0 引言

在市场全球化的进程中, 高涨的顾客期望、不断上升的成本压力以及变化多端的商业环境均迫使企业必须寻求提高生产效率的方法, 同时保持足够的灵活性以应对全球市场环境的变化^[1]. 在传统对产品“一对多”的标准化生产方式中, 由于必须要生产若干种终端产品, 顾客需求变得很难预测, 处理不断增加的库存或避免销售缺货变得极具挑战性^[2]. 近年来, 采用大规模的定制策略来满足不断上升的顾客个性化需求已在很多企业中得到了较好的应用. 然而, 大规模定制策略导致对产品规划过程的进一步要求, 因为较高的顾客个性化需求通常会导致企业需要实行按订单生产的策略, 但是, 这也将会不可避免地导致交货时间的上升, 从而可能会造成顾客的流失^[3]. 这些问题均会导致供应链中的风险大大增加, 延迟或称延迟产品差异化作为降低供应链风险的一种有效策略, 旨在将产品差异化的部分推迟到供应链的末端, 直至接收到顾客的具体需求信息^[4]. 延迟策略的实施不仅可有效地降低产品实现过程中的运营成本, 也可使得企业能够具备应对顾客千变万化的需求和期望做出快速响应的能力^[5].

另一方面, 延迟策略的实施需要基于模块化的产品族架构^[6]. 产品族架构设计作为产品族整个价值链流程中的核心环节, 不仅给企业带来了降低产品开发风险、提高升级换代能力等优势, 且其模块化配置是有效实现延迟策略和满足顾客个性化需求的重要途径^[7]. 此外, 产品族的设计与单件产品的设计相比也有明显的不同, 产品族设计不仅需要考虑如何满足顾客的不同需求偏好, 也需要架构满足目标细分市场的多种产品变体, 且在这些产品变体间并不是相互独立的, 而是基于一个公共产品平台的相关系列产品^[8]. 因此, 如何架构基于公共产品平台的相关系列产品变体成为产品族设计中需要解决的核心问题.

为了能够成功地实施延迟策略, 在产品族设计的早期阶段应将延迟考虑在其中^[9]. 事实上, 在产品族设计与延迟制造间存在紧密相连的关系, 不能将它们分开并单独考虑. 如模块化的产品族架构设计在确定延迟产品模块类型中起着非常重要的作用, 它直接决定延迟制造过程的实施效果^[5]; 反之, 延迟制造过程的决策方案也必然会影响产品族的架构设计, 因为延迟制造过程决策的不同方案会产生不同的工程成本, 而产品族设计的主要依据是基于顾客满意度和运营成本两方面考虑^[6].

然而, 当前对延迟的大多数研究往往是基于事先已固定好的产品族架构, 而较少关注到在产品族设计与延迟制造过程决策间的这种内在固有耦合和复杂交互影响的关系. 如Jabbarzadeh等^[10]在固定的产品族架构基础上, 将延迟策略应用于供应链的集成生产和分销计划. Weskamp等^[11]基于事先已固定好的产品族架构, 在需求不确定的供应链中采用两阶段随机规划方法研究最优延迟策略的确定.

事实上, 从Feitzinger等^[12]研究惠普打印机如何采用延迟策略实现大规模定制化生产案例的这篇经典研究文献开始, 学术界逐渐提倡要将产品族设计与延迟制造活动结合在一起考虑. 如Ferreira等^[13]提出了在产品族设计与延迟制造间存在内在固有的耦合关系, 不能将二者分开并单独考虑; Yang等^[14]认为产品族设计方案会影响延迟的实施, 而延迟实施的结果反过来也同样会对产品族设计方案产生影响, 并进一步提出要在一个整体系统的框架内对它们之间的这种关系进行详细探讨.

上述文献只是从定性的层面提出了在产品族设计与延迟活动间存在内在固有的耦合关系, 但是, 如何从定量优化的层面具体实现它们之间的这种内在固有的耦合关系仍然面临挑战. 因此, 本文强调在产品族设计与延迟制造过程决策间的内在交互影响关系, 并进一步提出协同二者的一种主从关联优化方法. 基于双层规划理论, 建立以产品族设计为上层优化、延迟制造过程决策为下层优化的非线性双层规划模型, 实现对该问题的定量优化.

