1 引言

1952年, Markowitz^[1]建立了均值-方差投资组合选择模型, 奠定了投资组合优化问题的理论基础.随着不同市场风险度量方法的提出, 均值-绝对偏差^[2-3]、均值-VaR^[4]和均值-CVaR^[5]等投资组合选择模型相继被提出.关于投资组合优化问题的详细综述, 请参见文献[6].

现实投资问题中, 投资者可能会因为大额消费、疾病、市场环境变化等诸多不确定因素的影响而提前结束投资.基于效用最大化准则, Merton^[7]研究了终止时间服从泊松分布时的最优投资和消费问题; Blanchet-Scalliet等^[8]考虑了随机终止时间服从一般分布时的最优投资策略; Zeng等^[9]考虑了转移机制市场环境下具有状态依赖效用函数的多阶段投资和消费问题.基于均值-方差准则, Martellini等^[10]考虑了终止时间与资产价格变化的关联性, 将终止时间看作是内生或外生随机变量, 建立了终止时间不确定投资组合选择问题的收益率方差最小化模型. Keykhaei^[11]将文献[10]的研究扩展到每种资产都具有各自不确定退出时间的情况.基于均值-方差的多阶段投资问题, 郭文旌等^[12]假定终止时间服从某个离散分布, 以资产增长倍数的期望最大方差最小为目标, 研究了不确定终止时间的离散最优投资问题; Yi等^[13]将文献[12]的研究推广到带外生负债的情况; Wu等^[14]将文献[12]的研究进一步推广到了马尔科夫转移机制的市场环境; 李仲飞等^[15]在文献[14]的基础上, 研究了不确定退出时间和马尔可夫状态转移市场环境下多风险资产的动态投资组合选择问题, 资产收益率分布依赖于市场状态, 且与时间有关.关于终止时间不确定多阶段投资问题的更多研究包括:考虑随机收入^[16], 收益率串联相关^[17], 具有随机现金流的资产负债管理^[18], 带有内生负债^[19], 受通货膨胀影响^[20], 包括破产状态的状态转移市场环境下的多阶段投资选择问题^[21]等. Yi等^[22]用平均场方法求解具有不确定退出时间的多阶段均值-方差投资选择模型, Cui等^[23]将其扩展到具有负债的情况.除了以均值-方差模型为基础的相关研究以外, Huang等^[24]在假定投资结束时间分布的基础上给出收益率的无条件分布函数, 用CVaR度量风险, 为投资结束时间不确定问题给出鲁棒性方法.

已有文献对结束时间不确定性投资问题的风险度量绝大多数是基于方差方法, 或是直接采用效用函数来衡量投资的效果.本文采用区间风险值(PVaR)来度量终止时间不确定的投资问题的投资风险, 从平均收益率最大化角度为投资结束时间不确定问题建立投资组合优化模型.由于PVaR计算的复杂性, 基于PVaR的投资组合优化模型是一个复杂的非线性规划, 很难用常规的优化方法求解.为此, 本文提出等效模型的概念, 通过求解等效模型来获得原模型的最优解, 并通过数值计算实验来验证这种方法的有效性.

1 终止时间不确定的投资组合选择问题 1.1 问题描述

投资者希望将资金合理地分配到多种金融资产上, 分配方案的优劣从收益和风险两方面进行评价, 投资结束时间可以是未来某一段时期内的任意有效交易时间, 投资结束前不考虑中途调整投资方案, 不考虑贷款投资和卖空行为.

投资终止时间的描述:投资者事先不确定投资结束时间, 如图 1所示, 投资开始于t₀时刻, 而投资结束时间t₁可能是在t₀之后的某段时期内的任一有效交易时间.记投资最早结束时间为t₁^a, 最晚结束时间为t₁^b, 投资结束时间可以是这段时期内的任何一个有效交易时间, 即t₁∈ [t₁^a, t₁^b](此处时间的连续性并非时间概念上的连续, 而是指有效交易时间上的连续).由于投资人对结束时间往往没有一个偏好, 本文假定在[t₁^a, t₁^b]内任何一个交易时刻结束投资的可能性是无差别的.

