控制与决策  2020, Vol. 35 Issue (5): 1259-1264  
0

引用本文 [复制中英文]

陈明, 李小华. 基于预设性能的非仿射非线性系统自适应有限时间控制[J]. 控制与决策, 2020, 35(5): 1259-1264.
[复制中文]
CHEN Ming, LI Xiao-hua. Adaptive finite-time tracking control for nonaffine nonlinear systems based on prescribed performance[J]. Control and Decision, 2020, 35(5): 1259-1264. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2018.1127.
[复制英文]

基金项目

国家自然科学基金项目(61403177);辽宁省自然科学基金项目(20180550319)

作者简介

陈明(1977-), 女, 副教授, 博士, 从事非线性系统容错控制、预设性能控制等研究, E-mail: cm8061@sina.com;
李小华(1964-), 女, 教授, 博士生导师, 从事复杂系统结构与控制、工业过程建模与控制等研究, E-mail: lixiaohua6412@163.com

通讯作者

陈明, E-mail: cm8061@sina.com

文章历史

收稿日期:2018-08-18
修回日期:2018-12-04
基于预设性能的非仿射非线性系统自适应有限时间控制
陈明 , 李小华     
辽宁科技大学 电子与信息工程学院,辽宁 鞍山 114051
摘要:针对一类具有死区的非仿射非线性系统, 将预设性能控制与有限时间控制相结合, 提出一种具有预设性能的自适应有限时间跟踪控制方法.基于Backstepping技术、模糊逻辑系统及有限时间Lyapunov稳定理论, 给出使系统半全局实际有限时间稳定(semi-globally practically finite-time stable, SGPFS)的充分条件和设计步骤.该控制策略不仅使系统的输出误差在有限时间内收敛到一个预先设定区域, 同时保证其收敛速度、最大超调量和稳态误差均满足预先设定的性能要求.最后通过仿真示例验证了所提出设计方法的有效性.
关键词有限时间控制    预设性能    Backstepping    非仿射非线性系统    自适应控制    跟踪控制    
Adaptive finite-time tracking control for nonaffine nonlinear systems based on prescribed performance
CHEN Ming , LI Xiao-hua     
School of Electronic and Inforamtion Engineering, Uniersity of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051, China
Abstract: By combining prescribed performance and finite-time control, an adaptive finite-time tracking control method is proposed for a class of nonaffine nonlinear systems with dead zones. Based on the Backstepping technology, the fuzzy logic system and the finite-time Lyapunov stability theory, the sufficient conditions for the semi-global practical finite-time stable (SGFPS) and design steps are given. The control strategy can maintain that the output error converges to the predefined region in a finite time, as well as guarantee that the prescribed performance are achieved, such as the convergence speed, the maximum overshoot and the steady-error. Finally, a simulation example is given to illustrate the effectiveness of the proposed method.
Keywords: finite-time control    prescribed performance    Backstepping    nonaffine nonlinear systems    adaptive control    tracking control    
0 引言

近年来, 有限时间控制因为其有限时间收敛等良好品质受到很多学者关注, 并已被成功应用于航空/航天等应用领域.其中, 有限时间Lyapunov稳定理论成为连续有限时间控制的重要方法之一, 并已取得很多相关成果[1-2].

文献[3]奠定了有限时间控制基础理论, 提出了有限时间Lyapunov稳定理论.在该研究基础上, 文献[4]给出了系统局部有限时间稳定的充分条件.进一步, 文献[5]研究了一类带有零动态不确定非线性系统有限时间可调的有限时间镇定问题.文献[6]研究了一类仿射非线性系统自适应有限时间控制问题, 该控制算法保证系统的跟踪误差在有限时间内限定达到平衡点附近的一个邻域内.以上方法大都考虑系统状态能否在有限时间内收敛到平衡点或平衡点附近某一邻域, 有限时间内能否保证系统具有良好的动态和稳态性能也是一个重要问题.预设性能控制是改善系统性能的强有力的算法工具, 在保证系统跟踪误差收敛到一个预先设定区域的同时, 保证其收敛速度及超调量也满足预先设定的要求, 目前该理论已取得一些研究成果[7-8].