1 问题描述 1.1 产品族设计与延迟制造过程决策

考虑某产品开发商计划设计一款产品族, 并通过对某些产品模块实施延迟策略来满足多个细分市场$ i (i=1, 2, \ldots, I) $中的顾客个性化需求. 开发商需要完成对产品族的设计和其中延迟产品模块类型的选择; 负责延迟制造过程的制造商需要为非延迟的基本块和复合模块决策出最优的生产方式, 为延迟产品模块决策出最优的延迟制造方式以及为终端产品决策出最优的组装方式.

假设在产品族中包含了J个产品变体, 用$ p_j (j=1, 2, \ldots, J) $表示第j个产品变体. 在每个产品变体中均包含了R个复合模块和K个基本模块, 用$ {\rm CM}_r(r=1, 2, \ldots, R) $表示第r个复合模块, $ M_k^B (k=1, 2, \ldots, K) $表示第k个基本模块. 基本模块可分为3种类型: 必选模块集$ \overline{K^I} $、公共模块集$ \overline{K^C} $和可选模块集$ \overline{K^A} $, 且第k个基本模块中存在$ L_k (k=1, 2, \ldots, K) $个候选项, 用$ p_{kl}^* (l=1, 2, \ldots, L_k) $表示第k个基本模块的第l个候选项. 如图 1的左半部分所示.

在本文中, 可进行延迟制造的产品模块是以复合模块为单位的. 延迟产品模块的类型事先是无法确定的, 因此, 本文引进“虚拟延迟结构”来验证哪个或哪些产品模块需要进行延迟制造. 虚拟延迟结构是指所有被延迟制造的复合模块集合以及它们相应的模块配置. 为了便于描述, 随机假设只有第R个复合模块包含于虚拟延迟结构中, 如图 1所示.

1.2 主从关联优化

从双层规划理论的视角来看, 协同产品族设计与延迟制造过程决策的优化问题实际上属于一种主从关联的优化问题. 首先, 从产品族设计的角度来看, 产品族设计必然会受到延迟制造过程决策方案的影响. 其原因在于, 产品族设计必须要与下游供应链中的一些决策问题相兼容, 包括延迟制造和供应链配置等^[7], 即下游供应链中的这些决策问题必然会影响产品族的设计方案. 然后, 从延迟制造过程决策的角度来看, 延迟制造过程决策的方案必然要依赖产品族设计的方案. 其原因在于, 延迟制造过程决策者需要根据产品族设计者的决策方案(即终端产品的模块配置和产品模块的类型), 分别为非延迟和延迟的产品模块以及终端产品决策出最优的生产和组装方式. 最后, 从整个过程来看, 它们具有主从先后的决策顺序. 在这个过程中, 延迟制造过程决策的方案需要依赖产品族设计方案, 同时, 产品族设计方案又会受到延迟制造过程决策方案的限制, 它们是在动态交互的影响过程中共同寻求最优方案. 因此, 在它们之间形成了一个以产品族设计为主、延迟制造过程决策为从的主从优化问题.

2 主从关联优化模型的提出 2.1 参数与决策变量符号

描述所提出模型中的一些参数和决策变量符号分别如表 1和表 2所示.

2.2 上层的优化模型

上层是产品族设计问题, 一般而言, 产品族设计的目标是从顾客偏好和运营成本的视角出发, 最大化单位成本的顾客效用^[8]. 顾客效用可描述为线性相加的形式, 包括各模块候选项的效用、产品变体的综合效用以及误差项^[5]. 因此, 效用函数$ U_{ij} $可表示为

$ \begin{align} &U_{ij}=\\ &\sum\limits_{r=1}^R \sum\limits_{k=1}^K \sum\limits_{l=1}^{L_k}[p_{ikl} \tau_{jr}+u_{{ikl}(1-\tau_{jr})}]w_{jk} \rho_{jrkl}+\theta_{ij}+\phi_{ij}. \end{align} $

(1)

顾客对细分市场中的产品变体的选择概率可由多项式分对数(multi national logit, MNL)选择规则获得^[5]. 在MNL选择规则中, 第i个细分市场中的顾客对第j个产品变体的选择概率$ O_{ij} $可表示为