由于投资结束时间具有这样的特性, 从t₀开始持有到t₁结束的投资市场风险可以采用区间风险值(period value at risk, PVaR)^[25]来度量. PVaR是描述一段投资期间内市场风险的测度指标, 投资组合x在投资期间[t₀, t₁]内的最大损失记为L_T(x), 以概率α发生的最大损失定义为置信度1-α的PVaR_1-α(x), 用公式表示如下:

(1)

1.2 结束时间不确定投资组合选择问题模型

利用投资组合的期望收益率来衡量投资收益, 用PVaR来度量投资组合的市场风险, 为投资结束时间不确定的投资组合选择问题建立投资收益最大化的投资组合优化模型.

(2)

其中: x=(x₁…; x_N)为决策变量, 表示一个包含N种资产的投资组合, 第i种资产的投资比例为x_i, 约束条件x_i≥0表示无卖空; 为N种资产的平均收益率行向量; PVaR_1-α(x)为投资组合x对应的区间风险值, 参数risk₀为对投资组合的风险要求, 约束条件PVaR_1-α(x)≤ risk₀表示投资风险不能超过risk₀; I为全1行向量, 约束条件Ix=1表示投资资金全部分散投资到N种资产上, N种资产的投资比例和为1.模型(2)的可行域记为X, X={x∈ R^N|PVaR_1-α(x)≤ risk₀, Ix=1, x≥0}.为后文讨论方便, 记满足除风险约束条件之外的所有约束条件的投资组合的集合为X', X'={x∈ R^N|Ix=1, x≥0}.

由PVaR_1-α(x)的定义可知, 如果在投资结束时刻t₁已知N种资产收益率向量为ξ_t1=(ξ_t11, …, ξ_t1N), 则此时的损失率为L(x, ξ_t1)=-ξ_t1x, 投资期间[t₀, t₁]内的最大损失率L_T(x)=max{L(x, ξ_t1):t₁∈[t₁^a, t₁^b]}.如果知道最大损失率L_T(x)的分布函数, 就可得到置信度1-α下的区间风险值PVaR_1-α(x).一般情况下很难获得多种资产投资组合的最大损失率分布函数的显示表达式, 因此可以采用仿真方法计算PVaR^[25].

基于蒙特卡罗仿真方法计算PVaR的过程如下.

step 1:将投资可能结束的期间[t₁^a, t₁^b]离散化, 取等距的D个离散时间点(一般取D为这一段时期内的市场交易天数).如表 1中第1行所示, 取区间[t₁^a, t₁^b]内等间距的D个离散点{t₁¹, …, t₁^D}, 其中t₁¹=t₁^a, t₁^D=t₁^b.为了方便讨论, 在不产生歧义的前提下, 将投资终止时间记号{t₁¹, …, t₁^D}简记为{1, …, D}.

step 2:用蒙特卡罗仿真方法产生各种资产的收益率样本M个, 其中第k个样本记为ξ^k, 根据x和ξ^k计算最大损失L_T^k(x, ξ^k).

如表 1所示, 每个时间点t∈{1, …, D}上对应的N种资产的收益率样本记为ξ_t^k=(ξ_t1^k, …, ξ_tN^k), 此时投资组合的损失为-ξ_t^kx, [t₁^a, t₁^b]内的最大损失L_T^k(x, ξ^k)=max{-ξ₁^kx, …, -ξ_D^kx}.

step 3:对M个最大损失L_T^k(x, ξ^k)进行非降序排序, 其中第⎡(1-α)M⎤+1个位置对应的值即为PVaR_1-α(x)(⎡ A ⎤表示比实数A大的最小整数).