目前对系统稳定性的研究大都基于渐近稳定或指数稳定, 而基于有限时间理论的非仿射非线性系统有限时间控制研究不是很多.预设性能控制最显著的特点是保证跟踪误差限定在指定的界限或区域内, 即在保证系统稳定的同时, 兼顾系统的稳态性能和暂态性能.将有限时间控制与预设性能控制相结合, 对进一步改善系统性能具有重要意义.本文首次将预设性能控制与有限时间控制相结合, 针对一类带死区的非仿射非线性系统, 提出一种使系统半全局实际有限时间稳定(semi-globally practically finite-time stable, SGPFS)的控制方法.受文献[9]的启发, 避免了Backstepping设计过程中控制器的奇点问题, 该控制算法不仅能保证系统跟踪误差在有限时间内达到预先设定的区域, 同时保证其稳态和动态性能也满足预先设定的要求.最后, 通过仿真示例验证设计方法的有效性.

1 预备知识与问题描述 1.1 预备知识

考虑如下系统:

(1)

其中: f(·)是一个在原点邻域内的光滑函数, xRnuR分别是系统的状态变量和输入变量, 且f(0, 0)=0.

首先给出SGPFS的定义及存在的充分条件.

定义1[10]  考虑系统(1), 在任意给定的初始状态x(t0)=x0下, 若存在实数δ>0及有限收敛时间Ts(δ, x0), 对于所有tt0+Ts, 满足‖x(t)‖<δ, 则系统(1)在平衡点是SGPFS.

定理1[6, 10]  考虑系统(1), 若存在连续可微正定函数V(x)以及实数α>0, β∈(0, 1), ϱ>0, 使得

(2)

则系统是SGPFS.调节时间Ts

其中0<ϖ0≤1.

引理1[11]  对于紧集ΩZ上的任意给定连续函数f(Z), 存在一个模糊逻辑系统WTR(Z), 存在∀ε>0, 使得

(3)

其中: WT=[w1, …, wN]T是模糊系统的权参数向量; 是模糊基函数向量, .这里, N表示模糊规则的条数, ξi=[ξi1, ξi2, …, ςiN]Tηi分别表示高斯函数si(Z)的中心和宽度.

引理2[12]  对于变量xR, yR及任意实数cdw, 如下关系成立:

(4)

引理3[13]  对于任意xiR, i=1, 2, …, n, γ∈(0, 1), 满足

(5)
1.2 问题描述

考虑如下非仿射非线性系统:

(6)

其中: xj(t)=[x1, …, xj]TRj (j=1, …, n); u(t)∈R, y(t)∈Rpi(t)分别为系统的状态向量、输入、输出和外界干扰, pi(t)满足‖pi(t)‖≤pi, pi为未知常数. fi(·)为未知光滑函数. Dz(u)为参数未知的死区输出函数, 描述为

(7)

gr(u)、gl(u)是连续光滑函数, brbl是未知常数.

本文成果主要基于如下几个假设条件.

假设1  对于死区输出函数Dz(u), 存在未知正常数kl0kl1kr0kr1满足

(8)

根据假设1, 可将Dz(u)变换为

(9)

其中

注1  推导易知, 存在正常数d=(kl1+kr1)max(-bl, br), 使得‖d(u)‖≤d; 设β0=min{kl0, kr0}, 则β0KT(t)Θ(t)≤kl1+kr1.常数brblkl0kl1kr0kr1d对控制设计无影响, 无需给出其确切值.

由中值定理, 将函数fi(xi, xi+1)表示为

(10)

将式(10)代入系统(6), 可将非仿射系统转化为

(11)

其中

注2  为表示方便, 略掉各式中所有时间变量t.

假设2  hμi是有界的, 不失一般性, 同时也为计算及分析问题方便, 本文假设hμ为正数, 且满足

本文的控制目标:设计自适应控制律, 使系统(6)是半全局时间有限时间稳定, 且保证系统输出信号y(t)在有限时间内跟踪期望轨迹yr(t), 其跟踪误差e(t)=y(t)-yr(t)满足预先设定的性能函数.

假设3  期望轨迹yr(t)已知、连续可导且有界.

2 预设性能函数及误差变换

预设性能函数ρ(t)的定义[9-10]如下:

(12)

其中: ρ是正的且严格递减, ρ0ρκ是预先设定的正常数.本文的控制目标通过如下不等式实现:

(13)

其中0≤M≤1为设计参数.

