0 引言

在群体决策过程中, 面对复杂的决策问题, 决策者往往不易直接给出方案的排序结果, 而更容易给出方案两两比较的评价信息, 因此, 基于互反判断矩阵和互补判断矩阵的群决策问题得到了广泛的研究^[1-6].本文主要研究基于互补判断矩阵的群决策方法.在基于互补判断矩阵的群决策过程中, 首先要协调不同个体间的意见和看法, 形成群体成员都比较满意的群体意见, 这就是群体共识性问题^[5-9].

传统的群共识决策方法假设决策者之间是独立存在的, 没有考虑决策者之间的关系.但是, 现实生活中决策者之间往往存在一定程度的关系(如信任关系, 情感关系等).决策者之间的相互关系以及其所在的社会网络的结构特征是影响群体决策的重要因素, 充分利用决策者之间社会网络关系可以有效弥补决策者相关方面知识能力的不足.所以一种基于社会网络的群决策问题吸引了许多学者的关注.他们将决策者之间的社会网络关系的研究运用到群决策研究中^[10-18].如文献[11]利用决策者之间的信任关系来计算决策者的相关权重并补全决策矩阵中缺失的信息; 文献[12]考虑决策者之间的信任关系传递, 进而求得决策者的权重, 并构建可视化共识决策模型; 文献[14]利用决策者之间的社会关系强度和互动频率来计算专家的相关权重和共识反馈模型中的可接受调整系数; 文献[16]提出信任关系诱导的共识反馈机制, 决策者两两之间的信任关系是根据决策者两两之间意见的距离定义的, 并不是通常意义下社会网络中的人与人之间的信任关系.文献[18]则是聚焦于社会网络中的动态演化模型, 研究和分析了基于动态演化的共识决策模型.

目前关于社会网络环境下模糊互补判断矩阵的决策方法的研究较少, 社会网络环境下群体决策者之间怎样达成共识的研究也处于探索阶段.基于以上背景, 本文研究社会网络环境下模糊互补判断矩阵的群体共识与决策方法.融合决策者之间的社会关系、身份地位、知识能力3方面信息来构建决策者两两之间的信任关系, 并提出一种新的专家共识度度量方法; 然后, 建立基于信任关系的群共识调整模型, 从而帮助共识度最低的专家修正自己的意见, 促使群体以更合理更有效的方式达成共识; 最后, 理论性地证明了该模型的有效性, 并通过信任关系确定专家重要性指标, 进而确定专家相关权重, 用以集结专家信息和方案排序.

1 预备知识 1.1 模糊互补判断矩阵

定义1^[3]  令X={x₁, x₂, …, x_n}为一有限方案集, P=(p_ij)_n×n为方案集X上的模糊矩阵, 若P满足p_ij∈[0, 1], p_ij+p_ji=1且p_ii=0.5, 则称矩阵P为模糊互补判断矩阵.

矩阵P=(p_ij)_n×n中元素p_ij表示方案x_i相对于方案x_j的偏好强度.若p_ij=1, 则意味着x_i完全优于x_j; 若p_ij∈(0.5, 1), 则意味着x_i优于x_j; 若p_ij=0.5, 则意味着x_i与x_j无差异.

定义2^[5]  如果互补判断矩阵P=(p_ij)_n×n, 满足(p_ik-0.5)+(p_kj-0.5)=p_ij-0.5, 即对于任意i, j, k∈{1, 2, …, n}都有p_ij=p_ik-p_jk+0.5, 则称P为一致性互补判断矩阵.

对于一个互补判断矩阵P=(p_ij)_n×n, 通过P可以构造一个一致性互补判断矩阵, 其中.若P本身是一致互补判断矩阵, 则, 但实际问题中决策者很难确保自己所表达的偏好关系满足一致性, 因此有必要测量判断矩阵的一致性程度.

定义3^[6]  令P=(p_ij)_n×n为互补判断矩阵, 是对应于P的一致性互补判断矩阵.矩阵P的一致性指标定义为

(1)

若CI=1, 则P是完全一致性的, CI越大表示矩阵P与的距离越近, P的一致性程度越高.

1.2 社会网络关系

个体成员间通过交流互动而形成的相对稳定的社会关系体系称为社会网络.人们之间的互动和交流会影响他们的社会行为.社会网络分析是研究一组行动者之间关系的有效方法^[19-20].这组行动者可以是人、社区、群体、国家等, 它们之间的关系强度以及所处社会网络的结构特征是社会网络分析的焦点.社会网络分析通过对各种关系进行精确量化分析, 从而揭示用户间的内在联系, 解释社会现象.