$ \begin{align} O_{ij}=\frac{{\rm exp}(\phi U_{ij})}{ \sum\limits_{z=1}^Z {\rm exp}(\phi U_{iz})}. \end{align} $

(2)

在产品族实现过程中的总成本包括上层产品族的设计成本$ {\rm TC}_j^D $和下层延迟制造过程决策的工程成本$ {\rm TC}_j^G $. 其中: 上层产品族的设计成本$ {\rm TC}_j^D $包括对基本模块、复合模块以及产品变体的设计成本, 具体如下式所示:

$ \begin{align} {\rm TC}_j^D=\sum\limits_{r=1}^R \sum\limits_{k=1}^K \sum\limits_{l=1}^{L_k} C_{jrkl}^D \rho_{jrkl}+\sum\limits_{r=1}^R C_{jr}^D+C_j^D. \end{align} $

(3)

因此, 上层的目标函数可表示为

$ \begin{align} &\max\; F=\sum\limits_{i=1}^I \sum\limits_{j=1}^J \frac{U_{ij}}{{\rm TC}_j^D+{\rm TC}_j^G} O_{ij} N_i. \end{align} $

(4)

$ \begin{align} &\; {\rm s.t.\; }\sum\limits_{r=1}^R \sum\limits_{k=1}^K \sum\limits_{l=1}^{L_k} |\rho_{jrkl}-\rho_{j'rkl}|>0, \; j\neq j'; \end{align} $

(5)

$ \begin{align} &\; \; \; \; \; \; \; \sum\limits_{l=1}^{L_k} \rho_{jrkl}=1, \; \forall k\notin \overline{K^A}; \end{align} $

(6)

$ \begin{align} &\; \; \; \; \; \; \; \sum\limits_{l=1}^{L_k}\rho_{jrkl}\leqslant 1, \; \forall k\in \overline{K^A}; \end{align} $

(7)

$ \begin{align} &\; \; \; \; \; \; \; \sum\limits_{l=1}^{L_k}\rho_{jrkl}\tau_{jr}=0, \; \forall k\in \overline{K^C}; \end{align} $

(8)

$ \begin{align} &\; \; \; \; \; \; \; \sum\limits_{r=1}^R \tau_{jr}<R; \end{align} $

(9)

$ \begin{align} &\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \rho_{jrkl}, \; \tau_{jr}\in \{0, 1\}. \end{align} $

(10)

其中: 式(5)表示在任何两种产品变体间的设计均存在差异性, 式(6)和(7)表示每个基本模块均必须选择一种最合适的候选项, 式(8)表示任何一个包含了公共模块的复合模块均不能进行延迟制造, 式(9)是为了确保不能将所有复合模块均进行延迟制造, 式(10)为对上层的决策变量的取值范围限制.

2.3 下层的优化模型

下层是延迟制造过程决策问题, 包括对非延迟基本模块的生产方式决策、对非延迟复合模块的制造方式决策、对延迟产品模块的制造方式决策以及对终端产品的组装方式决策. 下层的工程成本$ {\rm TC}_j^G $可表示为

$ \begin{align} {\rm TC}_j^G=C_j^{\rm GS}+C_j^{\rm GM}+C_j^{\rm GP}+C_j^{\rm GA}. \end{align} $

(11)

非延迟基本模块的生产成本$ C_j^{\rm GS} $为

$ \begin{align} &C_j^{\rm GS}=\sum\limits_{r=1}^R \sum\limits_{k=1}^K \sum\limits_{l=1}^{L_k} \sum\limits_{s=1}^S \Big(C_{jkls}^e +\sum\limits_{i=1}^I C_{jkls}^v O_{ij} N_i\Big)\times\\ &\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; p_{jrkl}(1-\tau_{jr})\delta_{jkls}. \end{align} $

(12)

非延迟复合模块的制造成本$ C_j^{\rm GM} $为

$ \begin{align} &C_j^{\rm GM}=\sum\limits_{r=1}^R \sum\limits_{m=1}^M\Big(C_{ jrm}^e+\sum\limits_{i=1}^I C_{ jrm}^v O_{ ij} N_{i}\Big)\delta_{ jrm}\times\\ &\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1-\tau_{ jr}). \end{align} $

(13)