令{L_T^k(x, ξ^k), k=1, …, M}^{⎡(1-α)M⎤+1}表示M个最大损失L_T^k(x, ξ^k)从小到大排序后, 第⎡(1-α)M⎤+1个最小的值.由PVaR_1-α(x)的定义有

同时, 各种资产的平均收益率可以通过计算

得到.

采用上述蒙特卡罗仿真方法计算PVaR时, 模型(2)表示如下:

(3)

模型(3)的约束条件中包含一个求最大值函数, 一个排序函数, 直接求解模型(3)是非常困难的.求解问题将在下一节进行讨论.

2 模型求解

为了将模型(3)中约束条件的max函数和排序函数变换为容易处理的形式, 引入中间变量z、Z^k和y_k, 具体变化过程如下.

令z={L_T^k(x, ξ^k), k=1, …, M}^{⎡ (1-α)M⎤ +1}, 即z表示投资组合的区间风险值PVaR_1-α(x), 模型(3)中的约束条件{L_T^k(x, ξ^k), k=1, …, M}^{⎡ (1-α)M ⎤+1} ≤ risk₀可变化为z≤ risk₀. PVaR_1-α(x)是M个最大损失率L_T^k(x, ξ^k)从小到大排序中的第⎡ (1-α)M⎤+1位, 大于PVaR_1-α(x)的值共有⎣ αM ⎦ -1个(⎣ A ⎦表示取比实数A小的最大整数).引入计数中间变量y_k, 当最大损失率大于PVaR_1-α(x)时, 令y_k为1, 否则y_k为0.对y_k求和, 则表示M个最大损失率中大于PVaR_1-α(x)的个数.因此, 有=⎣ αM⎦-1.

利用中间变量Z^k变化模型(3)约束条件中的max函数表达形式, 令Z^k≥-ξ_t^kx, t=1, …, D, ∀ k, 此时对于任意的k都有Z^k≥ L_T^k(x, ξ^k)成立.显然有{Z^k, k=1, …, M}^{⎡(1-α)M⎤+1}≥{L_T^k(x, ξ^k), k=1, …, M}^{⎡ (1-α)M⎤+1}, 因此令Z^k>z时y_k为1, 否则y_k为0, 即引入中间变量Z^k后, 取z={Z^k, k=1, …, M}^{⎡(1-α)M⎤+1}.虽然z的取值有可能大于PVaR_1-α(x), z不超过risk₀, 依然保证了PVaR_1-α(x)≤ risk₀的约束条件成立.因此, 将max函数表达形式变为Z^k≥-ξ_t^kx, t=1, …, D, ∀ k, 不影响模型(3)的最优性.

引入中间变量后得到如下模型:

(4)

其中:中间变量Z^k表示[0, T]期间第k个样本的最大损失, 中间变量y_k用来计最大损失超过z的个数.

模型(4)中的y_k是一个条件取值的变量, 一般优化算法对这类变量不好处理, 引入一个约束条件, 将y_k变成一个无取值条件的变量.令Q为一个正的常数(一般取1或最大收益率的2倍), 将模型(4)中的取值约束条件用Qy_k+z≥ Z^k替换, 将y_k变成一般的变量, 得到模型如下:

(5)

由模型(5)中的约束条件Qy_k+z≥ Z^k可知:当z小于Z^k时, y_k取值为1;当z大于等于Z^k时, y_k值可为0亦可为1.

为了说明可以通过求解模型(5)获得模型(4)的最优投资组合, 先作如下定义.

定义1  给定一组参数(risk₀, α), 如果模型(4)与模型(5)有可行解, 则称参数(risk₀, α)为可行参数.

定义2  对于给定的可行参数(risk₀, α), 如果投资组合x_A属于可行域X, 则称投资组合x_A为参数(risk₀, α)下的可行投资组合.所有可行投资组合x_A构成的集合称为可行参数(risk₀, α)的可行投资组合集, 记为X_A.