通常通过3种方式来表达社会网络中的节点及它们之间的联系: 1)邻接矩阵; 2)图示法; 3)代数表示法, 其中最常用的方式是邻接矩阵.设节点集合E={e₁, e₂, …, e_m}, 节点之间的关系用函数f: E×E→{0, 1}来刻画, 定义

(2)

令a_ij=f(e_i, e_j), 则称A=(a_ij)_n×n为邻接矩阵.矩阵A刻画了两两节点之间是否存在某种关系, 这种邻接矩阵的元素不是1就是0, 但是在许多情况下, 需要细化这一关系, 用[0, 1]之间的数字来刻画两两之间的关系强度, 因此邻接矩阵拓展为加权的邻接矩阵.

定义4^[21]  对于给定节点的集合E={e₁, e₂, …, e_m}, 隶属度函数μ_R:E×E→[0, 1], 令s_ij=μ_R(e_i, e_j), 称S_L=(s_ij)_m×m为加权邻接矩阵. s_ij=1表示e_i和e_j完全相关; s_ij∈(0, 1)表示e_i和e_j以一定程度相联系; s_ij=0表示e_i和e_j完全没有任何联系.

本文研究的信任关系是一种常见的社会网络关系.

2 基于信任关系的共识调整模型

本文考虑的基于互补判断矩阵的群体决策问题描述如下:令X={x₁, x₂, …, x_n}为一有限方案集合, E={e₁, e₂, …, e_m}为决策者的集合. {R¹, R², …, R^m}是m个决策者给出的m个互补判断矩阵的集合, 其中R^k=(r_ij^k)_n×n, k=1, 2, …, m, r_ij^k代表决策者e_k对方案x_i相对于方案x_j的偏好程度.

m个专家给出m个不同的互补判断矩阵, 当专家们的意见达成一定程度的共识时, 便可对每个专家的意见进行集结得到群体互补判断矩阵, 从而对方案进行排序.当群体共识水平没有达到决策者要求时, 需要引导个别专家对一些意见进行修正.下面分别讨论如何进行共识度测量, 如何建立专家之间信任关系, 以及如何利用专家之间的信任关系对不满足共识性要求的一部分元素进行修正, 以达到群体共识.

2.1 共识测度

为了定义专家的共识测度, 先在元素层次上建立共识度.

专家e_h和e_k对方案x_i相对方案x_j的偏好强度的共识度定义为

(3)

决策者e_h与其他所有专家对方案x_i相对方案x_j偏好强度的共识度定义为

(4)

常见的专家共识度是通过每个位置上元素的平均共识度定义的, 隐含了各方案之间共识度的可补偿性.为了避免某些方案上的高共识度和某些方案上的低共识度之间的互补, 本文考虑通过专家共识度最小的q个元素来定义专家的共识度.

记专家e_h的共识度最低的q个元素组成的集合APS_h={(i, j)|(i, j)为e_h共识度最低的q个元素对应的坐标}, 其中1≤ q≤ n², 则专家e_h与群体专家之间的共识度可定义为

(5)

ACD^h(0≤ ACD^h≤1)的值越大, 代表专家e_h与群体的共识度越高.设定阈值γ∈[0.5, 1), 当所有专家共识度都大于等于γ时, 群体达成共识.当专家的共识水平没有达到要求时, 需要根据下面的共识模型进行调整.

2.2 信任关系的建立

决策过程中, 群组中地位高的决策者往往更具影响力, 更容易影响别人, 也更容易得到别人的信任.在群组成员发表意见后, 群组成员中共识度越高的专家的意见越能代表群成员的意见, 在群组中的地位就越高.所以用共识度来刻画决策者在群中的地位.

互补判断矩阵是对各因素的重要性进行两两比较而得来的.由于客观世界的复杂性以及人们知识结构和认知能力的不同, 决策者给出的判断矩阵的一致性程度不同.判断矩阵的一致性在一定程度上反应了决策者相关方面的知识能力.所以本文以决策者所对应的一致性指标来刻画他们相关方面的知识能力.

另外, 社会网络中的决策者, 两两之间存在着不同程度的亲密关系, 如第1.2节所述, 这种亲密关系可以用加权邻接矩阵S_L=(s_ij)_m×m来表示.