延迟产品模块的制造成本$ C_j^{\rm GP} $可表示为

$ \begin{align} &C_j^{\rm GP}=\sum\limits_{r=1}^R \sum\limits_{p=1}^P \Big(C_{ jrp}^e+\sum\limits_{i=1}^I C_{ jrp}^v O_{ ij} N_{i}\Big)\tau_{ jr}\delta_{ jrp}+\\ &\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \sum\limits_{i=1}^I \sum\limits_{r=1}^R \sum\limits_{k=1}^K \sum\limits_{l=1}^{L_k} C_{ jrkl}^p \rho_{ jrkl}\tau_{ jr}O_{ ij}N_i. \end{align} $

(14)

终端产品的组装成本$ C_j^{\rm GA} $可表示为

$ \begin{align} C_j^{\rm GA}=\sum\limits_{a=1}^A\Big(C_{ ja}^e+\sum\limits_{i=1}^I C_{ ja}^vO_{ ij}N_i\Big)\delta_{ ja}. \end{align} $

(15)

因此, 下层的目标函数可表示为

$ \begin{align} &\min\; f(\delta_{jkls}, \delta_{jrm}, \delta_{jrp}, \delta_{ja})=\sum\limits_{j=1}^J {\rm TC}_j^G; \end{align} $

(16)

$ \begin{align} &\; {\rm s.t.\; } \sum\limits_{s=1}^S \delta_{jkls}=1, \end{align} $

(17)

$ \begin{align} &\; \; \; \; \; \; \sum\limits_{m=1}^M \delta_{jrm}=1, \end{align} $

(18)

$ \begin{align} &\; \; \; \; \; \; \sum\limits_{p=1}^P \delta_{jrp}=1, \end{align} $

(19)

$ \begin{align} &\; \; \; \; \; \; \sum\limits_{a=1}^A \delta_{ja}=1, \end{align} $

(20)

$ \begin{align} &\; \; \; \; \; \; \; \; \; \delta_{jkls}, \delta_{jrm}, \delta_{jrp}, \delta_{ja}\in\{0, 1\}. \end{align} $

(21)

其中: 式(17)表示任何一个非延迟的基本模块均只能选择一种最合适的生产方式, 式(18)和(19)分别表示任何一个非延迟和延迟的复合模块均只能选择一种最合适的制造方式, 式(20)表示任何一个产品变体均只能选择一种最合适的组装方式, 式(21)为下层的决策变量的取值范围.

2.4 主从关联优化模型

基于上下层的优化模型, 可将本文所研究的问题建模为一个双层规划模型, 如下式所示:

$ \begin{align} &\max\; F(\rho_{jrkl}, \tau_{jr}, \delta_{jkls}, \delta_{jrm}, \delta_{jrp}, \delta_{ja})=\\ &\; \; \; \; \; \; \; \; \; \sum\limits_{i=1}^I \sum\limits_{j=1}^J \frac{U_{ij}}{{\rm TC}_j^D+{\rm TC}_j^G} O_{ij}N_i;\\ &\; {\rm s.t.\; }\text{式} (5)\sim(10). \end{align} $

其中$ \delta_{jkls} $、$ \delta_{jrm} $、$ \delta_{jrp} $和$ \delta_{ja} $为下层优化问题的解.

$ \begin{align} &\min\; f(\rho_{jrkl}, \tau_{jr}, \delta_{jkls}, \delta_{jrm}, \delta_{jrp}, \delta_{ja})=\sum\limits_{j=1}^J {\rm TC}_j^G;\\ &\; {\rm s.t.\; }\text{式}(17)\sim(21). \end{align} $

在该模型中, 当上层决策者改变其决策方案时, 为了进一步优化自身的目标函数值, 下层的决策者也将相应地调整其决策方案, 反之亦然. 这样的交互决策过程将一直持续, 直至上下层的决策者中没有任何一方改变其决策为止, 因为若此时改变决策方案, 则偏差将会使得它们的目标函数值达不到最优. 此时, 它们达到了博弈均衡解.