定义3  如果可行参数(risk₀, α)下任意两个可行投资组合x_A和x_B有相同的投资收益和投资风险, 则称x_A和x_B为可行参数(risk₀, α)下的等效投资组合.

定义4  如果模型(4)与模型(5)对于给定的任意一组可行参数(risk₀, α)给出的最优投资组合x₍₄₎^*和x₍₅₎^*对应的目标函数值相等, 则称模型(4)与模型(5)互为等效模型.

定理1  对于任意一组可行参数(risk₀, α), 模型(5)和模型(4)有相同的可行投资组合集, 且模型(5)是模型(4)的等效模型.

证明  令(x₍₄₎^*, y₍₄₎^*, z₍₄₎^*)和x₍₄₎^*表示模型(4)在任意可行参数(risk₀, α)下的最优解和最优值; (x₍₅₎^*, y₍₅₎^*, z₍₅₎^*)和x₍₅₎^*表示模型(5)在相同参数下的最优解和最优值; X_A⁽⁴⁾和X_A⁽⁵⁾分别是在可行参数(risk₀, α)下, 模型(4)和模型(5)的可行投资组合集.

欲证两模型有相同的可行投资组合集, 只需证明X_A⁽⁴⁾⊆X_A⁽⁵⁾与X_A⁽⁵⁾⊆X_A⁽⁴⁾同时成立.即, 对于模型(4)和模型(5)的任意可行投资组合x₍₄₎和x₍₅₎, 有x₍₄₎ ∈ X_A⁽⁵⁾与x₍₅₎ ∈ X_A⁽⁴⁾同时成立.

显而易见, 相同可行参数(risk₀, α)下模型(4)的可行解均是模型(5)的可行解, 所以模型(4)的任意可行投资组合都是模型(5)的可行投资组合, 即x₍₄₎∈ X_A⁽⁵⁾成立.因此, 只需证明模型(5)的任意可行投资组合是模型(4)的可行投资组合.

对于x₍₅₎在模型(5)中对应的y_k, 由约束条件Qy_k+z≥ Z^k可知, 当z小于Z^k时, y_k取值为1, z大于等于Z^k时, y_k取值可为0亦可为1.由约束条件=⎣αM⎦-1可知, 只能有⎣αM⎦-1个y_k取值为1, 且要满足约束条件z≤ risk₀. x₍₅₎对应的M个最大损失率中大于risk₀的个数为|J|, J={k|Z^k>risk₀}, 如果|J|小于⎣αM⎦-1, 令z等于risk₀, 则有z大于等于Z^k时有⎣αM⎦-1减去|J|个y_k取1.此时的y_k显然不满足模型(4)的约束条件, 但是存在满足模型(4)约束条件的y¹.令z¹等于Z^k中第⎡(1-α)M⎤+1大的数, 则有z¹ < Z^k时y_k¹=1, 否则y_k¹=0, 且=⎣αM⎦-1和z¹≤ z≤ risk₀同时成立.因此, (x₍₅₎, y¹, z¹)是模型(4)的可行解, 即x₍₅₎是模型(4)的可行投资组合, x₍₅₎ ∈ X_A⁽⁴⁾成立.

因为相同可行参数下模型(4)和模型(5)的任意可行投资组合互为可行投资组合, 所以有两模型可行投资组合集相同, 即X_A⁽⁵⁾=X_A⁽⁴⁾.