考虑到上述3方面因素, 在现实生活中, 决策者更容易相信知识能力强、地位高、与自己关系紧密的专家的意见.因此, 本文融合专家知识能力、决策者在群组中的地位、决策者之间的关系来构建信任关系.最终专家e_h对e_k的信任关系可表示为

(6)

其中CI^k和ACD^k分别是对应于决策者e_k的一致性和共识性指标, w₁^h、w₂^h、w₃^h分别为决策者e_h赋予这3个因素的相关权重.设E={e₁, e₂, …, e_m}为专家集, 显然当TD_hk=1时表示专家e_h完全信任e_k, TD_hk=0时表示专家e_h完全不信任e_k.专家之间的信任矩阵可表示为

2.3 共识调整模型

如前所述, 决策者更愿意相信他们信任的专家的意见, 因此在下面的共识调整模型中, 根据决策者信任的专家的意见给出个性化调整建议.决策者信任的专家可以通过下面规则确定, 给定阈值α∈(0.5, 1), 当TD_hk>α时, 认为e_h和e_k之间存在信任关系, 否则认为不存在信任关系.通过这一简单规则便可以确定专家e_h所信任的专家的集合, 记为TS^h={e_h1, e_h2, …, e_hk}.

假设e_h是不满足共识度要求且共识度最低的专家, 如果(i, j)∈ APS_h, 则专家e_h基于信任关系的个性化意见为

(7)

其中: 且δ∈[0, 1]是修正意见的参数.

根据以上分析, 共识调整算法具体如下.

输入:专家给出的互补判断矩阵R^k=(r_ij^k)_n×n, k=1, 2, …, m, 共识度阈值γ, 信任关系阈值α, 构建共识度时的参数q, 最大共识调整次数l_max, 专家之间表示社会关系的邻接矩阵S_L;

输出:修正后的互补判断矩阵R^k, k=1, 2, …, m.

step 1:设置l=0, R₀^k=(r_{ij, 0}^k)_n×n=(r_ij^k)_n×n, k=1, 2, …, m.

step 2:计算每个决策者经过第l次调整后共识指标ACD_l^k和一致性指标CI_l^k, k=1, 2, …, m.如果对于任意k都有ACD_l^k≥γ或者l≥ l_max, 则转到step 4;否则执行下一步.

step 3:当存在ACD_l^k＜γ时, 识别出共识度最低的专家e_h, 并结合专家的一致性指标, 共识性指标以及社会关系矩阵求得专家之间的信任矩阵TD_l.根据矩阵TD_l得到专家e_h信任的专家的集合TS^h={e_h1, e_h2, …, e_h_p}, 然后对(i, j)∈ APS_h中元素根据式(7)进行修正.修正后的矩阵记为R_l+1^h=(r_{ij, l+1}^h)_n×n, 令l=l+1, 转到step 2.

step 4:令R^k=R_l^k, 输出R^k, k=1, 2, …, m.

定理1  设R¹, R², …, R^m分别对应于m个决策者的互补判断矩阵, 不失一般性, 假设决策者e^m的共识度低于阈值且共识度最低, 经过以上共识调整模型对R^m进行一次意见修正后, 新的决策矩阵分别为R¹, R², …, R^m, 则ACD^m＜ACD^m.

证明  设β是一个介于各决策者共识度最小值与第2小的值之间的一个数, e_m是共识度最低的专家, 即ACD^m＜β, 但对于所有的k∈{1, 2, …, m-1}都有ACD^k>β.不失一般性, 专家e_m信任的专家的集合记为TS^m={e₁, e₂, …, e_l}.

专家e_m的初始共识度表示为

(8)

为证明过程的简洁性, 记

有

(9)

则上述不等式可表示为

(10)

下面证

因为e_m只信任TS^m={e₁, e₂, …, e_l}中的专家.根据式(7)调整后的偏好值r_ij^m=(1-δ)r_ij^m+δ(r_ij¹+r_ij²+ …+r_ij^l)/l.对于∀h∈{1, 2, …, m-1}, 由

得

又因为对于任意的k∈{1, 2, …, l}, 都有|R^k-R¹|+|R^k-R²|+…+|R^k-R^m|＜(m-1)(1-β), 所以

(11)

由式(10)有

(12)

对比式(11)和(12), 得到

R^m中相应APS位置上元素的一致性测度得到了提高, 由式(5)可知ACD^m>ACD^m.