3 嵌套式的遗传算法

所提出模型属于一种诱导域为不连通的非线性双层规划模型, 对于这类模型的求解, 早已被证实是一种NP难问题^[8]. 而对于双层规划模型求解的传统方法均难以解决所提出的这类模型^[6]. 遗传算法因其鲁棒性强、搜索速度快和收敛效果好等优点, 可较好地处理不连续的和搜索空间较大的非线性双层规划问题^[15], 且遗传算法在搜索过程中不易陷入局部最优, 即使在搜索空间是非规则和不连续的情况下, 也能够以较大概率找到全局最优解^[16].

基于双层规划理论的内在交互决策机制, 本文设计一种嵌套式遗传算法来求解这类非线性双层规划模型, 具体步骤如下.

step 1: 设置参数. 设置产品族设计的参数, 包括产品变体和复合模块的数量; 设置上下层算法的种群规模和最大迭代次数.

step 2: 初始化上层种群. 基于上层的决策变量, 随机产生与其对应的初始种群, 并通过编码策略对上层的初始种群进行处理.

step 3: 判断是否满足上层的约束条件. 判断上层随机产生的初始种群是否满足约束条件, 若满足则继续进行下一步操作, 并将其传递到下层的遗传算法中; 否则, 需要将其适应度值设置为0, 并跳转至step 7.

step 4: 初始化下层种群. 基于上层传递的可行初始种群, 下层随机产生相应的初始种群, 并通过编码策略对初始种群进行处理.

step 5: 评估下层的子代. 对于下层随机产生的初始种群, 判断其是否满足约束条件, 若满足则评估种群个体的适应度值; 否则, 将其适应度值设为0, 然后再进行后续操作.

step 6: 下层终止条件的判断. 判断下层迭代次数是否已达到预先设定的最大次数, 若达到则停止计算, 记录此时的最优解和最优值, 并反馈到上层遗传算法中; 若还未达到, 则需要对种群个体进行选择、交叉和变异操作, 产生新种群后再跳转至step 5.

step 7: 上层终止条件的判断. 判断上层遗传算法的迭代次数是否已达到预先设定的最大次数, 若达到则停止计算, 记录此时的最优解和最优值; 否则, 需要对上层的种群个体进行选择、交叉和变异操作, 产生新的种群个体后再跳转至step 3.

在所提出算法的运行过程中, 分析当上下层的遗传算法每次计算均达到了预先设置的最大次数时的运行时间复杂度. 在上层计算过程中: 用$ N_u $表示种群规模, $ D_u $表示最大迭代次数, $ P_{\rm uc} $表示交叉概率, $ P_{\rm um} $表示变异概率; 在下层计算过程中: 用$ N_l $表示种群规模, $ D_l $表示最大迭代次数, $ P_{\rm lc} $表示交叉概率, $ P_{\rm lm} $表示变异概率. 因此, 在嵌套式遗传算法的运行过程中: 选择操作的总计算次数为$ Q_S=D_u+N_u\times D_u\times D_l $, 交叉操作的总计算次数为$ Q_C=N_u\times D_u\times P_{\rm uc}+N_u\times D_u\times N_l\times D_l\times P_{\rm lc} $, 变异操作的总计算次数为$ Q_M=N_u\times D_u\times P_{\rm um}+N_u\times D_u\times N_l\times D_l\times P_{\rm lm} $.

4 智能冰箱产品族延迟制造案例研究 4.1 案例背景

以某品牌的智能冰箱产品族延迟制造过程为案例来验证所提出模型和算法的可行性. 考虑到智能冰箱的内部结构非常复杂, 这里对它的结构进行了适当简化, 如表 3所示. 其中: 前3个为公共模块, 第4个~第8个为必选模块, 其余的为可选模块. 假设在该智能冰箱产品族中包含了两种产品变体, 并服务于1个细分市场, 且非延迟基本模块的生产方式有两种, 非延迟复合模块的制造方式有3种, 延迟产品模块的延迟制造方式有两种, 终端产品的组装方式也有两种. 假设每种产品变体的市场需求数量均为10 000, MNL选择规则中的参数$ \phi=1.5 $.

表 4给出了各模块候选项的效用值, 对于各产品模块效用值的详细计算过程可参考Wu等^[5]的研究; 表 4也给出了各模块候选项的一些成本信息. 智能冰箱产品族中复合模块的数量被预先设定为3和4, 如表 5所示. 表 6为各复合模块的成本信息, 表 7为各产品变体的成本信息. 这些数据来源于“中国家用电器协会”的统计和对相关领域内的专业人员采访确认. 本案例中所有涉及钱的计量均以美元(＄)为单位.