根据本文的控制目标, 跟踪误差限定在不等式(13)所描述的区域内.令e=ρS(ϵ), 其中S(ϵ)光滑可逆, 满足

(14)

本文选取如下典型形式的S(ϵ):

ϵ(t)求一阶导数, 有

(15)

, 显见ϕ>0, 且0<ϕlϕϕu.

3 主要成果

本文主要基于Backstepping技术, 给出系统(6)的预设性能自适应有限时间跟踪控制器设计步骤.

首先, 分别定义坐标变换zi和虚拟控制量αi-1:

(16)

根据式(15)和(16), 原系统等效变换为

(17)

具体设计过程如下.

step 1:考虑式(17)中的第一个子系统, 构造Lyapunov函数

(18)

对其求导

其中.显见, , 则有

(19)

其中

根据引理1, 有

(20)

根据完全平方公式, 得到

(21)

, 将式(21)代入(19), 得

(22)

设计虚拟控制量α1和自适应律

(23)
(24)

其中a1Γ1r1σ1均为大于零的设计参数.

根据假设2及式(23), 有

(25)

将式(23) ~ (25)代入(22), 得到

(26)

其中

step i (2≤in-1):选择第i个子系统的李亚普诺夫函数为

(27)

与上述推导过程类似, 令

(28)

因为

所以

设计如下虚拟控制律和自适应控制律:

(29)
(30)

得到

(31)

其中

step n:定义最后一个子系统的Lyaponov函数

(32)

与step i证明过程类似, 对Vn求一阶导数, 并根据注1, 有, 从而得到

(33)

设计实际控制律(u=αn)和自适应控制律

(34)
(35)

根据式(34)和(35), 并将τn-1代入式(33), 利用假设2, 得到

(36)

其中K0=2γk1.

又容易得到

(37)

K1=2γmin{kj}, 将式(37)代入(36), 并根据, 得到

(38)

根据引理2, 得到

(39)

将式(39)代入(38), 得到

(40)

其中

ϕuK0=K2, ς=min{min{σjγ}, K2, K1}, 易得

根据引理3, 导出

(41)

最后得到

(42)

根据定义1和定理1, 式(42)表明该系统满足SGPFS的充分条件.该控制器使系统的跟踪误差能在有限时间内收敛到一个预先设定的区域, 且保证其收敛速度、最大超调量等满足预先设定要求.

注3  针对式(42), 令∀0<ξ < 1, 根据定理1, 闭环系统所有的信号是半全局有限时间实际稳定的, 其有限时间Ts

(43)

其中z(0)=[ϵ(0), z2(0), …, zn(0)]T.因此, 在有限调节时间内, 状态ϵ, z2, …, zn均能到达限定区域.进而不难证明, 原系统(6)中跟踪误差信号在有限时间内满足预设性能要求.

定理2  对于一类仿射非线性系统(6), 若满足假设1 ~假设3, 并选取合适的设计参数ai>0, Γi>0, ri>0, σi>0, 0.5<γ < 1, 采用式(23)、(24)、(29)、(30)、(34)和(35)求得其控制律和自适应变化律, 则该闭环系统中所有信号半全局实际有限时间稳定, 同时其跟踪误差满足预先设定的性能要求.

4 仿真分析

考虑如下带死区的非仿射非线性系统:

(44)

其中死区输出函数描述为

(45)

根据定理2, 设计系统有限时间自适应跟踪控制器.期望输出yr=0.5sin (t)+sin(0.5t); 预设性能函数为ρ(t)=(0.7-0.15)exp(-0.5t)+0.15;选取误差变换函数, M=0.2;初始状态x(0)=[0.6, -0.3, 0.2]T; p1(t)=0.1sin(100 t), p2(t)=0.01sin (100 t), p3(t)=0.1sin (10t).本设计中, 需要选取合适的设计参数对控制器进行设计, 仿真分析发现, 设计参数aiΓiriσi(i=1, 2, 3)的选择对系统性能影响较大:参数选择过大或过小, 系统可能出现反应缓慢或振荡, 甚至发散.如aiσi选择越小, 跟踪效果越差, 甚至出现不稳定.仿真过程中, 为了调节参数方便, 令a1=a2=a3, 其他参数也按照这个思路进行选取.经过多次反复试凑, 控制器参数选择为ai=10, Γi=6, ri=10, σi=500.自适应律初始值为. 图 1是实际输出和期望输出的响应曲线, 图 2是跟踪误差响应曲线, 图 3是系统状态x2x3响应曲线, 图 4是控制输入响应曲线.仿真结果表明, 在有限时间内, 系统实际输出跟随期望输出, 保证跟踪误差达到预先设定区域, 系统具有一定的暂态和稳态性能, 且各变量均有界.