3 方案选择过程

当群体意见达成共识后, 即各位专家的共识度都大于阈值γ时, 便可进行方案选择.选择过程分为两个阶段:群体信息集结过程和方案排序过程.

具体的方案选择过程如下.

step 1:确定专家的重要性指标向量.将专家之间的信任矩阵TD=(TD_ij)_m×m行归一化, 即令.专家e_i的重要性指标u_i可根据文献[21]中的思想给出, 即

(13)

U=(u₁, u₂, …, u_m)^T可由如下线性方程组确定：

(14)

由矩阵特征值的性质, U=(u₁, u₂, …, u_m)^T为矩阵TD^T对应于特征值为1的特征向量.

step 2:根据各个专家的重要性指标计算专家的相关权重, 然后对R¹, R², …, R^m进行集结得到群体决策矩阵R^c=(r_ij^c)_n×n, 其中

(15)

step 3:由文献[14]中方法可计算各个方案的得分向量

(16)

step 4:根据得分值d_p对方案进行排序, d_p越大方案越优.

4 应用实例

一个投资公司想要选取合适的地址建立购物中心, 5位公司骨干为e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, 应邀对6个可行方案x_i(i=1, 2, …, 6)进行评估.设这5个专家给出的偏好矩阵R^k=(r_ij^k)_6×6与他们之间的相互关系的加权邻接矩阵S_L分别为

step 1:建立决策者之间的信任关系.

step 1.1:利用式(1)得决策者的初始个体一致性指标分别为

step1.2:根据2.3节给出的共识性度量, 由式(4)计算每个决策者在元素层面的平均共识度分别为

取q=6, 则每个决策者的共识性指标为

假设各个专家给出的对于3个因素在构建信任关系时的权重构成的矩阵为

(17)

step1.3:结合专家的共识性水平, 一致性水平以及表示决策者之间相互关系的矩阵S_L, 由式(6)得到信任关系矩阵

令α=0.70, 则信任关系可建立为

step2:对于给定共识阈值γ=0.75, 由于ACD¹ < 0.75, 需要根据共识模型对e₁的偏好信息进行修正.由矩阵T得TS¹={e₃, e₄, e₅}.令σ=0.5, 根据式(7)得到关于专家e₁的建议为r₁₂=0.55, r₂₁=0.45, r₁₆=0.862 5, r₆₁=0.137 5, r₃₆=0.725, r₆₃=0.275.

专家e₁修正自己的意见后, 各位专家的共识度分别为ACD¹=0.758, ACD²=0.758, ACD³=0.813, ACD⁴=0.799, ACD⁵=0.799.群体已经达到了预先设定的共识水平, 可以执行下一阶段的选择过程.

step 3:将TD行归一化后得TD, 求解线性方程组(14), 得到专家的重要性指标u=(0.391 8, 0.454 2, 0.424 2, 0.465 1, 0.493 8), 进而求得专家相关权重w₁=0.175 8, w₂=0.203 8, w₃= 0.190 3, w₄=0.207 8, w₅=0.222 3.

由式(15)得群体偏好关系为

根据式(16)方案得分向量为

因此方案的排序为x₃>x₂>x₁>x₄>x₆>x₅.

5 结论

本文研究了社会网络环境下模糊互补判断矩阵的群决策问题, 研究其群共识调整和方案选择方法.首先, 充分考虑了决策者之间的社会关系、身份地位、知识能力3个方面信息来构建决策者两两之间的信任关系; 其次, 提出了一种尽可能减少元素间共识补偿的共识度度量方法, 在此基础上建立了基于信任关系的群共识调整模型; 最后, 通过信任关系矩阵求出专家的相关权重, 用以集结专家信息和对方案进行选择, 并从理论上证明了模型的有效性.与现有的共识模型相比, 本文提出的模型有两个主要特点: 1)考虑了决策问题中不同方案间共识度的不可补偿性; 2)结合3方面因素来构建信任关系, 并建立了基于信任关系的共识调整模型.

任何人类参与的活动都会或多或少受到情感、社会关系等一系列因素的影响, 因此, 在实际的决策过程中, 绝对理性是很难做到的.本文提出的基于信任关系的共识决策模型为共识决策问题提供了一种新的方法, 能够帮助共识度最低的专家修正自己的意见, 促使群体以更合理更有效的方式达成共识.今后将对模型中的参数σ和q进行研究, 探究最优参数的选取, 并进一步研究信任关系的合理建立.