间T_max'内收敛至平衡点附近的邻域内, 且收敛时间T'满足

(29)

其中:

(30)

(31)

且有σ、θ是常数, 满足0 < σ < 1, 0 < θ < 1.

证明  选取如下Lyapunov函数:

(32)

其中是c_i的估计误差(i = 1, 2, 3).

对V₂求导可得

(33)

当|k₁a₁|x₁|^{a₁ - 1}x₂| < τ时, 将控制器(27)代入(33)可得

(34)

将式(28)代入(34)可得

(35)

由式(35)可以看出, s和有界且存在正常数Δ_i, 满足因此, 式(35)可以改写为

(36)

其中η_i为正常数(i = 1, 2, 3).

令, 则式(36)改写为

(37)

由引理3可知, 式(37)可改写为

(38)

其中

由引理2可知, 输出电压误差x₁可以在固定时间T₁内收敛至滑模面s=0附近的邻域D内, 其中

(39)

其中: 是正常数, C₂=

当|k₁a₁|x₁|^{a₁ - 1}x₂|≥τ时, 与定理1的分析类似, 由式(22)可知, 系统输出电压误差x₁不会停留在|k₁a₁|x₁|^a₁-1x₂|≥τ所在区域内且能够在有限时间内穿过该区域.因此, 该区域的存在并不影响系统稳定性分析的结果.由于系统输出电压误差x₁在该区域停留时间很短, 系统收敛时间上界仍可用式(29)表示.

由式(4)和(39)可知, 当到达滑模面s=0附近的邻域时, 系统运动方程为

(40)

由引理2可知, 输出电压误差x₁在固定时间T₂'内从滑模面s=0收敛到平衡点附近的邻域, 即

(41)

其中

综上, 在控制器(27)和自适应律(28)作用下, 系统输出电压误差x₁在固定时间T_max'内收敛到平衡点附近的邻域内, 即输出电压V_o在固定时间内收敛到期望参考输出电压V_ref附近的邻域内, 且其收敛时间T'满足T'≤ T_max ' = T₁' + T₂'.

4 仿真分析

为了验证本文方法的有效性, 针对Buck变换器系统(4)参数已知和未知两种情况, 利用Matlab / Simulink仿真软件分别进行4种方法的对比仿真.

针对参数已知情况, 方法1表示本文提出的固定时间控制方法, 包括滑模面(12)和控制器(14).方法2表示有限时间控制方法, 其中滑模面为

(42)

控制器设计为

(43)

(44)

针对系统(4)参数未知情况, 方法3表示本文提出的固定时间自适应控制方法, 包括滑模面(12)、控制器(27)和自适应更新律(28).方法4表示有限时间自适应控制方法, 其中滑模面如式(43)所示, 控制器设计为

(45)

自适应更新律设计为

(46)

4.1 系统参数设置

本节给出两组仿真结果, 各组仿真中系统状态变量初始值如表 1所示, Buck变换器模型参数如表 2所示, 控制参数如表 3所示.

为了得到最优的控制效果, 表 3中的控制参数均采用试错法获取.仿真结果如图 2 ~ 图 6所示.

4.2 仿真实例1: Buck变换器(4)参数已知

仿真实例1为考虑Buck变换器(4)参数V_in、R、L、C均已知的情况下, 方法1与方法2的仿真对比, 如图 2和图 3所示.由图 2可知, 当系统初始状态由初值Ⅰ变为系统初值Ⅱ时, 在方法1的作用下, 系统输出电压误差x₁收敛时间均在0.02 s左右, 而在方法2作用下, 系统输出电压误差x₁收敛时间则从0.02 s增加到0.025 s.由图 3可见, 当系统初始状态由初值Ⅰ变为系统初值Ⅱ时, 在方法1的作用下, 系统控制器输出u收敛时间均在0.02 s左右, 而方法2中系统控制器输出u收敛时间则由0.02 s变到0.025 s.