图 1 输出响应曲线
图 2 跟踪误差响应曲线
图 3 x2、x3响应曲线
图 4 控制输入u响应曲线

进一步, 为了更直观表明控制器设计参数Γi对系统性能影响, 图 5给出在aiσi取值一定的情况下, Γi取不同值时的跟踪效果比较曲线.仿真结果表明, 在一定范围内, Γi取值越大, 跟踪效果越好, 但是超出一定范围, 系统不稳定.

图 5 aiσi取值一定, Γi取值不同时的跟踪曲线比较
5 结论

本文利用Backstepping技术提出了一种具有预设性能的自适应有限时间跟踪控制设计方法.该方法不仅使系统的输出误差在有限时间内收敛到一个预先设定区域, 同时兼顾系统的暂态性能和稳态性能, 通过仿真示例验证了设计方法的有效性.该研究成果能够为进一步研究非线性预设性能及其他相关理论与方法提供一定的参考和借鉴.

参考文献
[1]
Hong Y G, Wang J K, Cheng D Z. Adaptive finite-time control of nonlinear systems with parametric uncertainty[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2006, 51(5): 858-862. DOI:10.1109/TAC.2006.875006
[2]
Hua C C, Li Y F, Guan X P. Finite/fixed-time stabilization for nonlinear interconnected systems with dead-Zone input[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2017, 62(5): 2554-2560. DOI:10.1109/TAC.2016.2600343
[3]
Bhat S P, Bernstein D S. Finite-time stability of continuous autonomous systems[J]. SIAM Journal on Control and Optimization, 2000, 38(3): 751-766. DOI:10.1137/S0363012997321358
[4]
Shen Y J, Xia X H. Semi-global finite-time observers for nonlinear systems[J]. Automatica, 2008, 44(12): 3152-3156. DOI:10.1016/j.automatica.2008.05.015
[5]
常霞, 刘允刚. 一类具有零动态不确定非线性系统的停息时间可调的有限时间镇定[J]. 控制理论与应用, 2009, 26(4): 358-364.
(Chang X, Liu Y G. The finite-time stabilization for a class of zero-dynamics unertain nonlinear systems with adjustable-settling-time[J]. Control Theory & Applications, 2009, 26(4): 358-364.)
[6]
Wang H H, Chen B, Lin C, et al. Adaptive finite-time control for a class of uncertain high-order non-linear systems based on fuzzy approximation[J]. IET Control Theory and Applications, 2017, 11(5): 677-684. DOI:10.1049/iet-cta.2016.0947
[7]
Li Y M, Tong S C, Liu L, et al. Adaptive output-feedback control design with prescribed performance for switched nonlinear systems[J]. Automatica, 2017, 80(5): 225-231.
[8]
陈明, 张士勇. 基于Backstepping的非线性系统预设性能鲁棒控制器设计[J]. 控制与决策, 2015, 30(5): 877-881.
(Chen M, Zhang S Y. Prescribed performance robust controller design for nonlinear systems based on backstepping[J]. Control and Decision, 2015, 30(5): 877-881.)
[9]
Liu Y, Liu X P, Jing Y W, et al. Design of finite-time H controller for uncertain nonlinear systems and application[J]. International Journal of Control, 2018, 3(5): 1-28.
[10]
Wang F, Chen B, Lin C, et al. Adaptive neural network finite-time output feedback control of quantized nonlinear systems[J]. Automatica, 2008, 48(6): 1-10.
[11]
Wang L X, Mendel J M. Fuzzy basis functions, universal approximation, and orthogonal least-squares learning[J]. IEEE Transactions on Neural Networks, 1992, 3(5): 807-814. DOI:10.1109/72.159070
[12]
Qian C J, Lin W. Non-Lipschitz continuous stabilizers for nonlinear systems with uncontrollable unstable linearization[J]. Systims and Control Letters, 2001, 42(3): 185-200. DOI:10.1016/S0167-6911(00)00089-X
[13]
Yu S G, Yu X H. Continuous finite-time control for robotic manipulators with terminal sliding modes[J]. Automatica, 2005, 41(11): 1957-1964. DOI:10.1016/j.automatica.2005.07.001