因为模型(5)的最优解y₍₅₎^*不一定满足模型(4)的约束条件, 所以(x₍₅₎^*, y₍₅₎^*, z₍₅₎^*)不一定是模型(4)的可行解.但是x₍₅₎^*是模型(4)的可行投资组合, 如果不是最优投资组合, 意味着x₍₅₎^* < x₍₄₎^*, 且(x₍₄₎^*, y₍₄₎^*, z₍₄₎^*)是模型(5)的可行解, 则有对于模型(5)存在一个收益更好的可行投资组合x₍₄₎^*, 这与(x₍₅₎^*, y₍₅₎^*, z₍₅₎^*)是模型(5)的最优解矛盾.因此最优投资组合x₍₄₎^*和x₍₅₎^*有相同的目标函数值, 即x₍₄₎^*= x₍₅₎^*, 模型(5)是模型(4)的等效模型. □

定理2  当模型(5)中的风险约束条件是紧约束, 且PVaR_(1-α)(x)是置信度1-α的严格递增函数时, 模型(5)的最优解是模型(4)的最优解.

证明  令(x₍₄₎^*, y₍₄₎^*, z₍₄₎^*)和x₍₄₎^*表示模型(4)在任意可行参数(risk₀, α)下的最优解和最优值; (x₍₅₎^*, y₍₅₎^*, z₍₅₎^*)和x₍₅₎^*表示模型(5)在相同参数下的最优解和最优值.

在模型(5)中, 如果有z₍₅₎^*≥ Z^k时, y_(5)k^*=1, 则表明PVaR_(1-α)(x₍₅₎^*) < risk₀, 与模型(5)的风险约束条件是紧约束相矛盾.因此, 在模型(5)中, 当z₍₅₎^*≥ Z^k时, y_(5)k^*=0, 即(x₍₅₎^*, y₍₅₎^*, z₍₅₎^*)满足模型(4)的约束条件, 是模型(4)的可行解.当风险约束条件为紧约束时, 模型(5)中的最优解给出的中间变量y的取值唯一, 满足模型(4)的约束条件.由定理1可知, 此时模型(5)的最优解也是模型(4)的最优解.

由定理1可知, x₍₄₎^*= x₍₅₎^*, 由风险约束条件为紧约束得知, PVaR_1-α(x₍₄₎^*)等于PVaR_1-α(x₍₅₎^*).因此, x₍₄₎^*和x₍₅₎^*互为等效投资组合. □

定理1说明, 模型(5)与模型(4)在相同的可行参数下有相同的可行投资组合集, 且两模型目标函数相同, 因此, 模型(5)的最优解给出的投资组合是模型(4)的最优投资组合, 两者有相同的投资收益.定理2说明, 当模型(5)中的风险约束条件为紧约束时, 模型(5)的最优解也是模型(4)的最优解, 且两者有相同的收益和风险, 互为等效投资组合, 因此, 可以通过求解模型(5)获得满足模型(4)所有约束条件的最优投资组合.由于模型(5)是一个混合整数规划(MILP), 可使用一些成熟的软件进行求解, 如CPLEX.

3 数值实验

为验证上一节给出的求解投资结束时间不确定的收益最大化投资组合选择模型方案的可行性, 本节将基于股价的实际数据, 建立投资结束时间不确定情形下的投资组合选择模型, 采用蒙特卡罗仿真产生投资组合中各资产的收益率样本, 使用CPLEX软件求解模型(5).

投资的风险和收益与投资对象的未来价格有关, 假定股价变化服从几何布朗运动^[26].在此假设下根据当前股价S_i(0), i=1, …, N, 可以通过下式预测未来的股价:

(6)

式(6)中的参数μ=(μ₁, …, μ_N)和σ=[σ_ij]_{N× N}可以利用投资对象的历史股价数据进行估计, 具体估计方法详见文献[27].利用式(6)仿真得到股价在未来持有期内的数据, 再根据股价获得各资产在t=1, …, D时的收益率ξ_t^k, 从而按照第2节的蒙特卡罗仿真方法计算PVaR实现对投资风险的度量, 同时完成对投资收益的度量.

实验1  从上证50指数的50家公司中选取近5年年收益率均值在15 % ~ 40 %之间的15家进行投资, 具体构成见表 2(数据来源于Wind资讯).