4.2 优化结果

在嵌套式遗传算法的计算过程中, 设置最大迭代次数为150, 种群规模为100, 二进制编码精度为0.01, 交叉和变异概率分别为0.8和0.01, 这些参数值的设置是依据Xiong等^[6]的研究得出来的. 通过对产品变体与复合模块数量的不同组合计算, 得到的结果如表 8所示. 显然, 在$ J=2 $、$ R=3 $情形下的结果更优. 图 2为在该情形下的迭代过程, 相应的结果如表 9所示.

在表 9的上层优化结果中: 对于产品族设计的结果($ \rho_{jrkl} $), 如$ p_{52}^* $表示第1个产品变体的第1个复合模块选择了第5个基本模块的第2个候选项; 对于延迟产品模块类型的决策结果($ \tau_{jr} $), $ \tau_{13}=\tau_{23}=1 $表示在第1个和第2个产品变体中, 均是将第3个复合模块进行延迟制造. 在表 9的下层优化结果中: 对于非延迟基本模块的生产方式的决策结果($ \delta_{jkls} $), 如$ \delta_{1412}=1 $表示第1个产品变体的第4个基本模块的第1个候选项选择了第2种生产方式, 其余决策变量可依此类推.

4.3 算法改进和对比

为了对嵌套式遗传算法做进一步的改进, 结合遗传算法(genetic algorithm)与粒子群优化算法(particle swarm optimization)各自的优势, 提出一种嵌套GAPSO算法来求解本文的双层规划模型, 即对上下层均采用GAPSO算法求解. 在嵌套GAPSO算法中, 一些参数值设置如下: 惯性因子为1, 学习因子为2, 交叉率为0.75, 变异率为0.1, 上下层的种群规模均为50, 上下层的最大迭代次数均为120, 这些参数值的设置依据是基于马艳芳等^[17]的研究得出的. 图 3为嵌套GAPSO算法的计算迭代过程.

对比图 2与图 3中两种算法的迭代过程可见, 它们均存在多次改进和改进幅度较小的情形, 但是, 嵌套GAPSO算法在计算迭代过程中的持续改进能力和收敛速度比嵌套遗传算法具有更明显的优势. 原因如下: 在对双层规划模型求解过程中, 只有当上下层的结果均不劣于上一代时, 解集才会进行更新, 因此, 这两种算法在求解过程中均出现了不同程度的停滞现象. 由此可知, 双层规划模型对算法跳出当前局部最优解的能力要求较高, 但是, 由于嵌套GAPSO算法融合了遗传算法的全局搜索能力和粒子群优化算法的搜索速率等优势, 相比嵌套遗传算法而言, 其可以更好地跳出局部最优解, 并以更快的速度收敛于最优值.

为了进一步对比这两种算法在计算性能上的稳定性, 对它们分别重复计算实验20次, 并取各算法的上层最优值及其对应的下层优化值, 取各算法的下层最优值及其对应的上层优化值以及各算法的上下层优化值的均值作为结果, 如表 10所示.

由表 10可见, 相比于嵌套遗传算法, 嵌套GAPSO算法无论在最优值, 还是在均值方面, 其结果均要优于嵌套遗传算法. 原因在于: 与嵌套遗传算法相比, 嵌套GAPSO算法使用多种群策略, 它不仅融合了遗传算法的全局搜索能力, 还兼具粒子群算法的搜索速率快等优势, 因此, 它对双层规划模型的求解具有更优越的性能.

5 结论

由于以往对延迟的大多数研究往往是基于预先已固定好的产品族架构, 在这些研究中, 延迟似乎只是为了服务于产品族的实现, 能够更好地实现产品族的定制化. 与以往的研究不同, 本文强调在事先未定义的产品族架构设计与延迟制造过程决策间的内在交互影响关系, 并进一步提出了对二者的一种主从关联优化方法. 基于双层规划理论, 并通过构建于二者间的内在主从交互的动态评估机制, 建立了以产品族设计为上层优化、延迟制造过程决策为下层优化的非线性双层规划模型, 从而解决了对该优化问题的模型构成函数的数学表达式构建的若干技术难点.