由图 2和图 3可见, 当系统初始状态变化时, 相对于方法2, 方法1中系统输出电压误差x₁收敛时间基本不变.此外, 由式(16)可得, 方法1中系统输出电压误差x₁收敛时间估计上界为0.083 s, 而当系统初始状态变化时, 在方法1控制下, 系统输出电压误差x₁收敛时间均在0.083 s内, 可见, 方法1中输出电压误差x₁能在固定时间内收敛到平衡点, 且其收敛时间上界与系统初始状态无关.

4.3 仿真实例2: Buck变换器(4)参数未知

仿真实例2为考虑Buck变换器(4)参数V_in、R、L、C均未知的情况下, 方法3与方法4在系统初值Ⅲ条件下的仿真对比, 如图 4 ~ 图 6所示.由图 4可见, 在方法3的作用下, 系统输出电压误差x₁收敛时间为0.028 s, 而方法4中系统输出电压误差x₁收敛时间则为0.032 s.由图 5可知, 方法3中控制器输出u收敛时间为0.028 s, 而方法4中控制器输出u为0.032 s.由式(26)可知, c₁、c₂、c₃分别为0.058 8, 5.88×10^-4, 0.005 88.从图 6可知, 方法3中系统参数估计值分别收敛到0.058, 0.009 5, 0.12, 其收敛时间均为0.008 s, 而方法4中系统参数估计值分别收敛到0.058, 0.008 7, 0.184, 其收敛时间均为0.015 s.可见, 方法3中系统参数估计值误差更小.

由图 4 ~ 图 6可知, 相比于方法4, 在方法3作用下, 系统输出电压误差x₁收敛速度更快.由式(29)可得, 方法3作用下的系统输出电压误差x₁收敛时间估计上界为0.11 s, 而方法3中系统输出电压误差x₁收敛时间在0.11 s内, 且仅使用控制参数即可实现系统输出电压的快速收敛.可见, 方法3可以在系统参数未知的情况下, 保证系统输出电压误差x₁在固定时间内收敛至平衡点附近的邻域内.

5 实验分析

如图 7所示, Buck变换器的实验测试系统采用DSP28335作为控制芯片, 开关频率设置为50 kHz, 且系统参数如表 2所示. 图 8和图 9给出了在负载电流发生突变的情况下, 本文提出的固定时间自适应控制方法(即方法3)与传统PI控制算法的实验对比结果, 其中图 8表示负载电流从0.5 A突然减小到0 A, 图 9表示从0 A突然增加到0.5 A, 图 8和图 9中局部放大图坐标刻度均为500 mV / div, 2 ms / div.

控制器设计中, PI参数设置为k_p=0.05, k_i=0.05, 本文提出的方法3的控制参数设置为a₁=7/9, a₂=1.7, k₁=k₂=0.2, λ₁=0.6, λ₂=1.7, α=β =0.003 5.如图 8所示, 当负载电流从0.5 A减小到0 A时, PI控制下的Buck变换器瞬态响应时间和输出电压超调量分别为2 ms和200 mV, 而本文提出的方法3则分别为1 ms和180 mV.

如图 9所示, 当负载电流从0 A增加到0.5 A时, 方法3控制下的Buck变换器瞬态响应时间为1 ms左右, 输出电压超调量为200 mV左右, 而在PI控制控制下的Buck变换器瞬态响应时间和输出电压超调量分别为2 ms和300 mV.因此, 上述实验结果对比说明, 相对于PI控制算法, 本文提出的固定时间自适应控制方法收敛速度较快, 瞬态电压波动较小, 且抗负载变化能力更强.同时, 当系统参数发生变化时, 本文方法具有更强的鲁棒性.

6 结论

本文针对Buck型变换器, 提出了一种固定时间自适应控制方法.针对系统参数已知的情况, 设计固定时间终端滑模面和控制器, 保证输出电压误差在固定时间内收敛到平衡点且其收敛时间上界与系统初始状态无关.设计自适应参数更新律在线估计系统所有未知参数, 并在此基础上设计固定时间自适应控制方法, 保证在系统参数未知的情况下, 输出电压误差在固定时间内收敛到平衡点附近的邻域内.仿真与实验对比结果验证了所提出的方法的有效性.