假设投资开始时间为2018年8月1日, 投资开始后的1个月内投资者可能在任意的交易日结束投资, 即投资结束时间可能是8月2日到9月1日之间的任何一个交易日.投资结束前不会对投资比例进行修改, 不存在卖空, 无借款.投资者希望投资风险保持在一定水平下, 获得的收益越高越好.

1) 根据历史数据估计参数μ, σ.通过Wind资讯获得2017年1月1日至2017年12月30日以上15只股票的收盘价, 求得参数μ、σ的估计值. 值见表 3,

2) 产生收益率样本.通过蒙特卡罗模拟仿真最大持有期1个月内各投资对象的股价, 计算各自收益率的1 000个样本.

3) 利用CPLEX软件求解模型(5).令模型(5)中risk₀ = 5 %, α=0.05, 用CPLEX求得最优投资组合

最优投资收益x^*=0.032 5, 计算时间为5 957.49 s.

求解模型(5)所用的计算机配置: CPU-intel(R) Core(TM) i5-2540 M 2.60 GHz、RAM-4.00 GB、OS-Windows 7.数值实验分析表明, 上一节提出的等效模型可以用CPLEX在可接受的时间内求解, 对于中小规模的结束时间不确定投资问题能够给出最优投资组合.

为了验证模型(5)的风险约束条件是紧约束, 进行第2个数值实验.

实验2   投资对象选自道琼斯指数构成中的5家公司, 分别为波音公司(BA)、卡特彼勒公司(CAT)、苹果公司(AAPL)、麦当劳(MCD)和沃尔玛(WMT).投资开始时间为2018年7月2日, 投资开始之后的3个月内投资者可能在任意的交易日结束投资.

1) 根据历史数据估计参数μ, σ.利用2017年1月1日至2017年12月30日, 5只股票的每日收盘调整后价格(数据来源于https://fiance.yahoo.com)计算出μ、σ的估计值如下:

2) 产生收益率样本.通过蒙特卡罗模拟仿真产生最大持有期3个月内各投资对象的股价, 并计算给出年收益率的100个样本.

3) 利用CPLEX软件求解模型(5).令模型(5)中的α=0.05, 对不同的risk₀, 用CPLEX求解模型(5).最优解给出的目标函数值x^*和z^*, 以及根据最优解给出的投资组合x^*计算出的PVaR_0.95(x^*)值见表 4.

由表 4可见, 数值实验2的结果显示在不同的风险要求risk₀下, 随着风险的增加, 投资收益也在增加, 与高风险高收益相符.模型(5)给出的最优解始终满足z^*=risk₀, 即风险约束条件z≤ risk₀是紧约束.在上一节引入中间变量Z^k改变约束条件中max函数表达形式时, 有

即

通过检验发现, z^*=PVaR_1-α(x^*).由上一节的分析可知, z^*=PVaR_1-α(x^*)时y^*的取值唯一且满足模型(4)的约束条件.因此, 通过数值实验再次验证了通过模型(5)求得的最优解是模型(4)的最优解.

4 结论

本文针对金融投资中结束时间具有不确定性、投资人对结束时间无偏好的投资问题, 采用PVaR度量投资期间内的市场风险, 建立投资收益最大化投资组合优化模型.在模型的求解上, 由于PVaR的非线性使得优化模型中包含max函数和排序函数, 无法直接采用传统优化方法求解.因此定义了等效模型的概念, 并证明了通过求解与原模型等效的混合整数规划模型可以获得原模型的最优解.利用金融市场的真实数据检验了本文所提方法的可行性.数值实验计算结果表明, 对于中小规模的金融资产组合优化模型, 本文所提的等效模型可以在有效时间内给出最优投资决策方案.但是, 由于混合整数规划的求解复杂度, 该方法只适用于少数资产、短期投资.对于资产数目较多、投资持有期较长的情况如何求解, 将在今后的研究工作中尝试智能算法.